AncientEdit
Archimède a utilisé la méthode de l’épuisement pour calculer la zone à l’intérieur d’un cercle
la période Ancienne a introduit certaines des idées qui ont conduit au calcul intégral, mais ne semble pas et de manière systématique. Les calculs de volumes et de surfaces, un objectif du calcul intégral, se trouvent dans le papyrus égyptien de Moscou (C., 1820 avant JC), mais les formules ne sont données que pour des nombres concrets, certaines ne sont qu’approximativement vraies, et elles ne sont pas dérivées par raisonnement déductif. Les Babyloniens ont peut-être découvert la règle trapézoïdale en faisant des observations astronomiques de Jupiter.
dès L’ère des mathématiques grecques, Eudoxe (c. 408-355 av. j.-c.) a utilisé la méthode de l’épuisement, qui préfigure le concept de la limite, pour calculer les aires et les volumes, tandis Qu’Archimède (c. 287-212 av. j.-c.) a développé cette idée, inventant des heuristiques qui ressemblent aux méthodes du calcul intégral. , Les mathématiciens grecs sont également crédités d’une utilisation significative des infinitésimaux. Démocrite est la première personne enregistrée à considérer sérieusement la division des objets en un nombre infini de sections transversales, mais son incapacité à rationaliser les sections transversales discrètes avec la pente douce d’un cône l’a empêché d’accepter l’idée. À peu près à la même époque, Zénon D’Élée discréditait davantage les infinitésimaux par son articulation des paradoxes qu’ils créent.,
Archimède a développé cette méthode plus loin, tout en inventant des méthodes heuristiques qui ressemblent quelque peu aux concepts modernes dans sa Quadrature de la parabole, la méthode, et sur la sphère et le cylindre. Il ne faut pas penser que les infinitésimaux ont été mis sur une base rigoureuse pendant cette période, Cependant. Ce n’est que lorsqu’il a été complété par une preuve géométrique appropriée que les mathématiciens Grecs accepteraient une proposition comme vraie., Ce n’est qu’au 17ème siècle que la méthode a été formalisée par Cavalieri comme la méthode des Indivisibles et finalement incorporée par Newton dans un cadre général de calcul intégral. Archimède a été le premier à trouver la tangente à une courbe autre qu’un cercle, dans une méthode proche du calcul différentiel. Tout en étudiant la spirale, il a séparé le mouvement d’un point en deux composantes, une composante de mouvement radial et une composante de mouvement circulaire, puis a continué à ajouter les deux mouvements de composante ensemble, trouvant ainsi la tangente à la courbe., Les pionniers du calcul comme Isaac Barrow et Johann Bernoulli étaient des étudiants assidus D’Archimède; voir par exemple C.S. Roero (1983).
la méthode de l’épuisement a été réinventée en Chine par Liu Hui au 4ème siècle de notre ère afin de trouver l’aire d’un cercle. Au 5ème siècle, Zu Chongzhi a établi une méthode qui s’appellera plus tard le principe de Cavalieri pour trouver le volume d’une sphère.
MedievalEdit
dans le Moyen-Orient islamique, le mathématicien arabe du 11ème siècle Ibn Al-Haytham (Alhazen) a dérivé une formule pour la somme des quatrièmes puissances., Il a utilisé les résultats pour réaliser ce que l’on appellerait maintenant une intégration, où les formules des sommes des carrés intégraux et des quatrièmes puissances lui permettaient de calculer le volume d’un paraboloïde. Au 12ème siècle, le mathématicien persan Sharaf al-Dīn al-Tūsī a découvert la dérivée des polynômes cubiques. Son Traité sur les équations a développé des concepts liés au calcul différentiel, tels que la fonction dérivée et les maxima et minima des courbes, afin de résoudre des équations cubiques qui peuvent ne pas avoir de solutions positives.,
certaines idées sur le calcul sont apparues plus tard dans les mathématiques indiennes, à L’école D’astronomie et de mathématiques du Kerala. Madhava de Sangamagrama au 14ème siècle, et plus tard les mathématiciens de L’école du Kerala, ont déclaré des composants du calcul tels que la série de Taylor et les approximations de séries infinies. Cependant, ils n’ont pas été en mesure de combiner de nombreuses idées différentes sous les deux thèmes unifiants de la dérivée et de l’intégrale, de montrer le lien entre les deux et de transformer le calcul en le puissant outil de résolution de problèmes dont nous disposons aujourd’hui.,
l’étude mathématique de la continuité a été relancée au 14ème siècle par les calculatrices D’Oxford et des collaborateurs français tels que Nicole Oresme. Ils ont prouvé le « théorème de la vitesse moyenne de Merton »: qu’un corps uniformément accéléré parcourt la même distance qu’un corps à vitesse uniforme dont la vitesse est la moitié de la vitesse finale du corps accéléré.
début moderneModifier
Au 17ème siècle, les mathématiciens européens Isaac Barrow, René Descartes, Pierre de Fermat, Blaise Pascal, John Wallis et d’autres ont discuté de l’idée d’une dérivée., En particulier, dans Methodus ad disquirendam maximam et minima et dans de tangentibus linearum curvarum, Fermat a développé une méthode d’adéquation pour déterminer les maxima, les minima et les tangentes à diverses courbes qui était étroitement liée à la différenciation. Isaac Newton écrira plus tard que ses propres premières idées sur le calcul venaient directement de « la façon dont Fermat dessinait les tangentes., »
du côté intégral, Cavalieri a développé sa méthode des indivisibles dans les années 1630 et 1640, fournissant une forme plus moderne de l’ancienne méthode grecque d’épuisement, et calculant la formule de quadrature de Cavalieri, l’aire sous les courbes xn de degré supérieur, qui n’avait auparavant été calculée que pour la parabole, par Archimède. Torricelli a étendu ce travail à d’autres courbes telles que la cycloïde, puis la formule a été généralisée aux puissances fractionnaires et négatives par Wallis en 1656., Dans un traité de 1659, Fermat est crédité d’une astuce ingénieuse pour évaluer directement l’intégrale de toute fonction de puissance. Fermat a également obtenu une technique pour trouver les centres de gravité de diverses figures planes et solides, ce qui a influencé d’autres travaux en quadrature. James Gregory, influencé par les contributions de Fermat à la tangence et à la quadrature, a ensuite pu prouver une version restreinte du deuxième théorème fondamental du calcul au milieu du 17ème siècle. La première preuve complète du théorème fondamental du calcul a été donnée par Isaac Barrow.:p.,61 lorsque l’arc ME ~ arc NH au point de tangence F fig.26
zone Ombrée d’un carré mesure lorsque x = 2.71828… La découverte du nombre d’Euler e, et son exploitation avec les fonctions ex et le logarithme naturel, a complété la théorie de l’intégration pour le calcul des fonctions rationnelles.
La première preuve du théorème de Rolle a été donnée par Michel Rolle en 1691 en utilisant des méthodes développées par le mathématicien néerlandais Johann van Waveren Hudde., Le théorème de la valeur moyenne dans sa forme moderne a été énoncé par Bernard Bolzano et Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) également après la fondation du calcul moderne. Des contributions importantes ont également été apportées par Barrow, Huygens et bien d’autres.
Newton et Leibnizmodifier
avant Newton et Leibniz, le mot « calcul” faisait référence à tout corps de mathématiques, mais dans les années suivantes, « calcul » est devenu un terme populaire pour un domaine des mathématiques basé sur leurs idées., Newton et Leibniz, s’appuyant sur ce travail, ont développé indépendamment la théorie environnante du calcul infinitésimal à la fin du 17ème siècle. En outre, Leibniz a fait beaucoup de travail pour développer des notations et des concepts cohérents et utiles. Newton a fourni certaines des applications les plus importantes à la physique, en particulier du calcul intégral. Le but de cette section est d’examiner les recherches de Newton et Leibniz dans le domaine en développement du calcul infinitésimal., Une importance particulière sera accordée à la justification et aux termes descriptifs qu’ils ont utilisés pour tenter de comprendre le calcul tel qu’ils l’ont eux-mêmes conçu.
Au milieu du 17ème siècle, les mathématiques européennes avaient changé leur principal dépositaire de connaissances. Par rapport au siècle dernier, qui a maintenu les mathématiques Hellénistiques comme point de départ de la recherche, Newton, Leibniz et leurs contemporains se sont de plus en plus tournés vers les œuvres de penseurs plus modernes., L’Europe était à la maison à un embryon de communauté mathématique et avec l’avènement de renforcement institutionnel et organisationnel des bases d’un nouveau niveau d’organisation et à l’intégration scolaire a été réalisé. Fait important, cependant, la communauté manquait de formalisme; elle consistait plutôt en une masse désordonnée de diverses méthodes, techniques, notations, théories et paradoxes.
Newton est venu au calcul dans le cadre de ses recherches en physique et en Géométrie. Il considérait le calcul comme la description scientifique de la génération du mouvement et des grandeurs., En comparaison, Leibniz s’est concentré sur le problème de la tangente et en est venu à croire que le calcul était une explication métaphysique du changement. Fait important, le cœur de leur perspicacité était la formalisation des propriétés inverses entre l’intégrale et la différentielle d’une fonction. Cette idée avait été anticipée par leurs prédécesseurs, mais ils ont été les premiers à concevoir le calcul comme un système dans lequel de nouveaux termes rhétoriques et descriptifs ont été créés., Leurs découvertes uniques résident non seulement dans leur imagination, mais aussi dans leur capacité à synthétiser les idées qui les entourent en un processus algorithmique universel, formant ainsi un nouveau système mathématique.
NewtonEdit
Newton n’a achevé aucune publication définitive formalisant son calcul fluxional; au contraire, beaucoup de ses découvertes mathématiques ont été transmises par correspondance, des articles plus petits ou des aspects intégrés dans ses autres compilations définitives, telles que les Principia et Opticks., Newton commencerait sa formation mathématique en tant qu’héritier choisi D’Isaac Barrow à Cambridge. Son aptitude a été reconnue très tôt et il a rapidement appris les théories actuelles. En 1664, Newton avait apporté sa première contribution importante en avançant le théorème binomial, qu’il avait étendu pour inclure les exposants fractionnaires et négatifs. Newton a réussi à étendre l’applicabilité du théorème binomial en appliquant l’algèbre des quantités finies dans une analyse des séries infinies., Il a montré une volonté de voir les séries infinies non seulement comme des dispositifs approximatifs, mais aussi comme des formes alternatives d’expression d’un terme.
beaucoup des idées critiques de Newton ont eu lieu pendant les années de peste de 1665-1666 qu’il a décrit plus tard comme, « le premier de mon âge pour l’invention et les mathématiques et la philosophie d’esprit plus qu’à tout moment depuis. »C’est au cours de son isolement provoqué par la peste que la première conception écrite du calcul fluxionaire a été enregistrée dans le de Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas non publié., Dans cet article, Newton a déterminé l’aire sous une courbe en calculant d’abord un taux de changement momentané, puis en extrapolant l’aire totale. Il a commencé par raisonner sur un triangle indéfiniment petit dont l’aire est une fonction de x et Y. Il a ensuite raisonné que l’augmentation infinitésimale de l’abscisse créera une nouvelle formule où x = x + o (surtout, o est la lettre, pas le chiffre 0). Il a ensuite recalculé l’aire à l’aide du théorème binomial, supprimé toutes les quantités contenant la lettre o et reformé une expression algébrique pour l’aire., De manière significative, Newton « effacerait » alors les quantités contenant o parce que les Termes « multipliés par cela ne seront rien par rapport au reste ».
à ce stade, Newton avait commencé à réaliser la propriété centrale de l’inversion. Il avait créé une expression pour l’aire sous une courbe en considérant une augmentation momentanée en un point. En effet, le théorème fondamental du calcul a été intégré dans ses calculs. Alors que sa nouvelle formulation offrait un potentiel incroyable, Newton était bien conscient de ses limites logiques à l’époque., Il admet que « les erreurs ne doivent pas être négligées en mathématiques, aussi petites soient-elles » et que ce qu’il avait accompli a été « rapidement expliqué plutôt que démontré avec précision. »
Dans un effort pour donner au calcul une explication et un cadre plus rigoureux, Newton a compilé en 1671 le Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum. Dans ce livre, L’empirisme strict de Newton a façonné et défini son calcul fluxional. Il exploitait le mouvement instantané et les infinitésimaux de manière informelle. Il a utilisé les mathématiques comme outil méthodologique pour expliquer le monde physique., La base du calcul révisé de Newton est devenue la continuité; en tant que tel, il a redéfini ses calculs en termes de mouvement continu. Pour Newton, les grandeurs variables ne sont pas des agrégats d’éléments infinitésimaux, mais sont générées par le fait incontestable du mouvement. Comme pour beaucoup de ses œuvres, Newton a retardé la publication. Methodus Fluxionum n’a été publié qu’en 1736.
Newton a tenté d’éviter l’utilisation de l’infinitésimal en formant des calculs basés sur des rapports de changements., Dans le Methodus Fluxionum, il définissait le taux de changement généré comme une fluxion, qu’il représentait par une lettre pointillée, et la quantité générée qu’il définissait comme une fluxion. Par exemple, si x {\displaystyle {x}} et a {\displaystyle {y}} sont fluents, alors x {\displaystyle {\dot {x}}} et a {\displaystyle {\dot {y}}} sont leurs fluxions., Ce calcul révisé des rapports a continué à être développé et a été énoncé avec maturité dans le texte de Quadratura Curvarum de 1676 où Newton en est venu à définir la dérivée actuelle comme le rapport ultime du changement, qu’il a défini comme le rapport entre les incréments évanescents (le rapport des fluxions) purement au moment en question. Essentiellement, le rapport ultime est le rapport lorsque les incréments disparaissent dans le néant., Surtout, Newton a expliqué l’existence du rapport ultime en faisant appel au mouvement;
« car par vitesse ultime, on entend que, avec laquelle le corps est déplacé, ni avant qu’il n’arrive à sa dernière place, quand le mouvement cesse ni après, mais à l’instant même où il arrive… le rapport ultime des quantités évanescentes doit être compris, le rapport des quantités non pas avant qu’elles ne disparaissent, pas après, mais avec lesquelles elles disparaissent”
Newton a développé son calcul fluxional dans une tentative d’échapper à l’utilisation informelle des infinitésimaux dans ses calculs.,
LeibnizEdit
Leibniz: Nova methodus pro maximis et minimis, les Acta Eruditorum de Leipzig, octobre 1684. Première page de la publication de Leibniz du calcul différentiel.
graphiques référencés dans l’article de Leibniz de 1684
alors que Newton a commencé à développer son calcul fluxional en 1665-1666, ses résultats ne sont devenus largement diffusés que plus tard. Dans les années qui ont suivi, Leibniz s’est également efforcé de créer son calcul., Par rapport à Newton qui est venu aux mathématiques à un âge précoce, Leibniz a commencé ses études de mathématiques rigoureuses avec un intellect mature. Il était un polymathe, et ses intérêts intellectuels et ses réalisations impliquaient la métaphysique, le droit, l’économie, la politique, la logique et les mathématiques. Afin de comprendre le raisonnement de Leibniz en calcul, il faut garder à l’esprit ses antécédents. En particulier, sa métaphysique qui décrit l’univers comme une monadologie, et ses plans de créer une logique formelle précise par laquelle, « une méthode générale dans laquelle toutes les vérités de la raison seraient réduites à une sorte de calcul., »
en 1672, Leibniz rencontre le mathématicien Huygens qui le convainc de consacrer beaucoup de temps à l’étude des mathématiques. En 1673, il avait progressé à la lecture du Traité des Sinus du quart Cercle de Pascal et c’est au cours de ses recherches en grande partie autodidactiques que Leibniz a dit « une lumière allumée ». Comme Newton, Leibniz a vu la tangente comme un rapport mais l’a déclaré comme simplement le rapport entre les ordonnées et les abscisses., Il poursuivit ce raisonnement pour soutenir que l’intégrale était en fait la somme des ordonnées pour les intervalles infinitésimaux dans les abscisses; en fait, la somme d’un nombre infini de rectangles. À partir de ces définitions, la relation inverse ou différentielle est devenue claire et Leibniz a rapidement réalisé le potentiel de former un tout nouveau système de mathématiques. Là où Newton au cours de sa carrière a utilisé plusieurs approches en plus d’une approche utilisant les infinitésimaux, Leibniz en a fait la pierre angulaire de sa notation et de son calcul.,
dans les manuscrits du 25 octobre au 11 novembre 1675, Leibniz a enregistré ses découvertes et ses expériences avec diverses formes de notation. Il était parfaitement conscient des termes notationnels utilisés et ses plans antérieurs pour former un symbolisme logique précis sont devenus évidents. Finalement, Leibniz a désigné les incréments infinitésimaux des abscisses et des ordonnées dx et dy, et la somme d’infiniment de rectangles infinitésimaux minces comme un long s (∫ ), qui est devenu le symbole intégral actuel {{\displaystyle \scriptstyle \int } .,
bien que la notation de Leibniz soit utilisée par les mathématiques modernes, sa base logique était différente de notre base actuelle. Leibniz embrassa les infinitésimaux et écrivit beaucoup pour ne pas faire de L’infiniment petit un mystère, comme L’avait fait Pascal. »Selon Gilles Deleuze, les zéros de Leibniz » ne sont rien, mais ce ne sont pas rien absolu, ce sont respectivement rien » (citant le texte de Leibniz « Justification du calcul des infinitésimaux par le calcul de l’algèbre ordinaire »). Alternativement, il les définit comme, » moins que n’importe quelle quantité donnée.,” Pour Leibniz, le monde était un agrégat de points infinitésimaux et le manque de preuves scientifiques de leur existence ne le dérangeait pas. Les infinitésimaux à Leibniz étaient des quantités idéales d’un type différent des nombres appréciables. La vérité de la continuité a été prouvée par l’existence elle-même. Pour Leibniz, le principe de continuité et donc la validité de son calcul étaient assurés. Trois cents ans après les travaux de Leibniz, Abraham Robinson a montré que l’utilisation de quantités infinitésimales dans le calcul pouvait être donnée une base solide.,
LegacyEdit
l’essor du calcul se distingue comme un moment unique en mathématiques. Le calcul est les mathématiques du mouvement et du changement, et en tant que tel, son invention a nécessité la création d’un nouveau système mathématique. Surtout, Newton et Leibniz n’ont pas créé le même calcul et ils n’ont pas conçu le calcul moderne. Alors qu’ils étaient tous deux impliqués dans le processus de création d’un système mathématique pour traiter des quantités variables, leur base élémentaire était différente., Pour Newton, le changement était une quantité variable dans le temps et pour Leibniz, c’était la différence allant sur une séquence de valeurs infiniment proches. Notamment, les termes descriptifs créés par chaque système pour décrire le changement étaient différents.
historiquement, il y avait beaucoup de débats pour savoir si C’était Newton ou Leibniz qui avait « inventé » le calcul. Cet argument, la controverse Leibniz et Newton calcul, impliquant Leibniz, qui était allemand, et L’Anglais Newton, a conduit à une rupture dans la communauté mathématique européenne qui dure plus d’un siècle., Leibniz a été le premier à publier ses enquêtes; cependant, il est bien établi que Newton avait commencé son travail plusieurs années avant Leibniz et avait déjà développé une théorie des tangentes au moment où Leibniz s’est intéressé à la question.It on ne sait pas à quel point cela a pu influencer Leibniz. Les accusations initiales ont été faites par des étudiants et des partisans des deux grands scientifiques au tournant du siècle, mais après 1711, les deux se sont personnellement impliqués, s’accusant mutuellement de plagiat.,
Le conflit de priorité a eu pour effet de séparer les mathématiciens anglophones de ceux de l’Europe continentale pendant de nombreuses années. Ce n’est que dans les années 1820, grâce aux efforts de la société analytique, que le calcul analytique leibnizien est accepté en Angleterre. Aujourd’hui, Newton et Leibniz sont crédités d’avoir développé indépendamment les bases du calcul. C’est Leibniz, cependant, qui est crédité d’avoir donné à la nouvelle discipline le nom qu’on lui connaît aujourd’hui: « calcul ». Le nom de Newton pour cela était « la science des fluents et des fluxions ».,
Le travail de Newton et de Leibniz se reflète dans la notation utilisée aujourd’hui. Newton introduit la notation f {\displaystyle {\dot {f}}} pour la dérivée de la fonction f. Leibniz introduit le symbole ∫ {\displaystyle \int } pour l’intégrale et écrit de la dérivée d’une fonction y de la variable x d y d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}} , qui sont encore en usage.
Depuis L’époque de Leibniz et Newton, de nombreux mathématiciens ont contribué au développement continu du calcul., L’un des premiers et des plus complets travaux sur le calcul infinitésimal et intégral a été écrit en 1748 par Maria Gaetana Agnesi.
méthodes Opérationnellesmodifier
Antoine Arbogast (1800) fut le premier à séparer le symbole de l’opération de celui de la quantité dans une équation différentielle. François-Joseph Servois (1814) semble avoir été le premier à donner des règles correctes sur le sujet. Charles James Hargreave (1848) a appliqué ces méthodes dans ses Mémoires sur les équations différentielles, et George Boole les a librement employées., Hermann Grassmann et Hermann Hankel ont fait un grand usage de la théorie, le premier dans l’étude des équations, le second dans sa théorie des nombres complexes.
calcul des variationsmodifier
on peut dire que le calcul des variations commence par un problème de Johann Bernoulli (1696). Il a immédiatement occupé L’attention de Jakob Bernoulli mais Leonhard Euler a d’abord élaboré le sujet. Ses contributions ont commencé en 1733, et son Elementa Calculi Variationum a donné à la science son nom., Joseph Louis Lagrange a largement contribué à la théorie, et Adrien-Marie Legendre (1786) a établi une méthode, pas entièrement satisfaisante, pour la discrimination des maxima et des minima. À cette discrimination Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Denis Poisson (1831), Mikhail Vasilievich Ostrogradsky (1834), et Carl Gustav Jakob Jacobi (1837) ont été parmi les contributeurs. Un ouvrage général important est celui de Sarrus (1842) qui a été condensé et amélioré par Augustin Louis Cauchy (1844)., D’autres traités et mémoires précieux ont été écrits par Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) et Carll (1885), mais L’œuvre la plus importante du siècle est peut-être celle de Karl Weierstrass. Son cours sur la théorie peut être affirmé pour être le premier à placer le calcul sur une base ferme et rigoureuse.
