Good Mood

AncientEdit

starověkého období představil některé z myšlenek, které vedly k integrální počet, ale nezdá se, že vyvinuli tyto myšlenky důsledným a systematickým způsobem. Výpočty objemů a oblastí, jeden cíl integrálního počtu, lze nalézt v egyptském moskevském papyru (c., 1820 ), ale vzorce jsou uvedeny pouze pro konkrétní čísla, některé jsou pouze přibližně pravdivé a nejsou odvozeny deduktivním uvažováním. Babyloňané možná objevili lichoběžníkové pravidlo při astronomických pozorováních Jupitera.

Od věku řecké matematiky, Eudoxus (c. 408-355 PŘ. n. l.) použil metodu vyčerpání, který předznamenává koncept limit, k výpočtu ploch a objemů, zatímco Archimedes (c. 287-212 PŘ. n. l.) vyvinul tuto myšlenku dále, vymýšlet heuristiky, které se podobají metod integrálního počtu., Řečtí matematici jsou také připočítáni s významným využitím infinitezimálů. Démokritos je první osoba zaznamenány, aby vážně uvažovat o rozdělení objektů do nekonečný počet průřezů, ale jeho neschopnost racionalizovat diskrétní průřezy s kužel je hladký svah mu zabránila přijetí nápad. Přibližně ve stejnou dobu, Zeno Elea zdiskreditoval infinitesimals dále jeho artikulací paradoxů, které vytvářejí.,

Archimedes tuto metodu dále rozvíjel a zároveň vymýšlel heuristické metody, které poněkud připomínají moderní koncepty v jeho kvadratuře paraboly, metody a na kouli a válci. Nemělo by se však domnívat, že infinitesimály byly během této doby kladeny na přísné základy. Teprve když byl doplněn řádným geometrickým důkazem, řečtí matematici přijali návrh jako pravdivý., Teprve v 17. století byla metoda formalizována Cavalieri jako metoda Indivisibles a nakonec začleněna Newtonem do obecného rámce integrálního počtu. Archimedes byl první, kdo našel tečnu k jiné křivce než kruhu, v metodě podobné diferenciálnímu počtu. Při studiu spirála, on oddělil bod pohybu do dvou částí, jedna radiální pohyb součástí a jedním kruhovým pohybem součásti, a pak pokračoval přidat dvě složky pohyby dohromady, čímž nalezení tečny ke křivce., Průkopníky kalkulu jako Isaac Barrow a Johann Bernoulli byli pilní studenti Archimedes; viz například C. S. Roero (1983).

metoda vyčerpání byla v Číně znovuobjevena Liu Hui ve 4.století našeho letopočtu, aby se našla oblast kruhu. V 5. století, Zu Chongzhi stanovena metoda, která by později byl nazýván Cavalieri je princip najít objem koule.

MedievalEdit

V Islámském Blízkém Východě, 11. století Arabský matematik Ibn al-Hajtám (Alhazen) odvozený vzorec pro součet čtvrté pravomoci., Použil výsledky, provádět to, co by nyní být nazýván integrace, kde vzorce pro součet integrálu čtverce a čtvrté pravomoci mu umožnilo vypočítat objem paraboloid. Ve 12. století objevil perský matematik Sharaf al-Dīn al-Tūsī derivát kubických polynomů. Jeho Pojednání o Rovnice vyvinuté koncepty týkající se diferenciálního počtu, jako derivace funkce a maxima a minima křivek, za účelem řešení kubických rovnic, které nemusí mít pozitivní řešení.,

některé nápady na počet se později objevily v indické matematice, na Kerala school of astronomy and mathematics. Madhava z Sangamagrama ve 14. století, a později matematici školy Kerala, uvedl komponenty kalkulu, jako jsou Taylorovy série a nekonečné řady aproximací. Nicméně, oni nebyli schopni kombinovat mnoho různých nápadů za dva sjednocující témata derivace a integrál, ukázat souvislosti mezi dvěma, a zase kalkul do výkonné nástroje pro řešení problémů, které dnes máme.,

matematické studium kontinuity bylo oživeno ve 14. století Oxfordskými kalkulačkami a francouzskými spolupracovníky, jako je Nicole Oresme. Dokázali „mertonova věta o průměrné rychlosti“: že rovnoměrně zrychlené tělo cestuje stejnou vzdálenost jako tělo s jednotnou rychlostí, jejíž rychlost je polovina konečné rychlosti zrychleného těla.

Brzy ModernEdit

V 17. století, Evropští matematici Isaac Barrow, René Descartes, Pierre de Fermat, Blaise Pascal, John Wallis a jiné projednala nápad derivátu., Zejména v Methodus ad disquirendam maximam et minima a v De tangentibus curvarum linearum, Fermatova vyvinul adequality metoda pro určení maxima, minima a tečen různých křivek, které se úzce váže k diferenciaci. Isaac Newton by později psal, že jeho vlastní rané představy o kalkul přišel přímo z „Fermatova způsob kreslení tečen.,“

Na integrální straně, Cavalieri vyvinul jeho způsob indivisibles v 1630s a 1640s, poskytuje více moderní podobě starověké řecké metodu vyčerpání a výpočetní Cavalieri je kvadraturní vzorce, plochy pod křivkami xn vyššího stupně, které dříve byly pouze počítány pro paraboly, podle Archiméda. Torrincelliho prodloužena této práce k jiné křivky, jako je cykloida, a pak vzorec byl zobecněn pro frakční a negativní síly, Wallis v roce 1656., V pojednání z roku 1659 je Fermatovi připsán důmyslný trik pro přímé vyhodnocení integrálu jakékoli funkce napájení. Fermat také získal techniku pro nalezení těžiště různých rovinných a pevných postav, které ovlivnily další práci v kvadratuře. James Gregory, ovlivněn Fermatova příspěvků, jak se tečnosti a kvadratura, pak byl schopen prokázat, omezená verze druhá základní věta kalkulu v polovině 17.století. První úplný důkaz základní věty o počtu byl dán Isaacem Barrowem.:p.,61 při arc ME ~ arc NH v bodě tangency F obr.26

první důkaz o Rolle je věta byla dána Michel Rolle v roce 1691 pomocí metody vyvinuté holandský matematik Johann van Waveren Hudde., Střední hodnota věta v jeho moderní podobě, uvedl Bernard Bolzano a Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), také po založení moderního kalkulu. Důležité příspěvky byly také provedeny Barrow, Huygens, a mnoho dalších.

Newton a LeibnizEdit

předtím, Než Newton a Leibniz, slovo „kalkul“ odkazoval se na každý subjekt, matematiky, ale v následujících letech, „kalkul“ stal se populární termín pro obor matematiky na základě jejich postřehy., Newton a Leibniz, na základě této práce, nezávisle vyvinuli okolní teorii nekonečného počtu na konci 17. století. Také Leibniz odvedl velkou práci s vývojem konzistentní a užitečné notace a konceptů. Newton poskytl některé z nejdůležitějších aplikací pro fyziku, zejména integrálního počtu. Účelem této části je prozkoumat Newtonovy a Leibnizovy výzkumy v oblasti vývoje infinitezimálního počtu., Zvláštní význam bude kladen na ospravedlnění a popisné pojmy, které použili ve snaze porozumět počtu, jak jej sami pojali.

do poloviny 17. století změnila Evropská matematika své primární úložiště znalostí. Ve srovnání s minulého století, která udržuje Helénistické matematiky jako výchozí bod pro výzkum, Newton, Leibniz a jejich současníci stále díval směrem díla více moderních myslitelů., Evropa se stala domovem narůstající matematické komunity a s příchodem rozšířených institucionálních a organizačních základů byla dosažena nová úroveň organizace a akademické integrace. Důležité však je, že komunita postrádala formalismus; místo toho se skládala z neuspořádané hmoty různých metod, technik, notací, teorií a paradoxů.

Newton přišel k počtu jako součást jeho vyšetřování ve fyzice a geometrii. Považoval kalkul za vědecký popis generace pohybu a veličin., Ve srovnání, Leibniz se zaměřil na tangentní problém a věřil, že kalkul je metafyzické vysvětlení změny. Důležité je, že jádrem jejich vhledu byla formalizace inverzních vlastností mezi integrálem a diferenciálem funkce. Tento vhled byl očekáván jejich předchůdci, ale oni byli první, kdo si představit kalkul jako systém, ve kterém byly vytvořeny nové rétoriky a popisné pojmy., Jejich unikátní objevy nespočívá jen v jejich fantazii, ale také v jejich schopnost syntetizovat poznatky kolem nich do univerzální algoritmického procesu, čímž se vytvoří nový matematický systém.

NewtonEdit

Newton dokončeno definitivní zveřejnění formovat jeho fluxional calculus; spíše, že mnoho z jeho matematické objevy byly předány prostřednictvím korespondence, menší papíry, nebo jako vložený aspekty v jeho další definitivní kompilace, jako Principia a Opticks., Newton by začít jeho matematické školení jako zvolený dědic Isaac Barrow v Cambridge. Jeho schopnost byla rozpoznána brzy a rychle se naučil současné teorie. Podle 1664 Newton dělal jeho první důležitý příspěvek tím, že postupuje binomické teorém, který se rozšířil, aby zahrnovala frakční a negativní exponenty. Newtonovi se podařilo rozšířit použitelnost binomické věty aplikací algebry konečných veličin v analýze nekonečných sérií., Ukázal ochotu vnímat nekonečné řady nejen jako přibližná zařízení, ale také jako alternativní formy vyjádření termínu.

Mnoho z Newtonova kritické postřehy došlo během epidemie letech 1665-1666, které později popsal jako „prime mého věku pro vynález a zlobil matematiky a filosofie více, než kdykoliv od.“Bylo to během jeho epidemie vyvolané izolace, že první písemná koncepce fluxionary kalkul byl zaznamenán v nepublikované De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinetas., V tomto článku Newton určil oblast pod křivkou nejprve výpočtem momentální rychlosti změny a poté extrapolací celkové plochy. Začal tím, že uvažování o neurčito malý trojúhelník, jehož plocha je funkcí x a y. Pak usoudil, že nekonečně malý nárůst v ose x bude vytvářet nové vzorce, kde x = x + o (důležitější je, ó je písmeno, ne číslice 0). Poté přepočítal oblast pomocí binomické věty, odstranil všechna množství obsahující písmeno o a znovu vytvořil algebraický výraz pro oblast., Významně, Newton by pak“ vypustil „množství obsahující o, protože termíny“ vynásobené tím nebudou nic ve vztahu k ostatním“.

v tomto okamžiku Newton začal realizovat centrální vlastnost inverze. Vytvořil výraz pro oblast pod křivkou tím, že uvažoval o okamžitém zvýšení v bodě. Ve skutečnosti byla do jeho výpočtů zabudována Základní věta o počtu. Zatímco jeho nová formulace nabídla neuvěřitelný potenciál, Newton si byl v té době dobře vědom svých logických omezení., Připouští, že „chyby nelze v matematice ignorovat, bez ohledu na to, jak malé“ a že to, čeho dosáhl, bylo „krátce vysvětleno spíše než přesně prokázáno.“

Ve snaze dát kalkul přísnější vysvětlení a rámec, Newton sestavil v roce 1671 na Fluxionum Methodus Serierum et Infinitarum. V této knize Newtonův přísný empirismus formoval a definoval jeho fluxionální počet. Využil okamžitého pohybu a nekonečně neformálně. Použil matematiku jako metodický nástroj k vysvětlení fyzického světa., Základem Newtonova revidovaného počtu se stala kontinuita; jako takový předefinoval své výpočty z hlediska kontinuálního plynulého pohybu. Pro Newton nejsou variabilní veličiny agregáty nekonečných prvků, ale jsou generovány nespornou skutečností pohybu. Stejně jako u mnoha jeho děl, Newton zpožděné zveřejnění. Metodus Fluxionum byl publikován až v roce 1736.

Newton se pokusil vyhnout použití infinitesimálu vytvořením výpočtů založených na poměrech změn., V Methodus Fluxionum definoval rychlost generované změny jako fluxion, který reprezentoval tečkovaným písmenem, a množství generované definoval jako plynulý. Například, pokud x {\displaystyle {x}} a y {\displaystyle {y}} jsou fluents, pak x {\displaystyle {\dot {x}}} y {\displaystyle {\dot {y}}}, jsou jejich příslušných fluxions., Tento revidovaný pocet poměry pokračoval být vyvinut a je zrale uvedeno v roce 1676 text De Quadratura Curvarum, kde Newton přišel definovat současnost derivát jako konečný poměr změny, která je definována jako poměr mezi pomíjivý krocích (poměr fluxions) čistě na okamžik v úvahu. V podstatě, konečný poměr je poměr jako přírůstky zmizí do nicoty., Důležitější je, Newton vysvětlil existenci konečný poměr odvoláním na pohybu;

„Pro maximální rychlost znamená, že, s níž se pohybuje v těle, ani před tím, než dorazí na poslední místo, když pohyb ustane, ani po, ale v ten okamžik, kdy to přijde… konečný poměr evanescentní množství je třeba chápat, poměr množství ne před tím, než zmizí, ne po, ale s níž zmizí“

Newton vyvinul jeho fluxional calculus ve snaze vyhnout se neformální použití na drobnosti v jeho výpočtech.,

LeibnizEdit

Když Newton začal vývoj jeho fluxional calculus v 1665-1666 jeho zjištění se nestal široce obíhal až později. V následujících letech se Leibniz také snažil vytvořit svůj počet., Ve srovnání s Newtonem, který přišel do matematiky v raném věku, Leibniz začal své přísné matematické studium se zralým intelektem. Byl polymath, a jeho intelektuální zájmy a úspěchy zahrnovaly metafyziku, právo, ekonomie, politika, logika, a matematika. Abychom pochopili leibnizovo uvažování v kalkulu, je třeba mít na paměti jeho pozadí. Zvláště, jeho metafyzice, která popisuje vesmír jako Monadology, a jeho plány na vytvoření přesné formální logiky, přičemž „obecnou metodu, v níž všechny pravdy důvod, proč by být snížena na druh výpočtu.,“

v roce 1672 se Leibniz setkal s matematikem Huygensem, který přesvědčil Leibnize, aby věnoval významný čas studiu matematiky. Do roku 1673 postupoval ke čtení Pascalovy Traité des Sinus du Quarte Cercle a během jeho převážně autodidaktického výzkumu řekl Leibniz „zapnuté světlo“. Stejně jako Newton, Leibniz viděl tangens jako poměr, ale prohlásil to jako jednoduše poměr mezi souřadnicemi a úsečkami., On pokračoval v tomto uvažování tvrdit, že integrál byl ve skutečnosti součet souřadnic pro nekonečně malé intervaly v ose x; ve skutečnosti, součet nekonečného počtu obdélníků. Z těchto definic inverzní vztah nebo diferenciální jasné a Leibniz rychle si uvědomil potenciál vytvořit zcela nový systém matematiky. Kde Newton v průběhu své kariéry používá několik přístupů kromě přístupu pomocí drobnosti, Leibniz učinil tento úhelný kámen jeho zápis a kalkul.,

v rukopisech ze dne 25.října do 11. listopadu 1675 zaznamenal Leibniz své objevy a experimenty s různými formami notace. Byl si dobře vědom notační pojmy použité a jeho dřívější plány na vytvoření přesné logické symboliky stala evidentní. Nakonec, Leibniz označuje nekonečně malé přírůstky abscissas a souřadnic dx a dy, a součet nekonečně mnoha nekonečně tenké obdélníky, jak dlouho s (∫ ), který se stal v současnosti nedílnou symbol ∫ {\displaystyle \scriptstyle \int } .,

zatímco Leibnizova notace je používána moderní matematikou, jeho logická základna se lišila od naší současné. Leibniz objal infinitesimals a napsal rozsáhle tak jako, “ nedělat z nekonečně malého tajemství, jak měl Pascal.“Podle Gillese Deleuze, Leibniz je nul „jsou nesmysly, ale oni nejsou absolutní nesmysly, jsou to nesmysly, respektive“ (cituje Leibniz‘ text „Odůvodnění pocet drobnosti počet obyčejné algebry“). Alternativně, definuje je jako, “ méně než jakékoli dané množství.,“Pro Leibniz byl svět souhrnem nekonečných bodů a nedostatek vědeckých důkazů o jejich existenci ho neobtěžoval. Infinitesimals do Leibniz byly ideální množství jiného typu od znatelných čísel. Pravda kontinuity byla prokázána samotnou existencí. Pro Leibnize byl zajištěn princip kontinuity a tím i platnost jeho kalkulu. Tři sta let po leibnizově práci Abraham Robinson ukázal, že použití nekonečných množství v počtu by mohlo mít pevný základ.,

LegacyEdit

vzestup počtu vyniká jako jedinečný okamžik v matematice. Kalkul je matematika pohybu a změny, a jako takový, jeho vynález vyžadoval vytvoření nového matematického systému. Důležité je, že Newton a Leibniz nevytvořili stejný počet a nepředstavovali si moderní počet. Zatímco oba byli zapojeni do procesu vytváření matematického systému pro řešení proměnných veličin, jejich základní základna byla odlišná., Pro Newtona byla změna v průběhu času proměnnou veličinou a pro Leibniz to byl rozdíl v rozmezí sekvence nekonečně blízkých hodnot. Zejména, popisné pojmy každý systém vytvořený k popisu změny byl jiný.

historicky se hodně diskutovalo o tom, zda to byl Newton nebo Leibniz, kdo poprvé „vynalezl“ kalkul. Tento argument, Leibniz a Newton diferenciální počet kontroverze, zahrnující Leibniz, který byl němec a Angličan Newton, vedl k rozkolu v Evropské matematické komunity trvající více než století., Leibniz byl prvním publikování jeho vyšetřování; nicméně, to je dobře, že Newton začal pracovat několik let před Leibniz a již vyvinul teorii tečny v době, Leibniz se stal zájem v otázce.Není známo, jak moc to může mít vliv Leibniz. Původní obvinění ze strany studentů a příznivců dvou velkých vědců na přelomu století, ale po roce 1711 oba osobně zapojil, se vzájemně obviňují z plagiátorství.,

prioritní spor měl za následek oddělení anglicky mluvících matematiků od těch v kontinentální Evropě po mnoho let. Pouze v 1820s, vzhledem k úsilí Analytické Společnosti, udělal Leibnizian analytického kalkulu stát přijal v Anglii. Dnes jsou Newton i Leibniz oceněni za nezávislý rozvoj základů kalkulu. Je to Leibniz, který je však připočítán s tím, že nové disciplíně dal jméno, které je dnes známo: „počet“. Newtonovo jméno bylo „věda o fluentech a fluxionech“.,

práce Newtona i Leibnize se odráží v dnešní notaci. Newton zavedl zápis f {\displaystyle {\dot {f}}} pro derivace funkce f. Leibniz zavedl symbol ∫ {\displaystyle \int } pro integrální a napsal derivace funkce y proměnné x d y d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}} , z nichž oba jsou stále v provozu.

od doby Leibniz a Newton, mnoho matematiků přispělo k pokračujícímu rozvoji počtu., Jedna z prvních a nejúplnějších prací na nekonečném i integrálním počtu byla napsána v roce 1748 Maria Gaetana Agnesi.

Provozní methodsEdit

Antoine Arbogast (1800) byl první samostatný symbol provozu od množství v diferenciální rovnici. Francois-Joseph Servois (1814) se zdá být první, kdo dal správná pravidla na toto téma. Charles James Hargreave (1848) použil tyto metody ve svých pamětech o diferenciálních rovnicích a George Boole je volně zaměstnával., Hermann Grassmann a Hermann Hankel velmi využili teorii, první ve studiu rovnic, druhá v jeho teorii složitých čísel.

Počet variacíedit

počet variací lze říci, že začíná problémem Johanna Bernoulliho (1696). Okamžitě zaujala pozornost Jakoba Bernoulliho, ale Leonhard Euler nejprve zpracoval toto téma. Jeho příspěvky začaly v roce 1733 a jeho Prvočíselná Variaceum dala vědě své jméno., Joseph Louis Lagrange značně přispěl k teorii, a Adrien-Marie Legendre (1786) stanovené metodou, není zcela uspokojivé, pro diskriminaci z maxima a minima. K této diskriminaci Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Denis Poisson (1831), Michail Vasiljevič Ostrogradsky (1834), a Carl Gustav Jakob Jacobi (1837) byly mezi přispěvateli. Důležitou obecnou prací je Sarrus (1842), který byl kondenzován a vylepšen Augustinem Louisem Cauchym (1844)., Další cenné pojednání a vzpomínky byly napsány Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858), a Carll (1885), ale možná nejdůležitější práci. století je, že Karl Weierstrass. Jeho kurz na teorii lze tvrdit, že je první, kdo umístí kalkul na pevný a přísný základ.