sfære har to sider. En fejl kan være fanget inde i en sfærisk form eller kravle frit på sin synlige overflade. Et tyndt ark papir, der ligger på et skrivebord, har også to sider. Sider i en bog er normalt nummereret to pr. Den første ensidige overflade blev opdaget af A. F. M .bius (1790-1868) og bærer hans Navn: m .bius strip. Nogle gange kaldes det alternativt et mbbius band. (I virkeligheden blev overfladen beskrevet uafhængigt og tidligere med to måneder af en anden tysk matematiker J. B. Listing.) Strimlen blev udødeliggjort af M. C., Escher (1898-1972).
for at få en mbbius-strimmel skal du starte med en papirstrimmel. Drej den ene ende 180o (halv omgang) og lim enderne sammen (avi-filen tager 267264 bytes). Til sammenligning, hvis du limer enderne uden at vride resultatet ville ligne en cylinder eller en ring afhængigt af bredden af strimlen. Prøv at skære strimlen langs mellemlinjen. Folk, der ikke er bekendt med topologi, gætter sjældent korrekt, hvad der ville være resultatet. Det er også interessant at skære strimlen 1/3 af vejen til den ene kant. Prøv det.,
jeg har sammensat en kort (155648 bytes) avi film af en drejende Möbius strip. (Når du kommer til filmsiden, skal du klikke på rammen for at starte filmen.)
nu når du kender tricket, vil du helt sikkert gerne finde andre ensidige overflader. Før limning af enderne sammen kan du vride strimlen to gange eller endda tre gange. Får du ensidig eller tosidet overflade?,
 |
 |
 |
 |
 |
 |
P.S.
There is an additional page with an interactive Java illustration that lets one “see through” the strip in more than one sense., Og selvfølgelig er der andre sider, der er afsat til mbbius-striben, tilgængelige på internettet. Man fortjener en særlig omtale. Richard Marsden (hvis side er forsvundet fra internettet) formåede at producere en VRML-version af strimlen. Jeg nød at rotere strimlen på denne måde og på den måde. Ved ikke hvorfor, men følgende passage af Art Buch .ald fra bagsiden af Ephraim Kishons den sjoveste mand i verden kom til mig:
Ephraim Kishon er den anden sjoveste humorist jeg kender… Han er morsom, og jeg hader ham.,
Hvordan er det gjort
jeg vil kun diskutere her den Matematik, der gik ind i Möbius strip skabe film.
-
det hele starter med en observation jeg samlet surfing MathSoft sider. For et fast interval af værdier af t, overveje kurver
x(t) = Rsin(t/R), y(t) = R(1 – cos(t/R)),
parametriserede af R. Hver af dem er et stykke af cirklen
x(t)2 + (y(t) – R)2 = R2.,
for store R (og et fast interval af t ‘ er) er et sådant stykke lille i forhold til størrelsen af cirklerne og ser derfor næsten ud som et lige linjesegment. For små værdier af R (nær 1) er stykket tættere på en komplet cirkel.
-
når stykkerne vises en ad gangen for en faldende sekvens af R ‘ er, skaber rammerne et indtryk af et segment, der foldes ind i en cirkel. For at generere filmen brugte jeg 21 rammer nummereret 0 til 20, hvor radius ændrede sig i henhold til formlen
R(k) = 21 / (K + 1),
hvor k er et rammenummer.,
-
oprettelse af en mbbius-strimmel er en 3-dimensionel affære. Derfor har vi i tillæg til coordinates (vandret) og y (lodret) koordinater også brug for en coordinate-koordinat. Tænk på at koordinere som rettet vinkelret på skærmen. For det oprindelige segment, som er mere som et stykke af en lige linje end en cirkulær bue, tog jeg = = const for længden af segmentet. Segmentet bliver et rektangel – et “bånd” – der skal foldes ind i en M .bius-strimmel., Rektanglet har to sider: det originale segment, der nedenfor benævnes “((y) segmentet”, og den vinkelrette side, benævnt “segment-segmentet.”
-
Når (yy) segmentet foldes ind i en cirkel, roterer segment-segmentet i (Y.) – planet. Jeg har diskuteret rotation af et fly på mine cycloids sider. En advarsel er dog i orden. For at skabe en mbbius-strimmel skal vi vride hele rektanglet, ikke kun dets ends-ender., Imidlertid bør forskellige dele af rektanglet rotere med forskellige hastigheder-enden roterer hurtigst, mens midten af strimlen ikke skal bevæge sig overhovedet. Således bruger jeg mængden
= = (t – tmiddle)2
som vinkelhastighed for segment-segmentet på forskellige punkter på det foldede (.y) segment. Mængden er meget næsten 0 for punkter tæt på midten af strimlen.
-
endelig skal de to ender af strimlen rotere i modsatte retninger. Således at rotationsmatri .en skulle multipliceres med
tegn(t – tmiddle).
det er det., En meget praktisk anvendelse af en lille trigonometri og Analytisk Geometri. Der er en andenopretningsfilm, 303104 bytes. Det viser forsiden af vridestrimlen.
Et brev fra Alexander Grässer beskriver yderligere opskæring (men nu også indsætte) aktiviteter. Det er muligt at lime sammen to bånd papir, det være sig disse cylindre eller moebius strimler. Selv i tilfælde af to cylindre vil resultatet overraske de fleste forældre, for ikke at nævne deres børn.
mit logo er også en ensidig overflade.,
Reference
- S. Barr, Eksperimenter I Topologi, Dover Publications, NY, 1989
- R. Courant og H. Robbins, Hvad er Matematik? Oxford University Press, 1996
- K. Devlin, Matematik: Videnskaben om Mønstre, Scientific American Library, 1997
- D. Hilbert og S. Cohn-Vossen, Geometri og Fantasi, Chelsea Publishing Co, NY 1990.
- C. A. Pickover, the Mobius Strip: Dr., August Mobius ‘ s Fantastiske Band i Matematik, Spil, Litteratur, Kunst, Teknologi, og Kosmologi, Thunder Munden Press, 2006
|Kontakt||Forside||Indhold||Vidste du?/ / Geometri /
