koule má dvě strany. Chyba může být zachycena uvnitř sférického tvaru nebo volně procházet na viditelném povrchu. Tenký list papíru ležící na stole má také dvě strany. Stránky v knize jsou obvykle číslovány dva na list papíru. První jednostranný povrch objevil A. F.Möbius (1790-1868) a nese jeho jméno: Möbius strip. Někdy je to alternativně nazýváno kapelou Möbius. (Ve skutečnosti byl povrch popsán nezávisle a dříve o dva měsíce jiným německým matematikem J. B. Listingem.) Pás zvěčnil M. C., Escher (1898-1972).
Chcete-li získat pás Möbius, začněte pruhem papíru. Twist jeden konec 180o (poloviční otáčky) a přilepte konce k sobě (soubor avi trvá 267264 bajtů). Pro srovnání, pokud lepíte konce bez zkroucení, výsledek by vypadal jako válec nebo kroužek v závislosti na šířce pásu. Zkuste řezat pás podél střední čáry. Lidé neznající Topologie zřídka hádat správně, jaký by byl výsledek. Je také zajímavé řezat pás 1/3 cesty na jeden okraj. Zkus to.,
dal jsem dohromady krátký (155648 bajtů) avi film kroucení Möbius pásu. (Když se dostanete na stránku filmu, klikněte na rámeček a spusťte film.)
Jakmile znáte trik, určitě byste chtěli najít další jednostranné povrchy. Před lepením konců můžete pás dvakrát nebo dokonce třikrát otočit. Máte jednostranný nebo oboustranný povrch?,
 |
 |
 |
 |
 |
 |
P.S.
There is an additional page with an interactive Java illustration that lets one „see through“ the strip in more than one sense., A samozřejmě existují i další stránky věnované pásu Möbius, které jsou k dispozici na internetu. Jeden si zaslouží zvláštní zmínku. Richard Marsden (jehož stránka zmizela z webu) se podařilo vyrobit verzi pásu VRML. Užíval jsem si otáčení pásu tímto způsobem a tímto způsobem. Nevím proč, ale následující pasáž o Art Buchwald z zadní kryt Ephraim Kishon je Nejvtipnější Člověk na Světě, přišel do mé mysli:
Ephraim Kishon je druhý nejzábavnější humorista vím… Je k popukání a já ho nenávidím.,
Jak na to
já se jen probrat tu Matematiku, že šel do möbiova páska vytvoření filmu.
-
vše začíná pozorováním, které jsem sbíral na stránkách Mathsoft. Pro pevné rozsah hodnot t, zvažte křivky
x(t) = Rsin(t/R), y(t) = R(1 – cos(t/R)),
parametrizované R. Každý z nich je kus kružnice,
x(t)2 + (y(t) – R)2 = R2.,
pro velké R (a pevný rozsah T) je takový kus malý vzhledem k velikosti kruhů, a proto vypadá téměř jako přímkový segment. U malých hodnot R (poblíž 1) je kus blíže k úplnému kruhu.
-
Když jsou kusy zobrazen, jeden v době klesající posloupnost R, rámy vytvořit dojem segment je složený do kruhu. Generovat filmu, použil jsem 21 snímky číslovány od 0 do 20, s poloměrem mění podle vzorce
R(k) = 21 / (k + 1),
, kde k je číslo rámu.,
-
vytvoření pásu Möbius je 3-dimenzionální záležitost. Proto kromě souřadnic x (horizontální) a y (vertikální) potřebujeme také souřadnici z. Myslete na tuto souřadnici tak, jak je směrována kolmo k obrazovce. Pro počáteční segment, který je spíše jako kus přímky než kruhový oblouk, jsem vzal z = const pro délku segmentu. Segment se stává obdélníkem – „pásem“ – který má být složen do pásu Möbius., Obdélník má dvě strany: původní segment, který je níže označován jako “ segment (xy) „a kolmá strana, označovaná jako „segment z“.“
-
protože segment (xy) se skládá do kruhu, segment z se otáčí v rovině (yz). Diskutoval jsem o rotaci roviny na mých stránkách cykloidů. Jedna námitka je však v pořádku. Chcete-li vytvořit pás Möbius, musíme otočit celý obdélník, nejen jeho konce z., Různé části obdélníku by se však měly otáčet různými rychlostmi-konec se otáčí nejrychleji, zatímco střed pásu by se neměl vůbec pohybovat. Proto používám množství
w = (t-tmiddle) 2
jako úhlovou rychlost pro segment z v různých bodech na složeném segmentu (xy). Množství je velmi téměř 0 pro body blízké středu pásu.
-
nakonec by se oba konce pásu měly otáčet v opačných směrech. Aby se navíc musela matice rotace vynásobit znaménkem
(t-tmiddle).
to je vše., Velmi praktická aplikace malé trigonometrie a analytické geometrie. K dispozici je další film, 303104 bajtů. Ukazuje přední pohled na kroucený pás.
dopis od Alexandra Grässer popisuje další řezání (ale nyní také vkládání) činnosti. Je možné slepit dva pásy papíru, ať už tyto válce nebo moebius proužky. Dokonce i v případě dvou válců výsledek překvapí většinu rodičů, nemluvě o jejich dětech.
Moje logo je také jednostranný povrch.,
Odkaz
- S. Barr, Experimenty V Topologii, Dover Publications, new york, 1989
- R. Courant a H. Robbins, Co je Matematika?, Oxford University Press, 1996
- K. Devlin, Matematika: Věda Vzory, Scientific American Library, 1997
- D. Hilbert a. S. Cohn-Vossen, Geometrie a Představivost, Chelsea Publishing Co, NY 1990.
- C. a. Pickover, the Mobius Strip: Dr., Srpna Mobius je Úžasné Kapely v Matematice, Hry, Literatura, Umění, Technologie, a Kosmologii, Thunder ‚ s Mouth Press, 2006
|Kontakt||Titulní stránka||Obsah||věděli jste?/ / Geometrie /
