Good Mood

AncientEdit

Den antikke periode indført nogle af de idéer, der førte til integralregning, men synes ikke at have udviklet disse ideer i en stringent og systematisk måde. Beregninger af mængder og områder, et mål med integreret beregning, findes i den egyptiske Moskva papyrus(ca ., 1820 f.kr.), men formlerne er kun givet for konkrete tal, nogle er kun omtrent sande, og de er ikke afledt af deduktiv begrundelse. Babylonierne kan have opdaget den Trape .formede regel, mens de laver astronomiske observationer af Jupiter.

Fra den alder, græsk matematik, Eudoxus (c. 408-355 F.KR.) anvendes den metode, der af udmattelse, som varsler koncept af grænsen, til at udregne arealer og volumener, mens Archimedes (c. 287-212 F.KR.), der er udviklet videre med denne idé, at opfinde heuristik, der ligner de metoder, der er af integralregning., Græsk matematikere er også krediteret med en betydelig brug af infinitesimals. Democritus er den første person, der er registreret for alvorligt at overveje opdelingen af objekter i et uendeligt antal tværsnit, men hans manglende evne til at rationalisere diskrete tværsnit med en kegles glatte hældning forhindrede ham i at acceptere ideen. På omtrent samme tid, disceno af Elea miskrediteret infinitesimals yderligere ved hans artikulation af paradokser, som de skaber.,

Archimedes har udviklet denne metode yderligere, samtidig med at opfinde heuristiske metoder, som ligner moderne begreber noget i hans Kvadratur af Parabel, Metode, og På den Kugle og Cylinder. Det bør ikke menes, at infinitesimals blev sat på en streng fod i løbet af denne tid, dog. Først når det blev suppleret med en ordentlig geometrisk bevis ville græsk matematikere acceptere et forslag som sandt., Det var først i det 17 århundrede, at metoden blev formaliseret ved Cavalieri som metoden for Indivisibles og til sidst indarbejdet af Ne .ton i en generel ramme af integrerende calculus. Arkimedes var den første til at finde tangenten til en kurve end en cirkel, i en metode beslægtet med differentialregning. Mens studere spiral, han adskilt et punkt bevægelse i to komponenter, en radial bevægelse komponent og en cirkulær bevægelse komponent, og derefter fortsatte med at tilføje de to komponenter bevægelser sammen, hvorved tangenten til kurven., Pionererne inden for calculus såsom Isaac Barro.og Johann Bernoulli var flittige studerende af Arkimedes, se for eksempel C. S. Roero (1983).

udmattelsesmetoden blev genopfundet i Kina af Liu Hui i det 4.århundrede e. kr. for at finde området i en cirkel. I det 5. århundrede etablerede Chu Chong .hi en metode, der senere ville blive kaldt Cavalieri ‘ s princip for at finde mængden af en kugle.

Middelalderedit

i det islamiske Mellemøsten afledte Den Arabiske matematiker Ibn al-Haytham (Alha .en) fra det 11.århundrede en formel for summen af fjerde magter., Han brugte resultaterne til at udføre, hvad der nu ville blive kaldt en integration, hvor formlerne for summen af integrerende kvadrater og fjerde beføjelser tillod ham at beregne mængden af en paraboloid. I det 12.århundrede opdagede den persiske matematiker Sharaf al-D .n al-t .s. derivatet af kubiske polynomier. Hans afhandling om ligninger udviklet begreber relateret til differentialregning, såsom afledte funktion og Ma .ima og minima af kurver, med henblik på at løse kubiske ligninger, som måske ikke har positive løsninger.,

nogle ideer om calculus senere dukkede op i indisk matematik, på Kerala school of astronomi og matematik. Madhava af Sangamagrama i det 14.århundrede, og senere matematikere af Kerala skole, erklærede komponenter af calculus såsom Taylor-serien og uendelig række tilnærmelser. De var imidlertid ikke i stand til at kombinere mange forskellige ideer under de to samlende temaer i derivatet og integralet, vise forbindelsen mellem de to og omdanne calculus til det kraftfulde problemløsningsværktøj, vi har i dag.,

den matematiske undersøgelse af kontinuitet blev genoplivet i det 14.århundrede af O .ford-regnemaskiner og franske samarbejdspartnere som Nicole Oresme. De beviste “Merton mean speed theorem”: at et ensartet accelereret legeme bevæger sig i samme afstand som et legeme med ensartet hastighed, hvis hastighed er halvdelen af den endelige hastighed for det accelererede legeme.

Tidligt ModernEdit

I det 17. århundrede, Europæiske matematikere, Isaac Barrow, René Descartes, Pierre de Fermat, Blaise Pascal, John Wallis og andre drøftet tanken om et derivat., Især i Methodus ad disquirendam maximam et minima og i De tangentibus linearum curvarum, Fermat udviklet en adequality metode til bestemmelse af maxima, minima og tangenter til forskellige kurver, der var tæt knyttet til en differentiering. Isaac Newton ville senere skrive, at hans egen tidlige ideer om calculus kom direkte fra “Fermat’ s måde at trække tangenter.,”

På den integrerende side, Cavalieri udviklede sin metode til indivisibles i 1630’erne og 1640’erne, hvilket giver en mere moderne form for oldgræsk metode af udmattelse, og computing Cavalieri ‘ s kvadratur formel, arealet under kurverne xn i højere grad, som tidligere kun havde været beregnet for den parabel, af Archimedes. Torricelli udvidet dette arbejde til andre kurver såsom cycloid, og derefter formlen blev generaliseret til fraktioneret og negative beføjelser ved .allis i 1656., I en afhandling fra 1659 krediteres Fermat med et genialt trick til at evaluere integralet af enhver magtfunktion direkte. Fermat opnåede også en teknik til at finde tyngdepunkterne i forskellige plane og solide figurer, hvilket påvirkede yderligere arbejde i kvadratur. James Gregory, påvirket af Fermat ‘ s bidrag både til tangency og til quaduadrature, blev derefter i stand til at bevise en begrænset version af den anden grundlæggende sætning af calculus i midten af 17 århundrede. Det første fulde bevis på den grundlæggende sætning af calculus blev givet af Isaac Barro..:p.,61 når bue mig ~ bue NH på tangenspunktet f fig.26

Det første bevis på, Rolle ‘ s sætning blev givet af Michel Rolle i 1691 ved hjælp af metoder udviklet af den hollandske matematiker Johann van Waveren Hudde., Den gennemsnitlige værdi sætning i sin moderne form blev anført af Bernard Bolzano og Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) også efter grundlæggelsen af det moderne calculus. Vigtige bidrag blev også foretaget af Barro., Huygens, og mange andre.

Newton og LeibnizEdit

Før Newton og Leibniz, ordet “calculus” forstås ethvert organ af matematik, men i de følgende år, “calculus” blev en populær betegnelse for et område af matematik, der er baseret på deres viden., Ne .ton og Leibni., der bygger på dette arbejde, uafhængigt udviklet den omgivende teori om uendelig lille calculus i slutningen af det 17. århundrede. Også, Leibni.gjorde en stor indsats med at udvikle konsekvent og nyttig notation og begreber. Ne .ton forudsat nogle af de vigtigste programmer til fysik, især af integral calculus. Formålet med dette afsnit er at undersøge ne .ton og Leibni. ‘ s undersøgelser i udviklingslandene inden for uendelig lille calculus., Særlig betydning vil blive sat på den begrundelse og beskrivende udtryk, som de brugte i et forsøg på at forstå calculus som de selv udtænkt det.

i midten af det 17.århundrede havde europæisk matematik ændret sit primære lager af viden. I forhold til det sidste århundrede, som vedligeholdes Hellenistisk matematik som udgangspunkt for forskning, ne .ton, Leibni.og deres jævnaldrende i stigende grad kiggede hen imod værker af mere moderne tænkere., Europa var blevet hjemsted for en spirende matematiske samfund og med fremkomsten af forbedrede institutionelle og organisatoriske baser et nyt niveau af organisation og akademisk integration blev opnået. Vigtigere, imidlertid, samfundet manglede formalisme; i stedet bestod det af en uordnet masse af forskellige metoder, teknikker, notationer, teorier, og paradokser.

ne .ton kom til calculus som en del af hans undersøgelser i fysik og geometri. Han betragtede calculus som den videnskabelige beskrivelse af den generation af bevægelse og størrelser., Til sammenligning Leibni.fokuseret på tangenten problem og kom til at tro, at calculus var en metafysisk forklaring af forandringer. Det er vigtigt, at kernen i deres indsigt var formaliseringen af de omvendte egenskaber mellem integralet og forskellen i en funktion. Denne indsigt var blevet forudset af deres forgængere, men de var de første til at forestille calculus som et system, hvor ny retorik og beskrivende udtryk blev oprettet., Deres unikke opdagelser ligger ikke kun i deres fantasi, men også i deres evne til at syntetisere indsigterne omkring dem i en universel algoritmisk proces og derved danne et nyt matematisk system.

NewtonEdit

Newton afsluttet ingen endelig offentliggørelse formalisere sin fluxional calculus, men snarere, at mange af hans matematiske opdagelser blev videregivet gennem korrespondance, mindre papirer eller som integrerede aspekter i sin endelige andre datasamlinger, som Principia og Opticks., Ne .ton ville begynde sin matematiske uddannelse som den valgte arving af Isaac Barro.i Cambridge. Hans evne blev anerkendt tidligt, og han lærte hurtigt de nuværende teorier. Ved 1664 ne .ton havde gjort sit første vigtige bidrag ved at fremme binomial sætning, som han havde udvidet til også at omfatte fraktioneret og negative eksponenter. Ne .ton lykkedes at udvide anvendeligheden af binomial sætning ved at anvende algebra af begrænsede mængder i en analyse af uendelig række., Han viste en vilje til at se uendelig række ikke kun som omtrentlige enheder, men også som alternative former for at udtrykke et udtryk.mange af Ne .tons kritiske indsigt fandt sted i pestårene 1665-1666, som han senere beskrev som: “det primære i min alder for opfindelse og minded matematik og filosofi mere end på noget tidspunkt siden.”Det var under hans pest-induceret isoleret, at den første skriftlige opfattelse af fluxionary calculus blev optaget i den upublicerede De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas., I dette papir bestemte ne .ton området under en kurve ved først at beregne en øjeblikkelig ændringshastighed og derefter ekstrapolere det samlede areal. Han begyndte med at ræsonnere om en ubestemt lille trekant, hvis område er en funktion af and og y. han begrundede derefter, at den uendelige stigning i abscissen vil skabe en ny formel, hvor = = + + o (vigtigere, o er brevet, ikke cifferet 0). Han genberegnede området ved hjælp af binomial sætning, fjernet alle mængder, der indeholder bogstavet o og re-dannet en algebraisk udtryk for området., Betydeligt ville ne .ton derefter “udslette” mængderne indeholdende o, fordi udtryk “multipliceret med det ikke vil være noget i forhold til resten”.

på dette tidspunkt ne .ton var begyndt at realisere den centrale egenskab af inversion. Han havde skabt et udtryk for området under en kurve ved at overveje en momentan stigning på et punkt. I virkeligheden blev den grundlæggende sætning af calculus indbygget i hans beregninger. Mens hans nye formulering tilbudt utrolig potentiale, ne .ton var godt klar over sine logiske begrænsninger på det tidspunkt., Han indrømmer, at “fejl er ikke at blive ignoreret i matematik, uanset hvor lille”, og at det, han havde opnået var “kort forklaret snarere end præcist demonstreret.”

I et forsøg på at give calculus en mere grundig eksplicitering og rammer, Newton, som udarbejdes i 1671 den Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum. I denne bog, ne .tons strenge empirisme formet og defineret hans Flu .ional calculus. Han udnyttede øjeblikkelig bevægelse og infinitesimals uformelt. Han brugte matematik som et metodologisk værktøj til at forklare den fysiske verden., Grundlaget for Ne .ton ‘ s reviderede calculus blev kontinuitet, som sådan han omdefineret hans beregninger i form af løbende strømmende bevægelse. For Ne .ton er variable størrelser ikke aggregater af uendelige elementer, men genereres af den ubestridelige kendsgerning om bevægelse. Som med mange af hans værker forsinkede ne .ton offentliggørelsen. Methodus Flu .ionum blev først offentliggjort i 1736.

ne .ton forsøgte at undgå brugen af det uendelige ved at danne beregninger baseret på ændringsforhold., I Methodus Flu .ionum definerede han hastigheden for genereret ændring som en Flu .ion, som han repræsenterede ved et stiplet bogstav, og den genererede mængde definerede han som en flydende. For eksempel, hvis Flu {\displaystyle {}}} og y {\displaystyle {y}} er flydende, så er Displ {\displaystyle {\dot {.}}} og y {\displaystyle {\dot {y}}} deres respektive Flu .ioner., Denne reviderede beregninger af nøgletal, fortsat skal udvikles og var maturely anført i 1676 tekst De Quadratura Curvarum, hvor Newton kom til at definere den dag derivat som den ultimative forholdet ændre sig, som han, der er defineret som forholdet mellem evanescent intervaller (forholdet mellem fluxions) rent i det øjeblik i tvivl. I det væsentlige er det ultimative forhold forholdet, da trinnene forsvinder til intetheden., Vigtigere er, at Newton forklarede eksistensen af de ultimative forhold ved at appellere til bevægelse;

“For med den ultimative hastighed er beregnet, at der med, hvor kroppen er flyttet, hverken før det ankommer til det sidste sted, når bevægelse ophører eller efter, men på den meget direkte, når det ankommer… den ultimative forholdet mellem evanescent mængder, der er til at forstå forholdet mellem mængder, der ikke før de forsvinder, og ikke efter, men som de forsvinder”

Newton udviklede sin fluxional calculus i et forsøg på at unddrage sig den uformelle brug af infinitesimals i hans beregninger.,

LeibnizEdit

Mens Newton begyndte udviklingen af hans fluxional calculus i 1665-1666 hans resultater ikke blive udsendt senere. I de mellemliggende år Leibni.også stræbte efter at skabe hans calculus., I sammenligning med Ne .ton, der kom til matematik i en tidlig alder, Leibni.begyndte sine strenge matematikstudier med et modent intellekt. Han var en polymath, og hans intellektuelle interesser og resultater involveret metafysik, lov, økonomi, politik, logik og matematik. For at forstå Leibni. ‘ s ræsonnement i calculus hans baggrund bør holdes for øje. Især, hans metafysik, som beskrives universet som en Monadology, og hans planer om at skabe en præcis formel logik, hvorved “en generel metode, hvor alle sandheder af den grund ville blive reduceret til en slags beregning.,”

i 1672 mødte Leibni.matematikeren Huygens, der overbeviste Leibni. om at afsætte betydelig tid til studiet af matematik. Ved 1673 havde han udviklet sig til at læse Pascal ‘ s trait.des Sinus du Ceruarte Cercle og det var under hans stort set autodidaktiske forskning, Leibni. sagde “en lys tændt”. Ligesom Ne .ton så Leibni.tangenten som et forhold, men erklærede det som blot forholdet mellem ordinater og abscisser., Han fortsatte denne begrundelse for at hævde, at den integrerende var faktisk summen af ordinates for uendelig lille intervaller i abscissa; i realiteten summen af et uendeligt antal rektangler. Fra disse definitioner den inverse forhold eller differentieret blev klart og Leibni.hurtigt realiseret potentiale til at danne et helt nyt system for matematik. Hvor Newton i løbet af sin karriere brugt flere metoder i tillæg til en fremgangsmåde, ved hjælp infinitesimals, Leibniz gjorde dette hjørnestenen i hans notation og calculus.,

i manuskripterne fra 25.oktober til 11. November 1675 registrerede Leibni. sine opdagelser og eksperimenter med forskellige former for notation. Han var meget opmærksom på de notationelle udtryk, der blev brugt, og hans tidligere planer om at danne en præcis logisk symbolik blev tydelig. I sidste ende, Leibniz betegnet den infinitesimale størrelser af abscissas og koordinerer dx og dy, og summen af uendelig mange forsvindende tynde rektangler som en lang s (∫ ), der blev den nuværende integreret symbol ∫ {\displaystyle \scriptstyle \int } .,mens Leibni. ‘ s notation bruges af moderne matematik, var hans logiske base forskellig fra vores nuværende. Leibni.omfavnede infinitesimals og skrev udførligt, så som, “ikke at gøre det uendeligt lille et mysterium, som havde Pascal.”Ifølge Gilles Deleuze, Leibniz’ nuller “er nothings, men de er ikke absolut nothings, de er nothings henholdsvis” (citat Leibniz’ tekst “Begrundelse for calculus infinitesimals af calculus almindelige algebra”). Alternativt definerer han dem som ” mindre end en given mængde.,”For Leibni.var verden et aggregat af uendelige punkter, og manglen på videnskabeligt bevis for deres eksistens forstyrrede ham ikke. Infinitesimals til Leibni.var ideelle mængder af en anden type fra mærkbare tal. Sandheden om kontinuitet blev bevist ved selve eksistensen. For Leibni.princippet om kontinuitet og dermed gyldigheden af hans calculus var sikret. Tre hundrede år efter Leibni. ‘ s arbejde, Abraham Robinson viste, at bruge uendelig lille mængder i calculus kunne gives et solidt fundament.,

LegacyEdit

stigningen af calculus skiller sig ud som et unikt øjeblik i matematik. Calculus er matematik for bevægelse og forandring, og som sådan krævede dens opfindelse oprettelsen af et nyt matematisk system. Vigtigere, ne .ton og Leibni.ikke skabe den samme calculus og de ikke forestille sig moderne calculus. Mens de begge var involveret i processen med at skabe et matematisk system til at beskæftige sig med variable mængder deres elementære base var anderledes., For Ne .ton, ændring var en variabel mængde over tid og for Leibni.det var forskellen spænder over en sekvens af uendeligt tæt værdier. Især, de beskrivende udtryk hvert system oprettet for at beskrive forandring var anderledes.

Historisk var der meget debat om, hvorvidt det var ne .ton eller Leibni., der først “opfandt” calculus. Dette argument, Leibniz og Newton calculus kontrovers, der involverer Leibniz, der var tysk, og Englænderen Newton, førte til en splittelse i det Europæiske matematiske fællesskab, der varede mere end et århundrede., Leibniz var de første til at offentliggøre sine undersøgelser; men det er velkendt, at Newton havde begyndt sit arbejde flere år forud for Leibniz og allerede havde udviklet en teori med tangenter af den tid, Leibniz blev interesseret i spørgsmålet.Det vides ikke, hvor meget dette kan have påvirket Leibniz. De oprindelige beskyldninger blev fremsat af studerende og tilhængere af de to store forskere ved århundredeskiftet, men efter 1711 blev begge personligt involveret og beskyldte hinanden for plagiering.,den prioriterede tvist havde en virkning af at adskille engelsktalende matematikere fra dem i det kontinentale Europa i mange år. Først i 1820 ‘ erne blev Leibni .ian analytical calculus på grund af indsatsen fra Analytical Society accepteret i England. I dag får både ne .ton og Leibni.kredit for selvstændigt at udvikle det grundlæggende i calculus. Det er imidlertid Leibni., der krediteres med at give den nye disciplin det navn, den er kendt i dag: “calculus”. Ne .tons navn for det var “videnskaben om flydende og flydende”.,

arbejdet i både ne .ton og Leibni.afspejles i den notation, der anvendes i dag. Newton indførte notation f {\displaystyle {\dot {f}}} for den afledede af en funktion f. Leibniz indførte symbolet ∫ {\displaystyle \int } for integral og skrev den afledede af en funktion y af variablen x d y d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}} , som begge er stadig i brug.

siden leibni.og Ne .tons tid har mange matematikere bidraget til den fortsatte udvikling af calculus., En af de første og mest komplette værker på både uendelig lille og integrerende calculus blev skrevet i 1748 af Maria Gaetana Agnesi.

operationelle metoderrediger

Antoine Arbogast (1800) var den første til at adskille operationssymbolet fra kvantitet i en differentialligning. Francois-Joseph Servois (1814) synes at have været den første til at give korrekte regler om emnet. Charles James Hargreave (1848) anvendt disse metoder i hans memoir om differentialligninger, og George Boole frit ansat dem., Hermann Grassmann og Hermann Hankel gjort stor brug af den teori, førstnævnte i at studere ligninger, sidstnævnte i hans teori om komplekse tal.

Calculus af variationsEdit

den calculus af variationer kan siges at begynde med et problem med Johann Bernoulli (1696). Det straks besatte opmærksomhed Jakob Bernoulli men Leonhard Euler først udarbejdet emnet. Hans bidrag begyndte i 1733, og hans Elementa Calculi Variationum gav til videnskaben sit navn., Joseph Louis Lagrange bidrog meget til teorien, og Adrien-Marie Legendre (1786) fastsatte en metode, ikke helt tilfredsstillende, til forskelsbehandling af maksima og minima. At denne forskelsbehandling Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon-Denis Poisson (1831), Mikhail Vasilievich Ostrogradsky (1834), og Carl Gustav Jacob Jacobi (1837) har været blandt bidragsyderne. Et vigtigt generelt arbejde er, at Sarrus (1842), som blev kondenseret og forbedret ved Augustin Louis Cauchy (1844)., Andre værdifulde afhandlinger og erindringer er blevet skrevet af Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858), og Carli (1885), men måske den mest vigtige arbejde århundrede, er, at Karl Weierstrass. Hans kursus om teorien kan hævdes at være den første til at placere calculus på et fast og stringent fundament.