La Sphère a deux côtés. Un insecte peut être piégé à l’intérieur d’une forme sphérique ou ramper librement sur sa surface visible. Une mince feuille de papier posée sur un bureau a également deux côtés. Les Pages d’un livre sont généralement numérotées de deux par feuille de papier. La première surface unilatérale a été découverte par A. F. Möbius (1790-1868) et porte son nom: Bande de Möbius. Parfois, on l’appelle alternativement un groupe Möbius. (En vérité, la surface a été décrite indépendamment et plus tôt par deux mois par un autre mathématicien allemand J. B. Listing.) La bande a été immortalisée par M. C., Escher (1898-1972).
Pour obtenir une bande de Möbius, commencer avec une bande de papier. Tournez une extrémité 180o (demi-tour) et collez les extrémités ensemble (le fichier avi prend 267264 octets). À titre de comparaison, si vous collez les extrémités sans tordre le résultat ressemblerait à un cylindre ou à un anneau en fonction de la largeur de la bande. Essayez de couper la bande le long de la ligne médiane. Les personnes non familiarisées avec la topologie devinent rarement correctement quel serait le résultat. Il est également intéressant de couper la bande 1/3 du chemin à un bord. Essayer.,
j’ai mis en place un court film avi (155648 octets) d’une bande de Möbius tordue. (Lorsque vous arrivez à la page du film, cliquez sur le cadre pour démarrer le film.)
maintenant, une fois que vous connaissez l’astuce, vous aimeriez sûrement trouver d’autres surfaces unilatérales. Avant de coller les extrémités ensemble, vous pouvez tordre la bande deux fois ou même trois fois. Obtenez-vous une surface unilatérale ou bilatérale?,
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P.S.
There is an additional page with an interactive Java illustration that lets one « see through » the strip in more than one sense., Et, bien sûr, il existe d’autres pages consacrées à la bande Möbius disponibles sur Internet. Une qui mérite une mention spéciale. Richard Marsden (dont la page a disparu du Web) a réussi à produire une version VRML du strip. J’ai aimé tourner la bande de cette façon et de cette façon. Je ne sais pas pourquoi mais le passage suivant D’Art Buchwald de la quatrième de couverture de The Funniest Man in the World D’Ephraim Kishon m’est venu à l’esprit:
Ephraim Kishon est le deuxième humoriste le plus drôle que je connaisse… Il est hilarant et je le déteste.,
Comment faire
je ne discutons ici les Mathématiques qui sont entrés dans la bande de Möbius de création de film.
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tout commence par une observation que j’ai glanée en surfant sur les pages de MathSoft. Pour une gamme de valeurs de t, de considérer les courbes
x(t) = Rsin(t/R), y(t) = R(1 – cos(t/R)),
paramétrée par R. Chacun d’eux est un morceau du cercle
x(t)2 + (y(t) – R)2 = R2.,
pour un grand R (et une plage fixe de t), une telle pièce est petite par rapport à la taille des cercles et, par conséquent, ressemble presque à un segment de ligne droite. Pour les petites valeurs de R (près de 1), la pièce est plus proche d’un cercle complet.
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lorsque les pièces sont montrées une à la fois pour une séquence Décroissante de R, Les cadres créent l’impression d’un segment plié en cercle. Pour générer le film, j’ai utilisé 21 images numérotées de 0 à 20, le rayon changeant selon la formule
R(k) = 21 / (k + 1),
où k est un numéro de trame.,
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créer une bande de Möbius est une affaire en 3 dimensions. Par conséquent, en plus des coordonnées x (horizontale) et y (verticale), nous avons également besoin d’une coordonnée z. Pensez à cette coordonnée comme dirigée perpendiculairement à l’écran. Pour le segment initial, qui ressemble plus à un morceau de ligne droite qu’à un arc de cercle, j’ai pris z = const pour la longueur du segment. Le segment devient un rectangle – une » bande » – à plier en une bande de Möbius., Le rectangle a deux côtés: le segment d’origine, qui ci-dessous est appelé « le segment (xy) », et le côté perpendiculaire, appelé « segment z ». »
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lorsque le segment (xy) se replie en cercle, le segment z tourne dans le plan (yz). J’ai discuté de la rotation d’un plan sur mes pages de cycloïdes. Une mise en garde est cependant de mise. Pour créer une bande de Möbius, nous devons tordre l’ensemble du rectangle, pas seulement ses extrémités z., Cependant, différentes parties du rectangle doivent tourner à des vitesses différentes – l’extrémité tournant le plus rapidement tandis que le milieu de la bande ne devrait pas bouger du tout. Ainsi, j’utilise la quantité
w = (t – tmiddle)2
comme vitesse angulaire pour le segment z à différents points du segment plié (xy). La quantité est très proche de 0 pour les points proches du milieu de la bande.
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Enfin, les deux extrémités de la bande doit tourner dans des directions opposées. De sorte qu’en plus, la matrice de rotation devait être multipliée par le signe
(T – tmiddle).
c’est tout., Une application très pratique d’un peu de trigonométrie et de géométrie analytique. Il y a un autre film de création, 303104 octets. Il montre la vue de face de la bande de torsion.
Une lettre d’Alexandre Grasser décrit plus loin de coupe (mais aussi le collage) des activités. Il est possible de coller ensemble deux bandes de papier, que ce soit ces cylindres ou des bandes de moebius. Même dans le cas de deux cylindres, le résultat surprendra la plupart des parents, sans parler de leurs enfants.
mon logo est également une surface unilatérale.,
Référence
- S. Barr, des Expériences Dans la Topologie, Dover Publications, new york, 1989
- R. Courant et H. Robbins, qu’est-Ce que les Mathématiques? Il s’agit d’un ouvrage de référence sur la science des modèles, publié en 1997 par la Scientific American Library et publié en 1997 par la société américaine de mathématiques.
- C. A. Pickover, la bande Mobius: Dr., Août Mobius est Merveilleux de la Bande dans les Mathématiques, des Jeux, de la Littérature, l’Art, la Technologie, et de la Cosmologie, Tonnerre de la Bouche de Presse, 2006
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