Good Mood

AncientEdit

Die Antike führte einige der Ideen ein, die zur Integralrechnung führten, scheint diese Ideen jedoch nicht rigoros und systematisch entwickelt zu haben. Berechnungen von Volumina und Flächen, ein Ziel der Integralrechnung, finden sich im ägyptischen Moskauer Papyrus (c., 1820 v. Chr.), aber die Formeln sind nur für konkrete Zahlen gegeben, einige sind nur annähernd wahr, und sie werden nicht durch deduktive Argumentation abgeleitet. Babylonier haben möglicherweise die trapezförmige Regel bei astronomischen Beobachtungen des Jupiter entdeckt.

Ab dem Zeitalter der griechischen Mathematik verwendete Eudoxus (c. 408-355 BC) die Erschöpfungsmethode, die das Konzept der Grenze vorwegnimmt, um Flächen und Volumina zu berechnen, während Archimedes (c. 287-212 BC) diese Idee weiter entwickelte und Heuristiken erfand, die den Methoden der Integralrechnung ähneln. , Griechischen Mathematikern wird auch eine signifikante Verwendung von Infinitesimalen zugeschrieben. Demokrit ist die erste Person, die ernsthaft über die Aufteilung von Objekten in eine unendliche Anzahl von Querschnitten nachgedacht hat, aber seine Unfähigkeit, diskrete Querschnitte mit der glatten Neigung eines Kegels zu rationalisieren, hinderte ihn daran, die Idee zu akzeptieren. Ungefähr zur gleichen Zeit diskreditierte Zeno von Elea Infinitesimals weiter durch seine Artikulation der Paradoxien, die sie erschaffen.,

Archimedes entwickelte diese Methode weiter und erfand gleichzeitig heuristische Methoden, die modernen Konzepten in seiner Quadratur der Parabel, der Methode und auf der Kugel und dem Zylinder etwas ähneln. Es sollte jedoch nicht angenommen werden, dass Infinitesimals in dieser Zeit rigoros aufgestellt wurden. Nur wenn es durch einen richtigen geometrischen Beweis ergänzt wurde, würden griechische Mathematiker einen Satz als wahr akzeptieren., Jahrhundert wurde die Methode von Cavalieri als Methode der Unteilbaren formalisiert und schließlich von Newton in einen allgemeinen Rahmen der Integralrechnung integriert. Archimedes war der erste, der die Tangente zu einer anderen Kurve als einem Kreis in einer Methode fand, die der Differentialrechnung ähnlich war. Während er die Spirale studierte, trennte er die Bewegung eines Punktes in zwei Komponenten, eine radiale Bewegungskomponente und eine kreisförmige Bewegungskomponente, und addierte dann die beiden Komponentenbewegungen zusammen, wodurch die Tangente zur Kurve gefunden wurde., Die Pioniere des Kalküls wie Isaac Barrow und Johann Bernoulli waren fleißige Schüler von Archimedes; siehe zum Beispiel C. S. Roero (1983).

Die Erschöpfungsmethode wurde in China von Liu Hui im 4. Jahrhundert n. Chr. neu erfunden, um die Fläche eines Kreises zu finden. Im 5. Jahrhundert etablierte Zu Chongzhi eine Methode, die später Cavalieris Prinzip genannt wurde, um das Volumen einer Kugel zu finden.

mittelalterlichedit

Im islamischen Nahen Osten leitete der arabische Mathematiker Ibn al-Haytham (Alhazen) aus dem 11., Er verwendete die Ergebnisse, um eine so genannte Integration durchzuführen, bei der die Formeln für die Summen integraler Quadrate und vierter Potenzen es ihm ermöglichten, das Volumen eines Paraboloids zu berechnen. Jahrhundert entdeckte der persische Mathematiker Sharaf al-Dīn al-Tūsī die Ableitung kubischer Polynome. Seine Abhandlung über Gleichungen entwickelte Konzepte im Zusammenhang mit Differentialrechnung, wie die Ableitungsfunktion und die Maxima und Minima von Kurven, um kubische Gleichungen zu lösen, die möglicherweise keine positiven Lösungen haben.,

Einige Ideen zum Kalkül erschienen später in der indischen Mathematik an der Kerala School of astronomy and mathematics. Jahrhundert und später Mathematiker der Kerala-Schule, erklärte Komponenten der Kalkül wie die Taylor-Serie und unendliche Reihen Approximationen. Sie waren jedoch nicht in der Lage, viele unterschiedliche Ideen unter den beiden verbindenden Themen der Ableitung und des Integrals zu kombinieren, die Verbindung zwischen den beiden aufzuzeigen und Kalkül in das mächtige Problemlösungswerkzeug zu verwandeln, das wir heute haben.,

Das mathematische Studium der Kontinuität wurde im 14th Jahrhundert von den Oxford-Rechnern und französischen Mitarbeitern wie Nicole Oresme wiederbelebt. Sie bewiesen den „Merton Mean Speed Theorem“: dass ein gleichmäßig beschleunigter Körper die gleiche Strecke zurücklegt wie ein Körper mit gleichmäßiger Geschwindigkeit, dessen Geschwindigkeit die Hälfte der Endgeschwindigkeit des beschleunigten Körpers beträgt.Jahrhundert diskutierten die europäischen Mathematiker Isaac Barrow, René Descartes, Pierre de Fermat, Blaise Pascal, John Wallis und andere die Idee eines Derivats., Insbesondere in Methodus ad disalirendam maximam et minima und in De tangentibus linearum curvarum entwickelte Fermat eine Angemessenheitsmethode zur Bestimmung von Maxima, Minima und Tangenten zu verschiedenen Kurven, die eng mit der Differenzierung zusammenhing. Isaac Newton würde später schreiben, dass seine eigenen frühen Ideen über Kalkül direkt von „Fermats Art, Tangenten zu zeichnen.,“

Auf der integralen Seite entwickelte Cavalieri in den 1630er und 1640er Jahren seine Methode der Unteilbarkeit, stellte eine modernere Form der antiken griechischen Erschöpfungsmethode bereit und berechnete Cavalieris Quadraturformel, die Fläche unter den Kurven xn von höherem Grad, die zuvor nur für die Parabel berechnet worden war, von Archimedes. Torricelli erweiterte diese Arbeit auf andere Kurven wie die Zykloide, und dann wurde die Formel 1656 von Wallis auf fraktionierte und negative Kräfte verallgemeinert., In einer Abhandlung von 1659 wird Fermat ein genialer Trick zugeschrieben, um das Integral jeder Machtfunktion direkt zu bewerten. Fermat erhielt auch eine Technik zum Auffinden der Schwerpunkte verschiedener ebenen und fester Figuren, die die weitere Arbeit in Quadratur beeinflusste. James Gregory, beeinflusst von Fermats Beiträgen sowohl zur Tangente als auch zur Quadratur, konnte dann Mitte des 17. Der erste vollständige Beweis für den fundamentalsatz der Analysis wurde von Isaac Barrow.:p.,61 wenn Bogen ME ~ Bogen NH am Tangenzpunkt F Abb.26

Der erste Beweis für Rolles Satz wurde 1691 von Michel Rolle mit Methoden des niederländischen Mathematikers Johann van Waveren Hudde gegeben., Der Mittelwert-Satz in seiner modernen Form wurde von Bernard Bozen und Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) auch nach der Gründung der modernen Kalkül angegeben. Wichtige Beiträge wurden auch von Barrow, Huygens und vielen anderen geleistet.

Newton und Leibniz

Siehe auch: Leibniz–Newton calculus controversy

Vor Newton und Leibniz bezog sich das Wort „Kalkül“ auf einen beliebigen Teil der Mathematik, aber in den folgenden Jahren wurde „Kalkül“ aufgrund ihrer Erkenntnisse zu einem beliebten Begriff für ein mathematisches Feld., Newton und Leibniz entwickelten auf dieser Arbeit aufbauend die umgebende Theorie der Infinitesimalrechnung im späten 17. Außerdem hat Leibniz viel mit der Entwicklung konsistenter und nützlicher Notation und Konzepte gearbeitet. Newton lieferte einige der wichtigsten Anwendungen der Physik, insbesondere der Integralrechnung. Der Zweck dieses Abschnitts ist es, die Untersuchungen von Newton und Leibniz auf dem sich entwickelnden Gebiet der Infinitesimalrechnung zu untersuchen., Besondere Bedeutung wird der Rechtfertigung und den beschreibenden Begriffen beigemessen, die sie bei dem Versuch verwendeten, Kalkül so zu verstehen, wie sie es selbst konzipiert haben.Jahrhunderts hatte die europäische Mathematik ihren primären Wissensbestand verändert. Im Vergleich zum letzten Jahrhundert, das die hellenistische Mathematik als Ausgangspunkt für die Forschung beibehielt, betrachteten Newton, Leibniz und ihre Zeitgenossen zunehmend die Werke modernerer Denker., Europa war die Heimat einer aufkeimenden mathematischen Gemeinschaft geworden, und mit dem Aufkommen verbesserter institutioneller und organisatorischer Grundlagen wurde ein neues Maß an Organisation und akademischer Integration erreicht. Wichtig ist jedoch, dass der Gemeinschaft der Formalismus fehlte; Stattdessen bestand sie aus einer ungeordneten Masse verschiedener Methoden, Techniken, Notationen, Theorien, und Paradoxien.

Newton kam im Rahmen seiner Untersuchungen in Physik und Geometrie zur Kalkulation. Er betrachtete Kalkül als die wissenschaftliche Beschreibung der Erzeugung von Bewegung und Größen., Im Vergleich dazu konzentrierte sich Leibniz auf das Tangens-Problem und glaubte, dass Kalkül eine metaphysische Erklärung des Wandels sei. Wichtig war, dass der Kern ihrer Einsicht die Formalisierung der inversen Eigenschaften zwischen dem Integral und dem Differential einer Funktion war. Diese Einsicht war von ihren Vorgängern erwartet worden, aber sie waren die ersten, die Kalkül als ein System konzipierten, in dem neue Rhetorik und beschreibende Begriffe geschaffen wurden., Ihre einzigartigen Entdeckungen lagen nicht nur in ihrer Vorstellungskraft, sondern auch in ihrer Fähigkeit, die Einsichten um sie herum zu einem universellen algorithmischen Prozess zu synthetisieren und so ein neues mathematisches System zu bilden.

NewtonEdit

Newton vollendete keine endgültige Veröffentlichung, in der seine Fluxusrechnung formalisiert wurde; Vielmehr wurden viele seiner mathematischen Entdeckungen durch Korrespondenz, kleinere Arbeiten oder als eingebettete Aspekte in seine anderen endgültigen Zusammenstellungen wie the Principia und Opticks übertragen., Newton würde seine mathematische Ausbildung als gewählter Erbe von Isaac Barrow in Cambridge beginnen. Seine Eignung wurde früh erkannt und er lernte schnell die aktuellen Theorien. Bis 1664 hatte Newton seinen ersten wichtigen Beitrag geleistet, indem er den Binomialsatz vorangebracht hatte, den er um fraktionierte und negative Exponenten erweitert hatte. Newton gelang es, die Anwendbarkeit des Binomialsatzes durch Anwendung der Algebra endlicher Größen in einer Analyse unendlicher Reihen zu erweitern., Er zeigte die Bereitschaft, unendliche Reihen nicht nur als ungefähre Geräte, sondern auch als alternative Ausdrucksformen eines Begriffs zu betrachten.

Viele von Newtons kritischen Einsichten traten während der Pestjahre von 1665-1666 auf, die er später als „die Blüte meines Zeitalters für Erfindung und gesinnte Mathematik und Philosophie mehr als zu jeder Zeit seitdem“ beschrieb.“Es war während seiner Pest-induzierte Isolierung, die erste schriftliche Konzeption von fluxionary Kalkül aufgenommen wurde in der unveröffentlichten De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas., In diesem Papier bestimmte Newton die Fläche unter einer Kurve, indem er zuerst eine momentane Änderungsrate berechnete und dann die Gesamtfläche extrapolierte. Er begann mit der Argumentation über ein unendlich kleines Dreieck, dessen Fläche eine Funktion von x und y. Er argumentierte dann, dass die infinitesimale Zunahme der Abszisse eine neue Formel erzeugt, wobei x = x + o (wichtig ist, o ist der Buchstabe, nicht die Ziffer 0). Anschließend berechnete er den Bereich mit Hilfe des Binomialsatzes neu, entfernte alle Größen, die den Buchstaben o enthielten, und bildete einen algebraischen Ausdruck für den Bereich neu., Bezeichnenderweise würde Newton dann die Mengen, die o enthalten,“ auslöschen“, weil Begriffe“multipliziert damit nichts in Bezug auf den Rest sind“.

Zu diesem Zeitpunkt hatte Newton begonnen, die zentrale Eigenschaft der Inversion zu realisieren. Er hatte einen Ausdruck für die Fläche unter einer Kurve erstellt, indem er einen momentanen Anstieg an einem Punkt in Betracht zog. Tatsächlich wurde der Grundsatzsatzsatz der Kalkül in seine Berechnungen eingebaut. Während seine neue Formulierung ein unglaubliches Potenzial bot, war sich Newton seiner damaligen logischen Grenzen bewusst., Er gibt zu, dass“ Fehler in der Mathematik nicht zu vernachlässigen sind, egal wie klein „und dass das, was er erreicht hatte,“ kurz erklärt und nicht genau demonstriert wurde.“

Um dem Kalkül eine strengere Erklärung und einen strengeren Rahmen zu geben, kompilierte Newton 1671 den Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum. In diesem Buch prägte und definierte Newtons strenger Empirismus sein fluxionales Kalkül. Er nutzte momentane Bewegung und infinitesimals informell. Er benutzte Mathematik als methodisches Werkzeug, um die physische Welt zu erklären., Die Basis von Newtons überarbeitetem Kalkül wurde Kontinuität; als solcher definierte er seine Berechnungen in Bezug auf die kontinuierliche fließende Bewegung neu. Für Newton sind variable Größen keine Aggregate von infinitesimalen Elementen, sondern werden durch die unbestreitbare Tatsache der Bewegung erzeugt. Wie bei vielen seiner Werke verzögerte Newton die Veröffentlichung. Methodus Fluxionum wurde erst 1736 veröffentlicht.

Newton versuchte, die Verwendung des Infinitesimalen zu vermeiden, indem er Berechnungen auf der Grundlage von Veränderungsverhältnissen bildete., Im Methodus Fluxionum definierte er die Geschwindigkeit der erzeugten Veränderung als Fluxion, die er durch einen gepunkteten Buchstaben darstellte, und die erzeugte Menge definierte er als fließend. Wenn beispielsweise x {\displaystyle {x}} und y {\displaystyle {y}} fließend sind, sind x {\displaystyle {\dot {x}}} und y {\displaystyle {\dot {y}}} ihre jeweiligen Fluxions., Diese überarbeitete Berechnung der Verhältnisse wurde weiter entwickelt und wurde in der 1676 Text De Quadratura Curvarum, wo Newton kam, um die heutige Ableitung als das ultimative Verhältnis der Veränderung zu definieren, die er definiert als das Verhältnis zwischen evanescent Inkremente (das Verhältnis von Fluxionen) rein im Moment in Frage. Im Wesentlichen ist das ultimative Verhältnis das Verhältnis, wenn die Inkremente ins Nichts verschwinden., Wichtig ist, dass Newton die Existenz des ultimativen Verhältnisses erklärte, indem er an Bewegung appellierte;

„Denn mit der Endgeschwindigkeit ist gemeint, dass, mit dem der Körper bewegt wird, weder bevor er an seinem letzten Platz ankommt, wenn die Bewegung aufhört noch danach, sondern in dem Moment, in dem er ankommt… das ultimative Verhältnis evaneszierender Größen ist zu verstehen, das Verhältnis von Größen nicht bevor sie verschwinden, nicht danach, sondern mit dem sie verschwinden“

Newton entwickelte seine Fluxusrechnung, um der informellen Verwendung von Infinitesimalen in seinen Berechnungen zu entgehen.,

LeibnizEdit

Während Newton 1665-1666 mit der Entwicklung seines fluxionalen Kalküls begann, wurden seine Ergebnisse erst später weit verbreitet. In den dazwischen liegenden Jahren bemühte sich Leibniz auch, sein Kalkül zu schaffen., Im Vergleich zu Newton, der schon früh zur Mathematik kam, begann Leibniz sein rigoroses Mathematikstudium mit einem reifen Intellekt. Er war ein Polymath, und seine intellektuellen Interessen und Errungenschaften umfassten Metaphysik, Recht, Wirtschaft, Politik, Logik und Mathematik. Um Leibniz ‚ Argumentation im Kalkül zu verstehen, sollte sein Hintergrund im Auge behalten werden. Insbesondere seine Metaphysik, die das Universum als Monadologie beschrieb, und seine Pläne, eine präzise formale Logik zu schaffen, wobei „eine allgemeine Methode, bei der alle Wahrheiten der Vernunft auf eine Art Berechnung reduziert würden.,“

1672 lernte Leibniz den Mathematiker Huygens kennen, der Leibniz überzeugte, dem Studium der Mathematik viel Zeit zu widmen. Bis 1673 hatte er Pascals Traité des Sinus du Quarte Cercle gelesen und während seiner weitgehend autodidaktischen Forschung sagte Leibniz „ein Licht eingeschaltet“. Wie Newton sah Leibniz die Tangente als Verhältnis, erklärte sie aber einfach als Verhältnis zwischen Ordinaten und Abszissen., Er setzte diese Argumentation fort, um zu argumentieren, dass das Integral tatsächlich die Summe der Ordinaten für infinitesimale Intervalle in der Abszisse war; in der Tat die Summe einer unendlichen Anzahl von Rechtecken. Aus diesen Definitionen wurde die umgekehrte Beziehung oder das Differential deutlich und Leibniz erkannte schnell das Potenzial, ein ganz neues System der Mathematik zu bilden. Wo Newton im Laufe seiner Karriere neben einem Ansatz mit Infinitesimalen mehrere Ansätze verwendete, machte Leibniz dies zum Eckpfeiler seiner Notation und seines Kalküls.,

In den Manuskripten vom 25. Oktober bis 11. November 1675 hat Leibniz seine Entdeckungen und Experimente mit verschiedenen Schreibweisen festgehalten. Er war sich der verwendeten Notationsbegriffe bewusst und seine früheren Pläne, eine präzise logische Symbolik zu bilden, wurden offensichtlich. Schließlich bezeichnete Leibniz die infinitesimalen Inkremente von Abszissen und Ordinaten dx und dy sowie die Summierung unendlich vieler infinitesimal dünner Rechtecke als langes s ( ∫ ), das zum gegenwärtigen Integralsymbol ∫ {\displaystyle \scriptstyle \int} wurde .,

Während Leibniz ‚ Notation in der modernen Mathematik verwendet wird, unterschied sich seine logische Basis von unserer aktuellen. Leibniz umarmte Infinitesimals und schrieb ausgiebig, um “ das unendlich Kleine nicht zu einem Geheimnis zu machen, wie es Pascal getan hatte.“Laut Gilles Deleuze sind Leibniz ‚Nullen“ nichts, aber sie sind keine absoluten Nichts, sie sind nichts „(Zitat von Leibniz ‚Text“ Rechtfertigung des Infinitesimalkalküls durch den Kalkül der gewöhnlichen Algebra“). Alternativ definiert er sie als “ weniger als jede gegebene Menge.,“Für Leibniz war die Welt ein Aggregat von infinitesimalen Punkten, und der Mangel an wissenschaftlichen Beweisen für ihre Existenz störte ihn nicht. Infinitesimals zu Leibniz waren ideale Mengen eines anderen Typs von nennenswerten Zahlen. Die Wahrheit der Kontinuität wurde durch die Existenz selbst bewiesen. Für Leibniz war das Prinzip der Kontinuität und damit die Gültigkeit seines Kalküls gesichert. Dreihundert Jahre nach Leibniz ‚ Arbeit zeigte Abraham Robinson, dass die Verwendung von infinitesimalen Größen in der Kalkulation eine solide Grundlage erhalten könnte.,

LegacyEdit

Der Aufstieg der Kalkül zeichnet sich als ein einzigartiger Moment in der Mathematik. Kalkül ist die Mathematik der Bewegung und des Wandels, und als solche erforderte seine Erfindung die Schaffung eines neuen mathematischen Systems. Wichtig ist, dass Newton und Leibniz nicht das gleiche Kalkül entwickelten und sie kein modernes Kalkül entwickelten. Während sie beide in den Prozess der Schaffung eines mathematischen Systems involviert waren, um mit variablen Größen umzugehen, war ihre elementare Basis anders., Für Newton war die Veränderung eine variable Größe im Laufe der Zeit und für Leibniz war es die Differenz, die über eine Folge von unendlich nahen Werten reichte. Insbesondere waren die beschreibenden Begriffe, die jedes System zur Beschreibung von Änderungen erstellte, unterschiedlich.

Historisch gab es viele Debatten darüber, ob Newton oder Leibniz zuerst Kalkül „erfunden“ haben. Dieses Argument, die Leibniz und Newton calculus Kontroverse, Beteiligung Leibniz, wer war Deutsch, und der Engländer Newton, führte zu einem Riss in der europäischen mathematischen Gemeinschaft von über einem Jahrhundert., Leibniz war der erste, der seine Untersuchungen veröffentlichte; Es ist jedoch gut bekannt, dass Newton seine Arbeit einige Jahre vor Leibniz begonnen hatte und bereits eine Theorie der Tangenten entwickelt hatte, als Leibniz sich für die question.It es ist nicht bekannt, wie sehr dies Leibniz beeinflusst haben könnte. Die ersten Anschuldigungen wurden von Studenten und Anhängern der beiden großen Wissenschaftler um die Jahrhundertwende erhoben, aber nach 1711 wurden beide persönlich involviert und beschuldigten sich gegenseitig des Plagiats.,

Der Prioritätsstreit hat dazu geführt, dass englischsprachige Mathematiker jahrelang von denen auf dem Kontinent getrennt wurden. Erst in den 1820er Jahren wurde das Leibnizsche analytische Kalkül aufgrund der Bemühungen der Analytischen Gesellschaft in England akzeptiert. Heute erhalten sowohl Newton als auch Leibniz Anerkennung für die eigenständige Entwicklung der Grundlagen der Kalkulation. Es ist jedoch Leibniz, dem es zugeschrieben wird, der neuen Disziplin den Namen zu geben, den sie heute kennt: „Kalkül“. Newtons Name dafür war“the science of fluents and fluxions“.,

Die Arbeit von Newton und Leibniz spiegelt sich in der heute verwendeten Notation wider. Newton führte die Notation f {\displaystyle {\dot {f}}} für die Ableitung einer Funktion f ein. Leibniz führte das Symbol ∫ {\displaystyle \int } für das Integral ein und schrieb die Ableitung einer Funktion y der Variablen x als d y d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}, die beide noch verwendet werden.

Seit der Zeit von Leibniz und Newton haben viele Mathematiker zur Weiterentwicklung des Kalküls beigetragen., Eine der ersten und vollständigsten Arbeiten zur Infinitesimal-und Integralrechnung wurde 1748 von Maria Gaetana Agnesi geschrieben.

Operational methodsEdit

Antoine Arbogast (1800) war der erste, der das Funktionssymbol in einer Differentialgleichung von dem der Größe trennte. Francois-Joseph Servois (1814) scheint der erste gewesen zu sein, der richtige Regeln zu diesem Thema gegeben hat. Charles James Hargreave (1848) wandte diese Methoden in seinen Memoiren über Differentialgleichungen an, und George Boole setzte sie frei ein., Hermann Grassmann und Hermann Hankel nutzten die Theorie, die erstere beim Studium von Gleichungen, die letztere in seiner Theorie komplexer Zahlen.

Variationsrechnung >

Man kann sagen, dass die Variationsrechnung mit einem Problem von Johann Bernoulli (1696) beginnt. Es beschäftigte sofort die Aufmerksamkeit von Jakob Bernoulli, aber Leonhard Euler hat das Thema zuerst ausgearbeitet. Seine Beiträge begannen 1733 und sein Elementa Calculi Variationum gab der Wissenschaft ihren Namen., Joseph Louis Lagrange trug maßgeblich zur Theorie bei, und Adrien-Marie Legendre (1786) legte eine Methode fest, die für die Diskriminierung von Maxima und Minima nicht ganz zufriedenstellend war. Zu dieser Unterscheidung zählen Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Denis Poisson (1831), Michail Wassiljewitsch Ostrogradsky (1834) und Carl Gustav Jakob Jacobi (1837). Eine wichtige allgemeine Arbeit ist die von Sarrus (1842), die von Augustin Louis Cauchy (1844) verdichtet und verbessert wurde., Andere wertvolle Abhandlungen und Memoiren wurden von Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) und Carll (1885) geschrieben, aber das vielleicht wichtigste Werk des Jahrhunderts ist das von Karl Weierstrass. Sein Kurs über die Theorie kann behauptet werden, der erste zu sein, der Kalkül auf eine feste und strenge Grundlage stellt.