Good Mood

AncientEdit

antiikin aikana käyttöön joitakin ideoita, jotka johtivat integraalilaskennan calculus, mutta ei ilmeisesti ole kehittänyt näitä ajatuksia tarkasti ja järjestelmällisesti. Volyymien ja alueiden laskeminen, yksi integraalilaskennan tavoite, löytyy egyptiläisestä Moskovan papyruksesta (C., 1820 eaa), mutta kaavat annetaan vain konkreettisille luvuille, jotkut ovat vain likimain totta, eikä niitä johdeta deduktiivisella päättelyllä. Babylonialaiset ovat saattaneet löytää puolisuunnikkaan säännön tehdessään tähtitieteellisiä havaintoja Jupiterista.

Vuodesta ikä kreikka matematiikan, Eudoxus (c. 408-355 BC) käytetty menetelmä sammumisen, joka enteilee käsite raja, laskea pinta-aloja ja tilavuuksia, kun Arkhimedes (c. 287-212 EKR.) kehitti tätä ajatusta edelleen, keksiä heuristiikka, jotka muistuttavat menetelmiä integraalilaskennan calculus., Kreikan matemaatikot ovat myös hyvitetään merkittävä käyttö infinitesimals. Demokritos on ensimmäinen henkilö kirjataan harkita vakavasti jako esineitä ääretön määrä poikkileikkauksia, mutta hänen kyvyttömyys järkeistää diskreetti poikkileikkaukset kartio on sileä rinne esti häntä ottamasta vastaan ajatusta. Suunnilleen samaan aikaan, Zenon Elea huonoon infinitesimals edelleen hänen artikulaatio paradokseja, jotka he luovat.,

Arkhimedes kehitti tätä menetelmää edelleen, kun myös keksiä heuristisia menetelmiä, jotka muistuttavat nykyajan käsitteitä hieman hänen Quadrature, Parabola, Menetelmä, ja antoi Pallon ja Sylinterin. Ei pidä ajatella, että infinitesimaalit asetettiin tänä aikana kuitenkin tiukkaan asemaan. Vasta kun sitä täydennettiin asianmukaisella geometrisella todistuksella, kreikkalaiset matemaatikot hyväksyivät väitteen todeksi., Se oli vasta 17-luvulla, että menetelmä oli virallistettu, jonka Cavalieri menetelmä Indivisibles ja lopulta sisällytetty Newton osaksi yleisiä puitteita ja integraalilaskennan calculus. Arkhimedes oli ensimmäinen löytää tangentti käyrän muu kuin ympyrä, menetelmä muistuttaa erosta calculus. Opiskellessaan kierre, hän erottaa pisteen liikkeen kahteen osaan, yksi säteittäinen liike-komponentti ja yksi liikkein komponentti, ja jatkoi sitten lisätä kaksi komponentti liikkeet yhdessä, näin löytää tangentti käyrän., Uranuurtajat, calculus kuten Isaac Barrow ja Johann Bernoulli olivat ahkeria opiskelijoita Arkhimedes; KS.esimerkiksi C. S. Roero (1983).

Liu Hui keksi sammumismenetelmän uudelleen Kiinassa 400-luvun mainoksessa ympyrän alueen löytämiseksi. 500-luvulla Zu Chongzhi perusti menetelmän, jota myöhemmin kutsuttaisiin Cavalierin periaatteeksi sfäärin tilavuuden löytämiseksi.

MedievalEdit

Islamilaisessa Lähi-Idässä, 11-luvulla Arabien matemaatikko Ibn al-Haitham (Alhazen) johdettu kaava summa neljäs voimia., Hän käytti tulokset suorittaa mitä nyt kutsutaan integraatio, jossa kaavat summat kiinteä neliöt ja neljäsosa valtuuksia saa hänet laskea määrän paraboloid. Vuonna 12. vuosisadalla, persialainen matemaatikko Sharaf al-Dīn al-Tūsī löysi johdannainen kuutiometriä polynomi. Hänen Translitteratio Yhtälöt kehitetty käsitteitä, jotka liittyvät erosta calculus, kuten johdannainen toiminto ja maksimit ja minimit käyriä, jotta voidaan ratkaista kolmannen asteen yhtälöt, jotka voivat olla myönteisiä ratkaisuja.,

joitakin ajatuksia calculus myöhemmin ilmestyi Intian matematiikan, Kerala School of astronomy and mathematics. Madhava ja Sangamagrama 14-luvulla, ja myöhemmin matemaatikot, Kerala koulu, totesi osat calculus, kuten Taylorin sarja ja ääretön sarja likiarvoja. Kuitenkin, he eivät voineet yhdistää monia erilaisia ideoita alle kaksi yhdistävää teemoja johdannaisen ja integraali, osoittavat yhteyden kahden, ja muuttaa calculus osaksi voimakas ongelmanratkaisun työkalu meillä on tänään.,

jatkuvuuden matemaattista tutkimusta elvyttivät 1300-luvulla Oxfordin Laskijat ja ranskalaiset yhteistyökumppanit kuten Nicole Oresme. He osoittautuivat ”Merton tarkoita nopeus lause”: että tasaisesti kiihtyvä keho liikkuu samalla etäisyydellä kuin kehon kanssa yhtenäinen nopeus, jonka nopeus on puolet lopullinen nopeus kiihtyi kehon.

Alussa ModernEdit

17-luvulla, Euroopan matemaatikot Isaac Barrow, René Descartes, Pierre de Fermat, Blaise Pascal, John Wallis ja toiset keskustelivat ajatus johdannainen., Erityisesti, Methodus ad disquirendam maximam et minimit ja De tangentibus linearum curvarum, Fermat ’ n kehittänyt adequality menetelmä, jolla määritetään maxima, vähimmäistasoja ja tangentit eri käyrät, joka oli läheistä sukua eriyttäminen. Isaac Newton kirjoittaisi myöhemmin, että hänen omat varhaiset ajatuksensa calculuksesta tulivat suoraan ”Fermat’ n tavasta piirtää tangentteja.,”

integraali puolella, Cavalieri kehitti menetelmää indivisibles vuonna 1630-ja 1640-luvulla, joka tarjoaa enemmän moderni muoto antiikin kreikan menetelmä sammumisen, ja computing Cavalieri on quadrature kaava, ala käyrät xn korkea-aste, joka oli aiemmin ollut vain laskettu paraabeli, Arkhimedes. Torricelli laajennettu tämän työn muut käyrät, kuten cycloid, ja sitten kaava oli yleistynyt murto ja negatiivisia voimia Wallis vuonna 1656., Vuonna 1659 translitteratio, Fermat ’ n hyvitetään nerokas temppu arvioida integraali tahansa tehofunktio suoraan. Fermat ’ n myös saatu tekniikka löytää keskusten painopisteen eri plane ja kiinteät luvut, jotka vaikuttavat edelleen työtä quadrature. James Gregory, vaikuttaa Fermat ’ n maksut sekä tangency ja quadrature, oli sitten pystyy todistamaan rajoitettu versio toisen perusvapauksien lause calculus vuonna puolivälissä 17th century. Ensimmäinen täysi todiste perus lause, calculus oli antanut Isaac Barrow.:p.,61 kun arc ME ~ arc NH pisteessä tangency f kuva.26

ensimmäinen todiste siitä, Rollen lause oli antanut Michel Rolle vuonna 1691 menetelmiä käyttäen kehittänyt hollantilainen matemaatikko Johann van Waveren Hudde., Keskiarvo lause, ja sen moderni muoto oli todennut Bernard Bolzano ja Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) myös perustamisen jälkeen moderni calculus. Tärkeitä panoksia tekivät myös Barrow, Huygens ja monet muut.

Newton ja LeibnizEdit

Ennen kuin Newton ja Leibniz, sana ”calculus” tarkoitettu tahansa kehon matematiikan, mutta seuraavina vuosina, ”calculus” tuli suosittu termi alan matematiikka perustuu niiden oivalluksia., Newton ja Leibniz, rakennus, työ, itsenäisesti kehittänyt ympäröivän teorian äärettömän pieni calculus myöhään 17th century. Leibniz teki myös paljon työtä johdonmukaisten ja hyödyllisten merkintöjen ja käsitteiden kehittämiseksi. Newton antoi joitakin tärkeimpiä sovelluksia fysiikan, erityisesti integraalilaskennan calculus. Tämän osan tarkoituksena on tutkia Newtonin ja Leibnizin tutkimuksia infinitesimaalilaskennan kehittyvästä kentästä., Erityistä merkitystä on laittaa perustelut ja kuvailevat termit, joita he käyttivät yrittäessään ymmärtää calculus, koska ne itse suunniteltu sitä.

1600-luvun puoliväliin mennessä Eurooppalainen matematiikka oli muuttanut ensisijaista tietovarastoaan. Verrattuna viime vuosisadalla, joka säilyttää Hellenistisen matematiikan lähtökohtana tutkimuksen, Newton, Leibniz ja heidän aikalaistensa yhä katsoi kohti teoksia enemmän moderni ajattelijat., Eurooppa oli tullut kotiin orastavaa matemaattinen yhteisö ja kynnyksellä parannettu institutionaalista ja organisatorista perustaa uuden tason organisaatio ja akateeminen integraatio oli saavutettu. Tärkeintä, kuitenkin, yhteisöllä ollut muodollisuus, vaan se koostui sekainen massa erilaisia menetelmiä, tekniikoita, merkinnät, teorioita, ja paradokseja.

Newton tuli calculukseen osana fysiikan ja geometrian tutkimuksiaan. Hän katsotuimmat calculus kuin tieteellinen kuvaus sukupolven liikkeen ja suuruudet., Vertailussa Leibniz keskittyi tangenttiongelmaan ja alkoi uskoa, että calculus oli metafyysinen selitys muutokselle. Tärkeintä, ydin niiden oivallus oli virallistaminen käänteinen ominaisuuksien välillä kiinteä ja ero toiminto. Tämä oivallus oli ennakoinut edeltäjänsä, mutta he olivat ensimmäinen raskaaksi calculus kuten järjestelmän, jossa uusi retoriikka ja kuvailevia termejä on luotu., Niiden ainutlaatuinen löytöjä antaa paitsi mielikuvitusta, mutta myös niiden kyky syntetisoida oivalluksia noin ne universaali algoritmeihin, jolloin muodostuu uusi matemaattinen järjestelmä.

NewtonEdit

Newton päätökseen ei ole lopullinen julkaisu virallistaa hänen fluxional calculus, vaan monet hänen matemaattisia löytöjä olivat kautta kirjeenvaihto, pienempiä papereita tai sulautettujen näkökohtia hänen muita lopullinen kokoomateoksen osa, kuten Principia ja Opticks., Newton aloittaisi matemaattisen koulutuksensa Isaac Barrow ’ n valitsemana perillisenä Cambridgessa. Hänen soveltuvuutensa huomattiin jo varhain, ja hän oppi nopeasti nykyiset teoriat. By 1664 Newton oli tehnyt hänen ensimmäinen tärkeä panos edistämällä binomilause, jonka hän oli laajennettu sisällyttää murto-ja negatiivinen eksponentit. Newton onnistui laajentamaan binomilauseen sovellettavuutta soveltamalla äärellisten suureiden algebraa äärettömien sarjojen analyysissä., Hän osoitti halukkuutta tarkastella ääretön sarja paitsi likimääräisiä laitteita, mutta myös vaihtoehtoisia muotoja ilmaista termi.

Monet Newtonin kriittinen oivalluksia tapahtui aikana rutto vuosina 1665-1666, jonka hän myöhemmin kuvattu, ”parhaassa iässä mielikuvitus ja ennakkoluuloton matematiikkaa ja filosofiaa enemmän kuin milloin tahansa vuodesta.”Se oli aikana hänen ruton aiheuttama eristyneisyys, että ensimmäinen kirjallinen käsitys fluxionary calculus oli kirjattu julkaisematon De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitasin., Tässä asiakirjassa Newton määritti alueen käyrän alle laskemalla ensin hetkellisen muutosnopeuden ja sitten ekstrapoloimalla kokonaispinta-alan. Hän alkoi päättely on toistaiseksi pieni kolmio jonka pinta-ala on funktio x ja y. Sitten hän järkeili, että äärettömän pieni lisäys abskissa luo uusi kaava, jossa x = x + o (tärkeintä, o on kirjain eikä numero 0). Hän laski alueen uudelleen binomilauseen avulla, poisti kaikki määrät, jotka sisälsivät O-kirjaimen ja muodosti uudelleen algebrallisen ilmaisun alueelle., Merkittävästi, Newton sitten ”blot” määriä, jotka sisältävät o koska termit ”kerrottuna se ei ole mitään suhteessa muuhun”.

tässä vaiheessa Newton oli alkanut ymmärtää keskeinen ominaisuus käännellen. Hän oli luonut ilmaus, ala käyrän ottamalla huomioon hetkellinen nousu vaiheessa. Itse asiassa laskennan peruslause rakennettiin hänen laskelmiinsa. Vaikka hänen uusi muotoilu tarjosi uskomatonta potentiaalia, Newton oli hyvin tietoinen sen loogisia rajoituksia tuolloin., Hän myöntää, että ”virheitä ei oteta huomioon matematiikkaa, ei väliä kuinka pieni”, ja että mitä hän oli saavutettu, oli ”pian selitti, pikemminkin kuin tarkasti osoittaa.”

vaivaa antaa calculus tiukempi explication ja puitteet, Newton kokosi vuonna 1671, että Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum. Tässä kirjassa Newtonin tiukka empirismi muokkasi ja määritteli fluksionaalisen laskunsa. Hän käytti hetkellistä liikettä ja infinitesimaaleja epävirallisesti hyväkseen. Hän käytti matematiikkaa metodologisena välineenä selittääkseen fyysisen maailman., Newtonin tarkistetun calculuksen perusta muuttui jatkuvuudeksi; sellaisena hän määritteli laskelmansa uudelleen jatkuvan virtaavan liikkeen kannalta. Newton, muuttuja suuruudet eivät ole aggregaatit äärettömän elementtejä, mutta syntyvät kiistaton tosiasia liikkeen. Kuten monet hänen teoksistaan, Newton viivästytti julkaisua. Methodus Fluxionum julkaistiin vasta vuonna 1736.

Newton pyrki välttämään infinitesimaalin käyttöä muodostamalla laskelmia, jotka perustuvat muutosten suhdelukuihin., Vuonna Methodus Fluxionum hän määritteli määrä syntyy muuta kuin fluxion, jota hän edustaa pilkullinen kirjain, ja määrä, syntyy hän määritelty sujuvasti. Esimerkiksi, jos x {\displaystyle {x}} ja y {\displaystyle {y}} ovat fluents, niin x {\displaystyle {\dot {x}}} ja y {\displaystyle {\dot {y}}} ovat niiden fluxions., Tämä tarkistettu calculus tunnusluvut kehitettiin edelleen ja oli kypsästi totesi vuonna 1676 teksti De Quadratura Curvarum, jossa Newton tuli määritellä nykypäivään johdannainen perimmäinen suhde muutos, jonka hän määritelty suhde katoavat välein (suhde fluxions) puhtaasti tällä hetkellä kysymys. Pohjimmiltaan perimmäinen suhde on suhde, kun lisäykset katoavat tyhjyyteen., Tärkeintä, Newton selitti olemassaolon perimmäinen suhde vetoamalla yöllä;

”, jonka perimmäinen nopeus on merkinnyt sitä, että, kanssa, jonka runko on siirretty, ei ennen kuin se saapuu sen viimeinen paikka, kun liike lakkaa, eikä sen jälkeen, mutta aivan heti, kun se saapuu… lopullinen suhde katoavat määrät on ymmärrettävä, että suhde määriä, joita ei ole ennen kuin ne katoavat, ei sen jälkeen, mutta jonka kanssa he katoavat”

Newton kehitti hänen fluxional calculus yrittää kiertää epävirallisia käyttöön infinitesimals hänen laskelmat.,

LeibnizEdit

Kun Newton alkoi kehitys hänen fluxional calculus vuonna 1665-1666 hänen havaintoja ei tullut laajalti vasta myöhemmin. Välivuosina Leibniz pyrki myös luomaan hänen calculus., Verrattuna Newtoniin, joka tuli matematiikkaan jo varhaisessa iässä, Leibniz aloitti tiukat matematiikan opintonsa kypsällä älyllä. Hän oli oppinut mies, ja hänen henkisen etuja ja saavutuksia mukana metafysiikkaa, laki, talous, politiikka, logiikka, ja matematiikka. Jotta ymmärtää Leibniz perustelut calculus hänen tausta olisi pidettävä mielessä. Erityisesti hänen metafysiikkaa, joka on kuvattu maailmankaikkeuden kuin Monadology, ja hänen suunnitelmansa on luoda tarkka muodollinen logiikka, jonka mukaan ”yleinen menetelmä, jossa kaikki totuudet syy olisi vähennettävä aika laskelma.,”

vuonna 1672 Leibniz tapasi matemaatikko Huygensin, joka vakuutti Leibnizin omistamaan merkittävää aikaa matematiikan tutkimiselle. Vuoteen 1673 hän oli edennyt käsittelyssä Pascalin Traité des Sinus du Quarte Cercle ja se oli aikana hänen pitkälti autodidactic tutkimus, että Leibniz sanoi, ”valo päällä”. Kuten Newton, Leibniz näki tangentti suhteena, mutta ilmoitti että se yksinkertaisesti välinen suhde koordinaatit ja abscissas., Hän jatkoi tätä perustelua väittää, että integraali oli itse asiassa summa koordinaatit saat äärettömän välein abskissa; itse asiassa, summa on ääretön määrä suorakulmioita. Näistä määritelmistä käänteissuhde tai differentiaali tuli selväksi ja Leibniz tajusi nopeasti mahdollisuuden muodostaa kokonaan uusi matematiikan järjestelmä. Missä Newton yli uransa aikana käytetään useita lähestymistapoja, lisäksi lähestymistapaa käyttäen infinitesimals, Leibniz teki tämän kulmakivi hänen notaatio ja calculus.,

käsikirjoituksia 25. lokakuuta-11. marraskuuta 1675, Leibniz kirjataan hänen löytöjä ja kokeiluja eri merkintätapa. Hän oli erittäin tietoinen käytetyistä notationaalisista termeistä ja hänen aikaisemmat suunnitelmansa muodostaa tarkka looginen symboliikka tulivat ilmeisiksi. Lopulta, Leibniz merkitään äärettömän pieni askelin abscissas ja koordinoi dx ja dy, ja summattu äärettömän monta äärettömän ohut suorakaide, pitkä s (∫ ), josta tuli nykyinen kiinteä symboli ∫ {\displaystyle \scriptstyle \int } .,

vaikka Leibnizin notaatiota käytetään modernissa matematiikassa, hänen looginen pohjansa poikkesi nykyisestä. Leibniz omaksui infinitesimals ja kirjoitti laajasti niin, ”ei tehdä äärettömän pieni mysteeri, koska oli Pascal.”Mukaan Gilles Deleuze, Leibniz on nollia ”ovat nothings, mutta ne eivät ole ehdottomia nothings, ne ovat nothings vastaavasti” (lainaten Leibniz’ teksti ”Perustelu, calculus infinitesimals, jonka calculus tavalliset algebra”). Vaihtoehtoisesti hän määrittelee ne ” vähemmän kuin mikään tietty määrä.,”Leibniz, maailma oli yhteensä äärettömän pistettä ja puute tieteellistä näyttöä niiden olemassaolosta ei vaivaa häntä. Infinitesimals Leibniz olivat ihanteellisia määriä eri tyyppiä kuin tuntuvaa määrä. Jatkuvuuden totuuden todisti itse olemassaolo. Sillä Leibniz periaate jatkuvuus ja siten pätevyys hänen calculus oli taattu. Kolmesataa vuotta Leibniz työtä, Abraham Robinson osoitti, että käyttämällä infinitesimal määriä calculus voitaisiin antaa vankka perusta.,

LegacyEdit

The rise of calculus erottuu matematiikan ainutlaatuisena hetkenä. Calculus on liikkeen ja muutoksen matematiikkaa, ja sellaisena sen keksiminen edellytti uuden matemaattisen järjestelmän luomista. Tärkeää on, että Newton ja Leibniz eivät luoneet samaa calculus ja he eivät käsitä nykyaikaisen calculus. Vaikka ne olivat molemmat mukana prosessissa luoda matemaattinen järjestelmä käsitellä muuttuvia määriä niiden alkeisperusta oli erilainen., Newton, muutos oli vaihteleva määrä ajan ja Leibniz se oli ero vaihtelevat yli sekvenssi äärettömän lähellä arvoja. Erityisesti kuvailevat termit, jotka kukin järjestelmä loi kuvaamaan muutosta, olivat erilaisia.

historiallisesti oli paljon keskustelua siitä, oliko se Newton vai Leibniz jotka ensin ”keksi” calculus. Tämä väite, Leibniz ja Newton calculus kiista, johon Leibniz, joka oli saksalainen ja Englantilainen Newton, joka johti repeämä Euroopan matemaattinen yhteisö kestävät yli vuosisadan., Leibniz oli ensimmäinen julkaista hänen tutkimuksia; kuitenkin, se on vakiintunut, että Newton oli alkanut hänen työstään useita vuosia, ennen kuin Leibniz ja oli jo kehittänyt teorian tangentit, kun Leibniz oli kiinnostunut kysymys.Se ei ole tiedossa, kuinka paljon tämä on saattanut vaikuttaa Leibniz. Alkuperäinen syytöksiä tehtiin opiskelijoiden ja kannattajat kaksi suurta tutkijat vaihteessa, mutta sen jälkeen 1711 molemmat tuli henkilökohtaisesti mukana, syyttäen toisiaan plagioinnista.,

ensisijainen riitaa ollut vaikutusta erottaa englanti-speaking matemaatikot kuin manner-Euroopassa monta vuotta. Vasta 1820-luvulla, analyyttisen yhteiskunnan ponnistelujen vuoksi, Leibnizian analyyttinen calculus hyväksyttiin Englannissa. Nykyään sekä Newtonille että Leibnizille annetaan kunnia siitä, että he kehittävät itsenäisesti laskennan perusteita. Se on Leibniz, kuitenkin, joka on hyvitetty antaa uuden kurinalaisuuden nimi se tunnetaan tänään:”calculus”. Newtonin nimi sille oli ”The science of fluents and fluxions”.,

sekä Newtonin että Leibnizin työ näkyy nykyään käytössä olevassa notaatiossa. Newton esitteli merkintätapa f {\displaystyle {\dot {f}}} derivaatta funktion f. Leibniz esitteli symboli ∫ {\displaystyle \int } integraali ja kirjoitti johdannainen funktio y muuttujan x d y d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}} , jotka molemmat ovat edelleen käytössä.

Leibnizin ja Newtonin ajoista lähtien monet matemaatikot ovat edistäneet calculuksen jatkuvaa kehitystä., Yksi ensimmäinen ja täydellisin teoksia sekä infinitesimaali ja integraali calculus oli kirjoitettu vuonna 1748 Maria Gaetana Agnesi.

Operatiivinen methodsEdit

Antoine Arbogast (1800) oli ensimmäinen, joka erottaa symboli toiminta että määrä differentiaaliyhtälön. Francois-Joseph Servois (1814) näyttää antaneen ensimmäisenä oikeat säännöt aiheesta. Charles James Hargreave (1848) on soveltanut näitä menetelmiä hänen memoir, differential equations, ja George Boole vapaasti käyttäneet niitä., Hermann Grassmann ja Hermann Hankel tehnyt suuria käytön teoria, entinen opiskelu yhtälöt, jälkimmäinen hänen teorian monimutkaisia numeroita.

variaatioiden Calculus

variaatioiden calculuksen voidaan sanoa alkavan Johann Bernoullin (1696) ongelmasta. Se kiinnitti heti Jakob Bernoullin huomion, mutta Leonhard Euler laati ensin aiheen. Hänen panoksensa alkoi vuonna 1733, ja hänen Elementa Calculi Variationum antoi tiede sen nimi., Joseph Louis Lagrange vaikutti laajasti teoriaa, ja Adrien-Marie Legendre (1786) säädettyä menetelmää, ei ole täysin tyydyttävä, sillä syrjintä maksimit ja minimit. Tämän syrjinnän Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Denis Poisson (1831), Mihail Vasiljevitš Ostrogradsky (1834), ja Carl Gustav Jacob Jacobi (1837) ovat olleet avustajat. Tärkeä yleinen työ on Sarrus (1842), joka oli lyhennetty ja parantaa Augustin Louis Cauchy (1844)., Muita arvokkaita tutkielmia ja muistelmia on kirjoittanut Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858), ja Carll (1885), mutta ehkä tärkein työn-luvulla on, että Karl Weierstrass. Hänen tietenkin teorian voidaan väittää olevan ensimmäinen paikka calculus on vankka ja tiukka perusta.