Biografie – Wer war Pascal
Blaise Pascal (1623-1662)
Der Franzose Blaise Pascal war ein bedeutender 17th Century Wissenschaftler, Philosoph und Mathematiker. Wie so viele große Mathematiker war er ein Wunderkind und verfolgte sein ganzes Leben lang viele verschiedene Wege intellektueller Bemühungen., Ein Großteil seiner frühen Arbeit war auf dem Gebiet der Natur-und angewandten Wissenschaften, und er hat ein nach ihm benanntes physikalisches Gesetz (dass „Druck, der überall in einer begrenzten Flüssigkeit ausgeübt wird, gleichmäßig und in alle Richtungen in alle Richtungen in der Flüssigkeit übertragen wird“), sowie die internationale Einheit für die Messung von Druck. In der Philosophie ist Pascals Wette seine pragmatische Herangehensweise an den Glauben an Gott mit der Begründung, dass es eine bessere „Wette“ ist als nicht.
Aber Pascal war auch ein Mathematiker erster Ordnung., Im Alter von sechzehn Jahren schrieb er eine bedeutende Abhandlung über das Thema der projektiven Geometrie, bekannt als Pascals Satz, der besagt, dass, wenn ein Sechseck in einen Kreis eingeschrieben ist, die drei Schnittpunkte entgegengesetzter Seiten auf einer einzigen Linie liegen, die Pascal-Linie genannt wird. Als junger Mann baute er eine funktionale Rechenmaschine, die Additionen und Subtraktionen durchführen konnte, um seinem Vater bei seinen Steuerberechnungen zu helfen.,
Pascals Dreieck
Die Tabelle der Binomialkoeffizienten bekannt als Pascals Dreieck
Er ist jedoch am besten bekannt für Pascals Dreieck, eine bequeme tabellarische Darstellung der binomialen Koeffizienten, wobei jede Zahl die Summe der beiden Zahlen direkt darüber ist. Ein Binom ist eine einfache Art von algebraischen Ausdruck, der nur zwei Begriffe hat, die nur durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und positive Ganzzahl Exponenten, wie (x + y)2., Die Koeffizienten, die erzeugt werden, wenn ein Binom erweitert wird, bilden ein symmetrisches Dreieck (siehe Bild rechts).
Pascal war bei weitem nicht der erste, der dieses Dreieck untersuchte. Jahrhundert etwas sehr Ähnliches hervorgebracht,und das Dreieck heißt Yang Huis Dreieck in China nach dem chinesischen Mathematiker des 13., Pascal trug jedoch einen eleganten Beweis bei, indem er die Zahlen durch Rekursion definierte, und er entdeckte auch viele nützliche und interessante Muster zwischen den Zeilen, Spalten und Diagonalen des Zahlenarrays. Zum Beispiel, wenn man die Diagonalen allein betrachtet, nach der äußeren „Haut“ von Einsen, die nächste Diagonale (1, 2, 3, 4, 5,…) ist die natürlichen Zahlen in Ordnung. Die nächste Diagonale darin (1, 3, 6, 10, 15,…) ist die dreieckigen Zahlen in Ordnung. Der nächste (1, 4, 10, 20, 35,…) sind die pyramidenförmigen dreieckigen Zahlen usw. usw., Es ist auch möglich, Primzahlen, Fibonacci-Zahlen, katalanische Zahlen und viele andere Serien zu finden und sogar fraktale Muster darin zu finden.
Pascal machte auch den konzeptionellen Sprung, das Dreieck zu verwenden, um Probleme in der Wahrscheinlichkeitstheorie zu lösen. Tatsächlich wurde durch seine Zusammenarbeit und Korrespondenz mit seinem französischen Zeitgenossen Pierre de Fermat und dem Niederländer Christiaan Huygens zu diesem Thema die mathematische Wahrscheinlichkeitstheorie geboren., Vor Pascal gab es keine wirkliche Wahrscheinlichkeitstheorie – ungeachtet der frühen Exposition von Gerolamo Cardano im 16. Jahrhundert-nur ein Verständnis (von einer Art), wie man „Chancen“ in Würfeln und Kartenspielen berechnet, indem man gleich wahrscheinliche Ergebnisse zählt. Einige scheinbar ganz elementare Probleme in der Wahrscheinlichkeit hatten einige der besten Mathematiker entgangen, oder Anlass zu falschen Lösungen gegeben.,
Es fiel Pascal (mit Fermats Hilfe) zu, die getrennten Fäden des Vorwissens (einschließlich Cardanos frühen Arbeiten) zusammenzuführen und völlig neue mathematische Techniken zur Lösung von Problemen einzuführen, die sich bisher widerstanden hatten Lösung., Zwei solche unnachgiebigen Probleme, auf die Pascal und Fermat sich selbst anwendeten, waren der Ruin des Spielers (Bestimmung der Gewinnchancen für jeden von zwei Männern, die ein bestimmtes Würfelspiel mit sehr spezifischen Regeln spielen) und das Problem der Punkte (Bestimmung, wie die Gewinne eines Spiels auf zwei gleich qualifizierte Spieler aufgeteilt werden sollten, wenn das Spiel vorzeitig beendet wurde). Seine Arbeit über das Problem der Punkte insbesondere, obwohl zu der Zeit unveröffentlicht, war sehr einflussreich in dem sich entwickelnden neuen Bereich.,
Das Problem der Punkte
Fermat und Pascals Lösung für das Problem der Punkte
Das Problem der Punkte am einfachsten kann durch ein einfaches Spiel von“ winner take all “ mit dem Werfen einer Münze veranschaulicht werden. Der erste der beiden Spieler (z. B. Fermat und Pascal), der zehn Punkte oder Gewinne erzielt, erhält einen Pot von 100 Franken. Aber wenn das Spiel an dem Punkt unterbrochen wird, an dem Fermat, sagen wir, 8 Punkte zu 7 gewinnt, wie ist der 100 Franc Pot zu teilen?, Fermat behauptete, da er nur noch zwei Punkte brauchte, um das Spiel zu gewinnen, und Pascal drei brauchte, wäre das Spiel nach vier weiteren Münzwurfen vorbei gewesen (denn wenn Pascal nicht die notwendigen 3 Punkte für Ihren Sieg über die vier Würfe erhalten hätte, dann hätte Fermat die notwendigen 2 Punkte für seinen Sieg gewonnen und umgekehrt. Fermat listete dann erschöpfend die möglichen Ergebnisse der vier Würfe auf und kam zu dem Schluss, dass er in 11 der 16 möglichen Ergebnisse gewinnen würde, also schlug er vor, dass die 100 Francs 11⁄16 (0.6875) für ihn und 5⁄16 (0.3125) für Pascal aufgeteilt würden.,
Pascal suchte dann nach einer Möglichkeit, das Problem zu verallgemeinern, um die langwierige Auflistung von Möglichkeiten zu vermeiden, und erkannte, dass er Zeilen aus seinem Koeffizientendreieck verwenden konnte, um die Zahlen zu generieren, egal wie viele Münzwurf übrig blieben. Da Fermat 2 weitere Punkte benötigte, um das Spiel zu gewinnen, und Pascal 3 benötigte, ging er in die fünfte (2 + 3) Reihe des Dreiecks, d.h. 1, 4, 6, 4, 1., Die ersten 3 Begriffe addiert (1 + 4 + 6 = 11) repräsentierte die Ergebnisse, bei denen Fermat gewinnen würde, und die letzten beiden Terme (4 + 1 = 5) die Ergebnisse, bei denen Pascal gewinnen würde, aus der Gesamtzahl der Ergebnisse, die durch die Summe der gesamten Reihe dargestellt werden (1 + 4 + 6 +4 +1 = 16).
Pascal und Fermat hatten durch ihre Korrespondenz ein sehr wichtiges Konzept begriffen, das, obwohl es uns heute vielleicht intuitiv erscheint, 1654 alles andere als revolutionär war., Dies war die Idee von ebenso wahrscheinlichen Ergebnissen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass etwas auftritt, berechnet werden könnte, indem die Anzahl der ebenso wahrscheinlichen Arten aufgezählt und durch die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse der gegebenen Situation dividiert wird. Dies ermöglichte die Verwendung von Brüchen und Verhältnissen bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Ereignissen und die Operation der Multiplikation und Addition dieser Bruchwahrscheinlichkeiten., Zum Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zweimal auf einen Würfel zu werfen, 1⁄6 x 1⁄6 = 1⁄36 („und“ funktioniert wie Multiplikation); Die Wahrscheinlichkeit, entweder eine 3 oder eine 6 zu werfen, ist 1⁄6 + 1⁄6 = 1⁄3 („oder“ funktioniert wie Addition).
Später im Leben identifizierten sich Pascal und seine Schwester Jacqueline stark mit der extremen katholischen religiösen Bewegung des Jansenismus. Nach dem Tod seines Vaters und einer“ mystischen Erfahrung „Ende 1654 hatte er seine“ zweite Bekehrung “ und gab seine wissenschaftliche Arbeit vollständig auf, wobei er sich der Philosophie und Theologie widmete., Seine beiden berühmtesten Werke, die “ Lettres provinciales „und die“ Pensées“, stammen aus dieser Zeit, die bei seinem Tod 1662 unvollständig blieben. Sie bleiben Pascals bekanntestes Vermächtnis, und er wird heute normalerweise als einer der wichtigsten Autoren der französischen Klassik und als einer der größten Meister der französischen Prosa in Erinnerung gerufen, viel mehr als für seine Beiträge zur Mathematik.,
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