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AncientEdit

El período antiguo, se presentaron algunas de las ideas que condujeron al cálculo integral, pero no parece haber desarrollado estas ideas en un riguroso y sistemático. Los cálculos de volúmenes y áreas, uno de los objetivos del cálculo integral, se pueden encontrar en el papiro egipcio de Moscú (C., 1820 a. C.), pero las fórmulas solo se dan para números concretos, algunas solo son aproximadamente verdaderas, y no se derivan por razonamiento deductivo. Los babilonios pueden haber descubierto la regla trapezoidal mientras hacían observaciones astronómicas de Júpiter.

desde la edad de las matemáticas griegas, Eudoxo (C. 408-355 A. C.) utilizó el método de agotamiento, que prefigura el concepto del límite, para calcular áreas y volúmenes, mientras que Arquímedes (C. 287-212 A. C.) desarrolló esta idea aún más, inventando heurísticas que se asemejan a los métodos de cálculo integral., A los matemáticos griegos también se les atribuye un uso significativo de infinitesimales. Demócrito es la primera persona registrada en considerar seriamente la división de objetos en un número infinito de secciones transversales, pero su incapacidad para racionalizar secciones transversales discretas con la suave pendiente de un cono le impidió aceptar la idea. Aproximadamente al mismo tiempo, Zenón de Elea desacreditó aún más a los infinitesimales por su articulación de las paradojas que crean.,

Arquímedes desarrolló este método aún más, mientras que también inventó métodos heurísticos que se asemejan a los conceptos modernos de hoy en día algo en su La cuadratura de la parábola, el método, y en la esfera y el cilindro. Sin embargo, no se debe pensar que los infinitesimales fueron puestos sobre una base rigurosa durante este tiempo. Solo cuando se complementó con una prueba geométrica adecuada, los matemáticos griegos aceptarían una proposición como verdadera., No fue hasta el siglo XVII que el método fue formalizado por Cavalieri como el método de Indivisibles y finalmente incorporado por Newton en un marco general de cálculo integral. Arquímedes fue el PRIMERO en encontrar la tangente a una curva que no sea un círculo, en un método similar al cálculo diferencial. Mientras estudiaba la espiral, separó el movimiento de un punto en dos componentes, un componente de Movimiento radial y un componente de movimiento circular, y luego continuó agregando los dos movimientos componentes juntos, encontrando así la tangente a la curva., Los pioneros del cálculo como Isaac Barrow y Johann Bernoulli fueron estudiantes diligentes de Arquímedes; Véase por ejemplo C. S. Roero (1983).

El método de agotamiento fue reinventado en China por Liu Hui en el siglo 4 DC con el fin de encontrar el área de un círculo. En el siglo V, Zu Chongzhi estableció un método que más tarde sería llamado principio de Cavalieri para encontrar el volumen de una esfera.

Medievaleditar

en el Medio Oriente Islámico, el matemático árabe del siglo XI Ibn al-Haytham (Alhazen) derivó una fórmula para la suma de las cuartas potencias., Utilizó los resultados para llevar a cabo lo que ahora se llamaría una integración, donde las fórmulas para las sumas de cuadrados integrales y cuartas potencias le permitieron calcular el volumen de un paraboloide. En el siglo XII, el matemático persa Sharaf al-Dīn al-Tūsī descubrió la derivada de polinomios cúbicos. Su Tratado sobre ecuaciones desarrolló conceptos relacionados con el cálculo diferencial, como la función derivada y los máximos y mínimos de curvas, con el fin de resolver ecuaciones cúbicas que pueden no tener soluciones positivas.,

algunas ideas sobre cálculo aparecieron más tarde en Indian mathematics, en la Kerala school of astronomy and mathematics. Madhava de Sangamagrama en el siglo XIV, y matemáticos posteriores de la Escuela de Kerala, declararon componentes del cálculo como la serie de Taylor y las aproximaciones de la serie infinita. Sin embargo, no fueron capaces de combinar muchas ideas diferentes bajo los dos temas unificadores de la derivada y la integral, mostrar la conexión entre los dos, y convertir el cálculo en la poderosa herramienta de resolución de problemas que tenemos hoy.,

el estudio matemático de la continuidad fue revivido en el siglo XIV por las calculadoras de Oxford y colaboradores franceses como Nicole Oresme. Demostraron el «Teorema de la velocidad media de Merton»: que un cuerpo uniformemente acelerado viaja la misma distancia que un cuerpo con velocidad uniforme cuya velocidad es la mitad de la velocidad final del cuerpo acelerado.

principios de la modernaEditar

en el siglo XVII, los matemáticos europeos Isaac Barrow, René Descartes, Pierre de Fermat, Blaise Pascal, John Wallis y otros discutieron la idea de un derivado., En particular, en Methodus ad disquirendam maximam et minima y en De tangentibus linearum curvarum, Fermat desarrolló un método de adecuación para determinar máximos, mínimos y tangentes a varias curvas que estaba estrechamente relacionado con la diferenciación. Isaac Newton escribiría más tarde que sus propias ideas tempranas sobre el cálculo provenían directamente de «la forma de Fermat de dibujar tangentes.,»

en el lado integral, Cavalieri desarrolló su método de indivisibles en las décadas de 1630 y 1640, proporcionando una forma más moderna del método griego antiguo de agotamiento, y calculando la fórmula de cuadratura de Cavalieri, el área bajo las curvas xn de mayor grado, que anteriormente solo había sido calculada para la parábola, por Arquímedes. Torricelli extendió este trabajo a otras curvas como la cicloide, y luego la fórmula fue generalizada a potencias fraccionarias y negativas por Wallis en 1656., En un tratado de 1659, a Fermat se le atribuye un ingenioso truco para evaluar la integral de cualquier función de poder directamente. Fermat también obtuvo una técnica para encontrar los centros de gravedad de varias figuras planas y sólidas, lo que influyó en el trabajo posterior en cuadratura. James Gregory, influenciado por las contribuciones de Fermat tanto a la tangencia como a la cuadratura, fue capaz de probar una versión restringida del segundo teorema fundamental del cálculo a mediados del siglo XVII. La primera prueba completa del teorema fundamental del cálculo fue dada por Isaac Barrow.:p.,61 cuando el arco me ~ arco NH en el punto de tangencia F fig.26

La primera prueba del teorema de Rolle fue dada por Michel Rolle en 1691 utilizando métodos desarrollados por el matemático holandés Johann van Waveren Hudde., El teorema del valor medio en su forma moderna fue declarado por Bernard Bolzano y Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) también después de la fundación del cálculo moderno. También hicieron contribuciones importantes Barrow, Huygens y muchos otros.

Newton y Leibnizeditar

antes de Newton y Leibniz, la palabra «cálculo» se refería a cualquier cuerpo de matemáticas, pero en los años siguientes, «cálculo» se convirtió en un término popular para un campo de las matemáticas basado en sus ideas., Newton y Leibniz, basándose en este trabajo, desarrollaron independientemente la teoría circundante del cálculo infinitesimal a finales del siglo XVII. También, Leibniz hizo una gran cantidad de trabajo con el desarrollo de notación y conceptos coherentes y útiles. Newton proporcionó algunas de las aplicaciones más importantes a la física, especialmente del cálculo integral. El propósito de esta sección es examinar las investigaciones de Newton y Leibniz en el campo en desarrollo del cálculo infinitesimal., Se dará importancia específica a la justificación y los términos descriptivos que utilizaron en un intento de entender el cálculo como ellos mismos lo concibieron.

a mediados del siglo XVII, las matemáticas europeas habían cambiado su repositorio primario de conocimiento. En comparación con el siglo pasado, que mantuvo las matemáticas helenísticas como punto de partida para la investigación, Newton, Leibniz y sus contemporáneos miraron cada vez más hacia las obras de los pensadores más modernos., Europa se ha convertido en el hogar de una comunidad matemática floreciente y con el advenimiento de bases institucionales y organizativas mejoradas, se está logrando un nuevo nivel de organización e integración académica. Sin embargo, la comunidad carecía de formalismo, sino que consistía en una masa desordenada de varios métodos, técnicas, notaciones, teorías y paradojas.

Newton llegó al cálculo como parte de sus investigaciones en física y geometría. Él vio el cálculo como la descripción científica de la generación de movimiento y magnitudes., En comparación, Leibniz se centró en el problema tangente y llegó a creer que el cálculo era una explicación metafísica del cambio. Es importante destacar que el núcleo de su visión fue la formalización de las propiedades inversas entre la integral y la diferencial de una función. Esta visión había sido anticipada por sus predecesores, pero fueron los primeros en concebir el cálculo como un sistema en el que se crearon nueva retórica y términos descriptivos., Sus descubrimientos únicos yacen no solo en su imaginación, sino también en su capacidad de sintetizar las ideas que los rodean en un proceso algorítmico universal, formando así un nuevo sistema matemático.

NewtonEdit

Newton No completó ninguna publicación definitiva formalizando su cálculo fluxional; más bien, muchos de sus descubrimientos matemáticos se transmitieron a través de correspondencia, documentos más pequeños o como aspectos incrustados en sus otras compilaciones definitivas, como los Principia y Opticks., Newton comenzaría su formación matemática como el heredero elegido de Isaac Barrow en Cambridge. Su aptitud fue reconocida temprano y rápidamente aprendió las teorías actuales. En 1664 Newton había hecho su primera contribución importante mediante el avance del teorema binomial, que había ampliado para incluir exponentes fraccionales y negativos. Newton tuvo éxito en la ampliación de la aplicabilidad del teorema binomial mediante la aplicación del álgebra de cantidades finitas en un análisis de series infinitas., Mostró la voluntad de ver las series infinitas no solo como dispositivos aproximados, sino también como formas alternativas de expresar un término.

Muchas de las ideas críticas de Newton ocurrieron durante los años de la plaga de 1665-1666 que más tarde describió como » la flor de mi edad para la invención y la mente matemática y filosofía más que en cualquier momento desde entonces.»Fue durante su aislamiento inducido por la peste que la primera concepción escrita del cálculo fluxionario fue registrada en el inédito de Analysi per Aequationes numero Terminorum Infinitas., En este trabajo, Newton determinó el área bajo una curva calculando primero una tasa momentánea de cambio y luego extrapolando el área total. Comenzó razonando sobre un triángulo indefinidamente pequeño cuyo área es una función de x E y. luego razonó que el aumento infinitesimal en la abscisa creará una nueva fórmula donde x = x + o (importante, o es la letra, no el dígito 0). Luego recalculó el área con la ayuda del teorema binomial, eliminó todas las cantidades que contenían la letra o y volvió a formar una expresión algebraica para el área., Significativamente, Newton entonces «borraría» las cantidades que contienen o porque los Términos «multiplicados por él no serán nada con respecto al resto».

en este punto Newton había comenzado a darse cuenta de la propiedad central de la inversión. Había creado una expresión para el área bajo una curva considerando un aumento momentáneo en un punto. En efecto, el teorema fundamental del cálculo fue incorporado en sus cálculos. Mientras que su nueva formulación ofrecía un potencial increíble, Newton era muy consciente de sus limitaciones lógicas en ese momento., Admite que «los errores no deben ser ignorados en matemáticas, no importa lo pequeño» y que lo que había logrado fue «poco explicado en lugar de demostrado con precisión.»

in an effort to give calculus a more rigorous explication and framework, Newton compiled in 1671 the Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum. En este libro, el empirismo estricto de Newton dio forma y definió su cálculo fluxional. Explotó el movimiento instantáneo y los infinitesimales informalmente. Utilizó las matemáticas como una herramienta metodológica para explicar el mundo físico., La base del cálculo revisado de Newton se convirtió en continuidad; como tal, redefinió sus cálculos en términos de movimiento continuo que fluye. Para Newton, las magnitudes variables no son agregados de elementos infinitesimales, sino que son generados por el hecho indiscutible del movimiento. Como con muchas de sus obras, Newton retrasó su publicación. Methodus Fluxionum no fue publicado hasta 1736.

Newton intentó evitar el uso del infinitesimal formando cálculos basados en proporciones de cambios., En el Methodus Fluxionum define la tasa de cambio generado como un fluxion, que representa por una letra punteada,y la cantidad generada define como un fluido. Por ejemplo, si x {\displaystyle {x}} y y {\displaystyle {y}} son fluents, entonces x {\displaystyle {\dot {x}}} e y {\displaystyle {\dot {y}}} son sus respectivos fluxions., Este cálculo revisado de ratios continuó desarrollándose y se declaró maduramente en el texto de 1676 de Quadratura Curvarum donde Newton llegó a definir la derivada actual como la relación última de cambio, que definió como la relación entre incrementos evanescentes (la relación de fluxiones) puramente en el momento en cuestión. Esencialmente, la relación última es la relación a medida que los incrementos se desvanecen en la nada., Es importante destacar que Newton explicó la existencia de la relación última apelando al movimiento;

«porque por la velocidad última se entiende que, con la que el cuerpo se mueve, no antes de que llegue a su último lugar, cuando el movimiento cesa ni después, sino en el mismo instante en que llega… la relación última de las cantidades evanescentes debe ser entendida, la relación de las cantidades no antes de que se desvanezcan, no después, sino con la que se desvanecen»

Newton desarrolló su cálculo fluxional en un intento de evadir el uso informal de infinitesimales en sus cálculos.,

LeibnizEdit