Näytä Mobile Ilmoitus Näytä Kaikki Toteaa, Piilottaa Kaikki Muistiinpanot
4-6§: Muoto Kuvio, Osa II
edellisessä luvussa näimme, miten voisimme käyttää ensimmäinen johdannainen toiminto, saada joitakin tietoja kuvaaja toiminto. Tässä osiossa aiomme tarkastella tietoja, että toinen derivaatta funktion voi antaa meille noin kuvaaja funktion.
ennen tätä tarvitaan pari määritelmää pois tieltä. Tärkein käsite, josta keskustelemme tässä osiossa, on concavity. Concavity on helpoin nähdä kuvaaja (annamme matemaattinen määritelmä hieman).,
Niin, toiminto on kovera, jos se ”avaa” ja toiminto on kovera, jos se ”avaa” alas. Huomaa myös, että concavity ei ole mitään tekemistä lisäämällä tai vähentämällä. Funktio voi olla kovera ylös ja joko kasvaa tai laskea. Vastaavasti, funktio voi olla kovera alas ja joko lisäämällä tai vähentämällä.
Se ei ehkä ole paras tapa määritellä koveruus sanomalla, millä tavalla se ”avaa”, koska tämä on hieman epämääräinen määritelmä. Tässä on matemaattinen määritelmä concavity.,
määritelmä 1
jotta voidaan osoittaa, että yllä olevat graafit ovat itse asiassa concavity väitti edellä on kaavio uudelleen (räjäytetty hieman selkeyttääkseen asioita).
Joten, kuten näette, kaksi ylä-kuvaajat kaikki tangentti linjat hahmoteltu ovat kaikki alle funktion kuvaajan ja nämä ovat kovera ylös. Kahdessa alemmassa kuvaajassa kaikki tangenttiviivat ovat funktion kuvaajan yläpuolella ja nämä ovat koveria alaspäin.,
Taas huomaa, että koveruus ja kasvava/vähenevä osa toiminto on täysin erillinen, ja ei ole mitään tekemistä toistensa kanssa. Tämä on tärkeää huomata, koska opiskelijat usein sekoittaa nämä kaksi ylös ja käyttää tietoja saada tietoa muista.
on vielä yksi määritelmä, että meidän täytyy päästä pois tieltä.
Määritelmä 2
piste \(x = c\) kutsutaan käännepiste, jos funktio on jatkuva pisteessä ja koveruus kuvaajan muutoksia siinä vaiheessa.,
nyt kun meillä on kaikki concavity-määritelmät pois siitä, miten meidän täytyy tuoda toinen derivaatta sekaan. Aloitimme kuitenkin tämän osion sanomalla, että aiomme käyttää toista derivaatta saadaksemme tietoa graafista. Seuraava seikka liittyy funktion toiseen derivaattaan sen myötämielisyyteen. Todiste tästä on todisteena Johdannaissovellusten osassa extrat luku.
Asiassa
Niin, mitä tämä itse asiassa kertoo meille, että käännepisteiden kaikki kohdat olivat toinen derivaatta muuttuu merkki., Näimme edellisessä luvussa, että funktio voi muuttaa merkkejä, jos se on joko nolla tai sitä ei ole olemassa. Huomaa, että tutkimme ensin johdannainen edellisessä osassa, mutta se, että toiminta mahdollisesti muuttuu merkkejä, joilla se on nolla tai ei ole olemassa, ei ole mitään tekemistä ensimmäisen johdannainen. Se on yksinkertaisesti tosiasia, joka koskee kaikkia toimintoja riippumatta siitä, ovatko ne johdannaisia vai eivät.,
Tämä puolestaan kertoo meille, että luettelo mahdollisista käännepisteiden on niitä kohtia, joissa toinen derivaatta on nolla tai ei ole olemassa, koska nämä ovat ainoat kohdat, joissa toinen derivaatta saattaa vaihtaa merkkiä.
Ole varovainen kuitenkin, jotta ei tehdä oletus, että vain koska toinen derivaatta on nolla tai ei ole olemassa, että kohta on käännepiste. Tiedämme, että se on taivutuspiste vasta sitten, kun olemme selvittäneet sen kummaltakin puolelta olevan myötämielisyyden. Se on taivutuspiste vain, jos concavity on erilainen molemmin puolin pistettä.,
Nyt tiedämme koveruus voimme käyttää näitä tietoja sekä lisäämällä/vähentämällä tiedot edellisen osan voit saada melko hyvä käsitys siitä, mitä kaavion pitäisi näyttää. Katsotaanpa esimerkki siitä.
Voimme käyttää edellinen esimerkki havainnollistaa, toinen tapa luokitella joitakin kriittiset kohdat toimivat suhteelliset maksimit tai suhteellinen minimivaatimuksia.
kuten näemme hieman meidän täytyy olla hyvin varovaisia \(x = 0\)., Tällöin toinen derivaatta on nolla, mutta se ei varsinaisesti tarkoita sitä, että \(x = 0\) ei olisi suhteellinen minimi tai maksimi. Näemme tästä vähän esimerkkejä, mutta ensin pitää saada muuta tietoa hoidettua.
Se on myös tärkeää huomata, että kaikki kriittiset kohdat tässä esimerkissä olivat kriittisiä pisteitä, jossa ensimmäinen derivaatta on nolla ja tämä on tarpeen, jotta tämä toimisi. Emme voi käyttää tätä testiä kriittisissä kohdissa, joissa johdannaista ei ole olemassa.,
tässä on testi, jolla voidaan luokitella joitakin funktion kriittisiä kohtia. Tämän testin todistus on Ekstrat-luvun Johdannaissovellusten todisteissa.
Toinen Derivaatta Testi
kolmas osa toisen derivaatan testi on tärkeä huomata. Jos toinen derivaatta on nolla, kriittinen piste voi olla mitä tahansa. Alla on kuvaajat kolmen toimintoja, jotka kaikki ovat kriittinen piste \(x = 0\), toinen derivaatta kaikki toiminnot on nolla \(x = 0\) ja vielä kaikki kolme vaihtoehtoa ovat esillä.,
ensimmäinen on kuvaaja \(f\left( x \right) = {x^4}\). Tämä kaavio on suhteellinen minimi \(x = 0\).
Seuraavaksi on kuvaaja \(f\left( x \right) = – {x^4}\), joka on suhteellinen maksimi \(x = 0\).
Lopulta, on kuvaaja \(f\left( x \right) = {x^3}\) ja tämä kaavio ei ollut suhteellinen minimi tai suhteellinen maksimi \(x = 0\).
Joten, voimme nähdä, että meidän on oltava varovaisia, jos me jakaa kolmannessa tapauksessa., Niinä aikoina, kun joudumme tähän tapaukseen, meidän on turvauduttava muihin kriittisen kohdan luokittelumenetelmiin. Tämä tehdään yleensä ensimmäisellä johdannaistestillä.
palataan takaisin ja katsotaan kriittiset kohdat ensimmäisestä esimerkistä ja käytetään niihin toista Derivaatatestiä, jos mahdollista.
Let ’ s work one more example.
