La esfera tiene dos lados. Un insecto puede quedar atrapado dentro de una forma esférica o arrastrarse libremente sobre su superficie visible. Una delgada hoja de papel acostada sobre un escritorio también tiene dos lados. Las páginas de un libro suelen estar numeradas dos por hoja de papel. La primera superficie unilateral fue descubierta por A. F. Möbius (1790-1868) y lleva su nombre: franja de Möbius. A veces se llama alternativamente una banda Möbius. (En verdad, la superficie fue descrita de forma independiente y dos meses antes por otro matemático alemán J. B. Listing.) La tira fue inmortalizada por M. C., Escher (1898-1972).
Para obtener una cinta de Moebius, comience con una tira de papel. Gire un extremo 180o (media vuelta) y pegue los extremos juntos (el archivo avi toma 267264 bytes). A modo de comparación, si pega los extremos sin torcer, el resultado se vería como un cilindro o un anillo dependiendo del ancho de la tira. Trate de cortar la tira a lo largo de la línea media. Las personas que no conocen la topología rara vez adivinan correctamente cuál sería el resultado. También es interesante cortar la tira 1/3 del camino a un borde. Pruébelo.,
he creado una película avi corta (155648 bytes) de una tira de Möbius retorcida. (Cuando llegue a la página de la película, haga clic en el marco para iniciar la película.)
ahora, una vez que sepas el truco, seguramente te gustaría encontrar otras superficies de un solo lado. Antes de pegar los extremos, puede girar la tira dos o incluso tres veces. ¿Tiene una superficie de un lado o de dos lados?,
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P.S.
There is an additional page with an interactive Java illustration that lets one «see through» the strip in more than one sense., Y, por supuesto, hay otras páginas dedicadas a la tira de Möbius disponibles en Internet. Merece una mención especial. Richard Marsden (cuya página ha desaparecido de la Web) logró producir una versión VRML de la tira. Disfruté girando la tira de esta manera y de esa manera. No sé por qué, pero el siguiente pasaje de Art Buchwald de la contraportada de El hombre más divertido del mundo de Ephraim Kishon vino a mi mente:
Ephraim Kishon es el segundo humorista más divertido que conozco… Es divertidísimo y lo odio.,
Cómo
voy a discutir aquí las Matemáticas que entró en la cinta de Moebius de creación de la película.
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todo comienza con una observación que recogí navegando por las páginas de MathSoft. Por un determinado rango de valores de t, considerar las curvas
x(t) = Rsin(t/R), y(t) = R(1 – cos(t/R)),
parametrizada por R. Cada uno de ellos es una pieza del círculo
x(t)2 + (y(t) – R)2 = R2.,
para R grandes (y un rango fijo de t), tal pieza es pequeña en relación con el tamaño de los círculos y, por lo tanto, se ve casi como un segmento de línea recta. Para valores pequeños de R (cerca de 1), la pieza está más cerca de un círculo completo.
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cuando las piezas se muestran una a la vez para una secuencia decreciente de R, Los marcos crean una impresión de un segmento plegado en un círculo. Para generar la película, utilicé 21 fotogramas numerados del 0 al 20, con el radio cambiando de acuerdo con la fórmula
R(k) = 21 / (K + 1),
donde k es un número de fotograma.,
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crear una tira de Möbius es un asunto de 3 dimensiones. Por lo tanto, además de las coordenadas x (horizontal) e y (vertical) también necesitamos una coordenada z. Piensa en esa coordenada como dirigida perpendicular a la pantalla. Para el segmento inicial, que es más como una pieza de una línea recta que un arco circular, Tomé z = const para la longitud del segmento. El segmento se convierte en un rectángulo – una «banda» – que se pliega en una tira de Möbius., El rectángulo tiene dos lados: el segmento original, que a continuación se conoce como «el segmento (xy)», y el lado perpendicular, conocido como el «segmento z».»
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A medida que el segmento (xy) se pliega en un círculo, el segmento z gira en el plano (YZ). He discutido la rotación de un plano en mis páginas de cicloides. Sin embargo, hay que hacer una advertencia. Para crear una tira de Möbius, tenemos que torcer todo el rectángulo, no solo sus extremos Z., Sin embargo, las diferentes porciones del rectángulo deben girar a diferentes velocidades: el extremo que gira más rápido, mientras que el Centro de la tira no debe moverse en absoluto. Por lo tanto, utilizo la cantidad
w = (t – tmiddle)2
como la velocidad angular para el segmento z en diferentes puntos del segmento plegado (xy). La cantidad es muy cercana a 0 para los puntos cercanos al centro de la tira.
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Por último, los dos extremos de la tira deben girar en las direcciones opuestas. Así que adicionalmente la matriz de rotación tuvo que ser multiplicada por el signo
(T – tmiddle).
Eso es todo., Una aplicación muy práctica de un poco de trigonometría y Geometría Analítica. Hay otra película de creación, 303104 bytes. Muestra la vista frontal de la tira de torsión.
Una carta de Alejandro Grasser describe más de corte (pero ahora también pegar) actividades. Es posible pegar dos bandas de papel, ya sean estos cilindros o tiras de moebius. Incluso en el caso de dos cilindros, el resultado sorprenderá a la mayoría de los padres, por no hablar de sus hijos.
mi logotipo también es una superficie de un solo lado.,
referencia
- S. Barr, Experiments In Topology, Dover Publications, NY, 1989
- R. Courant and H. Robbins, What ¿las matemáticas?, Oxford University Press, 1996
- K. Devlin, Mathematics: The Science of Patterns, Scientific American Library, 1997
- D. Hilbert and S. Cohn-Vossen, Geometry and Imagination, Chelsea Publishing Co, NY 1990.
- C. A. Pickover, the Mobius Strip: Dr., La maravillosa banda de August Mobius en Matemáticas, Juegos, Literatura, Arte, Tecnología y Cosmología, Thunder’s Mouth Press, 2006
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