AncientEdit
Archimedes a kimerültség módszerét használta a kör belsejében lévő terület kiszámítására
az ősi időszak bevezette azokat az ötleteket, amelyek integrált kalkulushoz vezettek, de úgy tűnik, hogy ezeket az ötleteket nem szigorú módon fejlesztették ki és módszeresen. A kötetek és területek számítása, az integral kalkulus egyik célja, megtalálható az egyiptomi moszkvai papiruszban (c., BC 1820), de a képleteket csak konkrét számokra adják meg, egyesek csak megközelítőleg igazak, és nem deduktív érveléssel származnak. A babiloniak felfedezhetik a trapéz szabályt, miközben csillagászati megfigyeléseket végeznek a Jupiterről.
a görög matematika korától kezdve az Eudoxus (KR. e. 408-355) a kimerültség módszerét alkalmazta, amely előrevetíti a határ fogalmát, a területek és térfogatok kiszámítására, míg Archimedes (KR.e. 287-212) tovább fejlesztette ezt az elképzelést, feltalálva a heurisztikát, amely hasonlít az integrált kalkulus módszereire., Görög matematikusok is jóvá jelentős használata infinitesimals. Démokritosz az első, aki felvett komolyan meg kell fontolnia, hogy a szétválás a tárgyak végtelen számú keresztmetszetek, de az képtelenség, hogy racionalizálni diszkrét keresztmetszetek egy kúp sima lejtőn megakadályozta, elfogadni a gondolatot. Körülbelül ugyanabban az időben, Zeno Elea hiteltelenítette infinitesimals tovább az ő artikuláció a paradoxonok, amelyek létrehozzák.,
Archimedes tovább fejlesztette ezt a módszert, ugyanakkor heurisztikus módszereket is feltalált, amelyek némileg hasonlítanak a mai fogalmakra a Parabola, a módszer, valamint a gömb és a henger Kvadratúrájában. Nem szabad azonban azt gondolni, hogy az infinitesimals ebben az időben szigorú alapokra került. Csak akkor, ha azt egy megfelelő geometriai bizonyíték egészítette ki, a görög matematikusok elfogadják az állítást igaznak., Nem volt egészen a 17. században, hogy a módszer által formalizált Cavalieri, mint a módszer oszthatatlan, majd végül építeni Newton egy általános keret szerves kalkulus. Archimedes volt az első, aki egy körön kívüli görbe érintőjét találta meg a differenciálszámításhoz hasonló módszerrel. A spirál tanulmányozása közben egy pont mozgását két komponensre, egy radiális mozgáskomponensre és egy körkörös mozgáskomponensre osztotta, majd folytatta a két komponens mozgását együtt, ezáltal meghatározva a görbe érintőjét., A kalkulus úttörői, mint Isaac Barrow és Johann Bernoulli, Archimedes szorgalmas tanítványai voltak; lásd például C. S. Roero (1983).
a kimerültség módszerét Liu Hui feltalálta Kínában az AD 4. században, hogy megtalálja a kör területét. Az 5. században Zu Chongzhi létrehozott egy módszert, amelyet később Cavalieri elvének neveznek egy gömb térfogatának megtalálására.
MedievalEdit
Az iszlám Közel-Keleten a 11. századi Arab matematikus Ibn al-Haytham (Alhazen) a negyedik hatalmak összegére képletet nyert., Az eredményeket arra használta, hogy megvalósítsa azt, amit most integrációnak neveznének, ahol az integrált négyzetek és a negyedik hatalmak összegeinek képletei lehetővé tették számára, hogy kiszámítsa a paraboloid térfogatát. A 12. században Sharaf al-dīn al-Tūsī perzsa matematikus felfedezte a köbös polinomok származékát. Az egyenletekkel kapcsolatos értekezése a differenciálszámításhoz kapcsolódó fogalmakat dolgozott ki, mint például a derivált függvény, valamint a görbék maximuma és minimuma, a köbös egyenletek megoldása érdekében, amelyek esetleg nem rendelkeznek pozitív megoldásokkal.,
a kalkulus néhány ötlete később az indiai matematikában, a Kerala Csillagászati és matematikai iskolában jelent meg. Madhava a Sangamagrama a 14. században, majd később matematikusok a Kerala iskola, megállapította, alkatrészek kalkulus, mint a Taylor sorozat és végtelen sorozat közelítések. A származék és az integrál két egyesítő témája alatt azonban nem tudtak sok különböző ötletet ötvözni, a kettő közötti kapcsolatot Megmutatni, a kalkulust pedig a mai hatékony problémamegoldó eszközré alakítani.,
a folytonosság matematikai tanulmányozását a 14. században újjáélesztették az Oxfordi számológépek és olyan Francia munkatársak, mint Nicole Oresme. Bebizonyították a “Merton mean speed theorem” – et: hogy egy egyenletesen gyorsított test ugyanolyan távolságot halad el, mint egy egyenletes sebességű test, amelynek sebessége a gyorsított test végső sebességének fele.
korai Modernszerkesztés
a 17. században Isaac Barrow, René Descartes, Pierre de Fermat, Blaise Pascal, John Wallis és mások megvitatták a származék gondolatát., Különösen a Methodus ad disquirendam maximam et minima és a de tangentibus linearum curvarum esetében a Fermat megfelelőségi módszert dolgozott ki a differenciáláshoz szorosan kapcsolódó különböző görbék maximumainak, minimumainak és érintőinek meghatározására. Isaac Newton később azt írta, hogy saját korai elképzelései a kalkulusról közvetlenül a “Fermat tangensek rajzolásának módjából származnak.,”
az integral oldalon Cavalieri az 1630-as és 1640-es években fejlesztette ki az oszthatatlanság módszerét, az ókori görög kimerültség módszerének modernebb formáját nyújtva, és a Cavalieri kvadratúra képletét, a magasabb fokú XN görbék alatti területet, amelyet korábban csak a parabolára számítottak ki Archimedes. Torricelli kiterjesztette ezt a munkát más görbékre, például a cikloidra, majd a képletet Wallis 1656-ban frakcionált és negatív hatványokra általánosította., Egy 1659-es értekezésben a Fermat egy zseniális trükkel jár, amely bármely hatalmi funkció integráljának közvetlen értékelésére szolgál. A Fermat olyan technikát is kapott, amellyel különböző sík-és szilárd alakzatok súlypontjait lehetett megtalálni, ami befolyásolta a további munkát a kvadratúrában. James Gregory, amelyet Fermat mind a tangenciához, mind a kvadratúrához való hozzájárulása befolyásolt, a 17.század közepén tudta bizonyítani a második alapvető kalkulus tétel korlátozott változatát. A kalkulus alapvető tételének első teljes bizonyítékát Isaac Barrow adta.:p.,61 amikor ív nekem ~ ív NH ponton érintettség F ábra.26
egy egység négyzetének árnyékolt területe, ha x = 2, 71828… Az Euler e-számának felfedezése, valamint az ex és természetes logaritmus függvényekkel való kizsákmányolása a racionális függvények kiszámításának integrációs elméletét fejezte ki.
Rolle tételének első bizonyítékát Michel Rolle adta 1691-ben Johann van Waveren Hudde holland matematikus által kifejlesztett módszerekkel., A középérték-tételt modern formájában Bernard Bolzano és Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) állította a modern kalkulus megalapítása után is. Fontos hozzájárulásokat tett Barrow, Huygens és még sokan mások is.
Newton pedig LeibnizEdit
Mielőtt Newton, Leibniz, a “matek” említett bármely szerv a matematika, de a következő években, “kalkulus” lett egy népszerű kifejezés a mező matematika alapján a betekintést., Newton és Leibniz, akik erre a munkára épültek, a 17. század végén önállóan kifejlesztették az infinitezimális kalkulus környező elméletét. Leibniz emellett sokat dolgozott a következetes és hasznos jelölések és fogalmak kidolgozásán. Newton biztosította a fizika legfontosabb alkalmazásait, különösen az integrált kalkulust. Ennek a szakasznak a célja Newton és Leibniz vizsgálata az infinitezimális kalkulus fejlődő területén., Különös jelentőségű az indokolás pedig leíró kifejezések, amelyeket használtak, hogy megpróbálja megérteni, kalkulus, mint ők maguk fogant meg.
a 17. század közepére az európai matematika megváltoztatta elsődleges tudástárát. A múlt századhoz képest, amely a hellenisztikus matematikát tartotta a kutatás kiindulópontjaként, Newton, Leibniz és kortársaik egyre inkább a modern gondolkodók munkáira tekintettek., Európa egy gyarapodó matematikai közösség otthona lett, és a megerősített intézményi és szervezeti bázisok megjelenésével új szervezeti és akadémiai integrációs szint jött létre. Fontos azonban, hogy a közösségnek hiányzott a formalizmus; ehelyett különféle módszerek, technikák, jelölések, elméletek és paradoxonok rendezetlen tömegéből állt.
Newton a fizika és a geometria területén végzett kutatásai részeként került a kalkulusba. A kalkulust a mozgás és a nagyságok generációjának tudományos leírásaként tekintette., Összehasonlításképpen, Leibniz a tangens problémára összpontosított, és azt hitte, hogy a kalkulus a változás metafizikai magyarázata. Fontos szempont, hogy betekintésük lényege az inverz tulajdonságok formalizálása volt egy függvény integrálja és differenciálja között. Ezt az éleslátást elődeik is várták, de ők voltak az elsők, akik a kalkulust olyan rendszernek tekintették, amelyben új retorika és leíró kifejezések jöttek létre., Egyedülálló felfedezéseik nemcsak a képzeletükben, hanem abban a képességükben is rejlenek, hogy a körülöttük lévő betekintést univerzális algoritmikus folyamatba szintetizálják, ezáltal új matematikai rendszert alkotnak.
NewtonEdit
Newton nem készített végleges publikációt fluxiós kalkulusának formalizálására; inkább sok matematikai felfedezését levelezés, kisebb papírok vagy más végleges összeállítások, például a Principia és az Opticks beágyazott szempontjai útján továbbították., Newton matematikai képzését Isaac Barrow választott örököseként kezdte Cambridge-ben. Alkalmasságát korán felismerték, és gyorsan megtanulta a jelenlegi elméleteket. 1664-re Newton első fontos hozzájárulását a binomiális tétel előmozdításával tette, amelyet kiterjesztett frakcionált és negatív exponensekre. Newtonnak sikerült kiterjesztenie a binomiális tétel alkalmazhatóságát a véges mennyiségek algebrájának alkalmazásával a végtelen sorozat elemzésében., Hajlandóságot mutatott arra, hogy a végtelen sorozatokat ne csak közelítő eszközként, hanem a kifejezés kifejezésének alternatív formájaként is tekintsék.
Newton számos kritikai meglátása az 1665-1666-os pestisévek alatt történt, amelyeket később úgy írt le, hogy ” korom legfontosabb találmánya és gondolkodásmódja a matematika és a filozófia, mint azóta bármikor.”Pestis által kiváltott elszigeteltsége során rögzítették a fluxionáris kalkulus első írásos koncepcióját a nem publikált de Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas-ban., Ebben a tanulmányban Newton úgy határozta meg a görbe alatti területet, hogy először kiszámította a változás pillanatnyi sebességét, majd extrapolálta a teljes területet. Ezután azzal érvelt, hogy az abszcissza végtelen növekedése új képletet hoz létre, ahol x = x + o (fontos, o a betű, nem pedig a 0 számjegy). Ezután újraszámította a területet a binomiális tétel segítségével, eltávolította az o betűt tartalmazó összes mennyiséget, és újra algebrai kifejezést alkotott a területre., Jelentősen, Newton ezután ” eltünteti “az o-t tartalmazó mennyiségeket, mert a”szorozva azzal, hogy semmi sem lesz a többihez képest”.
Ezen a ponton Newton elkezdte megvalósítani az inverzió központi tulajdonságát. A görbe alatti terület kifejezését úgy hozta létre, hogy egy ponton pillanatnyi növekedést vett figyelembe. Valójában a kalkulus alapvető tételét beépítették számításaiba. Míg új megfogalmazása hihetetlen potenciált kínált, Newton tisztában volt annak logikai korlátaival abban az időben., Elismeri, hogy “a hibákat nem szabad figyelmen kívül hagyni a matematikában, függetlenül attól, hogy milyen kicsi”, és hogy amit elért, azt “röviden elmagyarázták, nem pedig pontosan bizonyították.”
annak érdekében, hogy a kalkulus egy szigorúbb explication and framework, Newton összeállított 1671-ben a Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum. Ebben a könyvben Newton szigorú empirizmusa formálta és határozta meg fluxiós kalkulusát. Kihasználta a pillanatnyi mozgást és az infinitezimálokat informálisan. A matematikát módszertani eszközként használta a fizikai világ magyarázatához., Newton felülvizsgált kalkulusának alapja folytonosság lett; mint ilyen, újradefiniálta számításait a folyamatos áramló mozgás szempontjából. Newton esetében a változó nagyságok nem a végtelen elemek aggregátumai, hanem a mozgás vitathatatlan ténye által keletkeznek. Mint sok munkájában, Newton késleltette a kiadást. A Methodus Fluxionum csak 1736-ban jelent meg.
Newton megpróbálta elkerülni az infinitezimál használatát a változások arányain alapuló számítások kialakításával., A Methodus Fluxionumban fluxionként definiálta a generált változás sebességét, amelyet pontozott betűvel ábrázolt, valamint a generált mennyiséget, amelyet folyékonyan definiált. Például, ha X {\displaystyle {x}} és y {\displaystyle {y}} fluents, akkor x {\displaystyle {\dot {x}}}}} és y {\displaystyle {\dot {y}}}}} a megfelelő fluxionok., Ezt a felülvizsgált arányszámítást tovább fejlesztették, és az 1676-os de Quadratura Curvarum szövegben éretten kijelentették, ahol Newton a mai származékot a változás végső arányaként határozta meg, amelyet pusztán a szóban forgó pillanatban az evaneszcens növekmények (a fluxiók aránya) közötti arányként definiált. Lényegében a végső arány az arány, mivel a növekmények eltűnnek a semmibe., Fontos, hogy Newton a végső arány létezését a mozgáshoz való vonzással magyarázta;
” mert a végső sebesség azt jelenti, hogy azzal, amellyel a testet mozgatják, sem az utolsó helyre való megérkezése előtt, amikor a mozgás megszűnik, sem azután, hanem abban a pillanatban, amikor megérkezik… az evaneszcens mennyiségek végső arányát meg kell érteni, a mennyiségek arányát nem eltűnésük előtt, nem utána, hanem azzal, amellyel eltűnnek”
Newton kifejlesztette fluxiós kalkulusát, hogy elkerülje a végtelen számok informális használatát számításaiban.,
LeibnizEdit
Leibniz: Nova methodus pro maximis et minimis, Acta Eruditorum, Leipzig, 1684.október. Leibniz első oldala a differenciálszámítás közzétételéről.
Grafikonok hivatkozott Leibniz’ cikke 1684
Míg Newton kezdett fejlesztése a fluxional számtan 1665-1666 a megállapítások nem vált széles körben elterjedt, míg később. A közbenső években Leibniz is igyekezett létrehozni kalkulusát., Összehasonlítva Newtonnal, aki korán jött a matematikába, Leibniz Érett értelemmel kezdte szigorú matematikai tanulmányait. Polihisztor volt, szellemi érdekei és eredményei a metafizika, a jog, a közgazdaságtan, a politika, a logika és a matematika voltak. Annak érdekében, hogy megértsük Leibniz érvelését kalkulusban, a hátterét szem előtt kell tartani. Különösen az ő metafizikája, amely az univerzumot Monadológiának írta le, és egy pontos formális logika létrehozásának terve, amelyben ” egy általános módszer, amelyben az OK minden igazságát egyfajta számításra redukálják.,”
1672-ben Leibniz találkozott Huygens matematikussal, aki meggyőzte Leibniz-t, hogy jelentős időt szenteljen a matematika tanulmányozásának. 1673-ban Pascal Traité des Sinus du Quarte Cercle-t olvasta, és nagyrészt autodidakta kutatásai során Leibniz azt mondta, hogy “a fény be van kapcsolva”. Newtonhoz hasonlóan Leibniz az érintőt is aránynak tekintette, de egyszerűen az ordinátok és az abszciszák közötti aránynak nyilvánította., Folytatta ezt az érvelést azzal érvelve, hogy az integrál valójában az abszcisszában végtelenített intervallumok ordinátáinak összege; valójában végtelen számú téglalap összege. Ezekből a definíciókból világossá vált az inverz kapcsolat vagy a differenciálmű, és Leibniz hamar felismerte, hogy egy teljesen új matematikai rendszert lehet létrehozni. Ahol Newton karrierje során számos megközelítést alkalmazott az infinitezimálokat használó megközelítés mellett, Leibniz ezt a jelölés és a kalkulus sarokkövévé tette.,
az 1675.október 25-től November 11-ig terjedő kéziratokban Leibniz különféle jelölési formákkal rögzítette felfedezéseit és kísérleteit. Tisztában volt az alkalmazott közjegyzői kifejezésekkel, és nyilvánvalóvá vált a pontos logikai szimbolizmus kialakítására vonatkozó korábbi tervei. Végül a Leibniz az abszciszák és a DX és dy ordináták végtelenített lépéseit, valamint a végtelenül sok végtelenül vékony téglalap összegzését jelölte hosszú s-ként ( ∫ ), amely a jelenlegi szerves szimbólummá vált ∫ {\displaystyle \ scriptstyle \ int } .,
míg Leibniz jelölését a modern matematika Használja, logikai alapja különbözött a jelenlegitől. Leibniz az infinitesimals-t is magáévá tette, és széles körben úgy írt, hogy ” ne legyen a végtelenül kicsi rejtély, ahogy Pascal is tette.”Gilles Deleuze szerint a Leibniz nullái” nem dolgok, de nem abszolút semmiségek, hanem semmi” (idézve Leibniz szövegét”az infinitezimálok számításának igazolása a rendes algebra kalkulusával”). Alternatív megoldásként úgy határozza meg őket, hogy “kevesebb, mint bármely adott mennyiség.,”Leibniz számára a világ végtelen pontokból állt össze,és a létezésük tudományos bizonyítékának hiánya nem zavarta őt. A Leibniz-ig terjedő infinitesimálok ideális mennyiségek voltak, amelyek más típusúak voltak, mint az észrevehető számok. A folytonosság igazságát maga a létezés bizonyította. Leibniz számára a folytonosság elve, így a kalkulus érvényessége biztosított volt. Háromszáz évvel Leibniz munkája után Abraham Robinson megmutatta, hogy a végtelen mennyiségek kiszámítása szilárd alapot adhat.,
LegacyEdit
a kalkulus felemelkedése a matematika egyedülálló pillanata. A kalkulus a mozgás és a változás matematikája, és mint ilyen, találmánya egy új matematikai rendszer létrehozását tette szükségessé. Fontos, hogy Newton és Leibniz nem ugyanazt a kalkulust alkották, és nem is gondoltak a modern kalkulusra. Míg mindketten részt vettek egy matematikai rendszer létrehozásának folyamatában a változó mennyiségek kezelésére, az elemi bázisuk más volt., Newton esetében a változás az idő múlásával változó mennyiség volt, Leibniz esetében pedig a végtelenül közeli értékek sorozata közötti különbség volt. Nevezetesen, a leíró kifejezések minden rendszer létre, hogy leírja a változás eltérő volt.
történelmileg sok vita volt arról, hogy Newton vagy Leibniz volt-e az, aki először “feltalálta” a kalkulust. Ez az érvelés, a Leibniz és Newton kalkulus vita, beleértve Leibniz, aki német, és az angol Newton, vezetett egy szakadék az Európai matematikai közösség tartó több mint egy évszázada., Leibniz volt az első, aki közzétette nyomozásait; azonban, jól megalapozott, hogy Newton néhány évvel Leibniz előtt kezdte munkáját, és már kidolgozta a tangensek elméletét, mire Leibniz érdeklődni kezdett a question.It nem ismert, hogy ez mennyire befolyásolta a Leibniz-t. Az első vádakat a századfordulón a két nagy tudós diákjai és támogatói fogalmazták meg, de 1711 után mindketten személyesen érintettek lettek, egymást plágiummal vádolva.,
a prioritási vita hatással volt az angol nyelvű matematikusok elválasztására a kontinentális Európában sok éven át. Csak az 1820-as években, az analitikai társadalom erőfeszítéseinek köszönhetően, a Leibnizian analitikus kalkulus Angliában elfogadásra került. Ma mind Newton, mind Leibniz hitelt kap a kalkulus alapjainak önálló fejlesztéséhez. Leibniz azonban az, aki jóváírja az új fegyelem megadását a mai napig ismert névnek:”kalkulus”. Newton neve ” a fluents and fluxions tudománya “volt.,
mind Newton, mind Leibniz munkája tükröződik a ma használt jelölésben. Newton bevezette az f {\displaystyle {\dot {F}}}}} jelölést egy f függvény deriváltjához. Leibniz bevezette az integrál ∫ {\displaystyle \int} szimbólumot, és megírta az X változó y függvényének deriváltját, mint d y d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}}}}, mindkettő még használatban van.
Leibniz és Newton idejétől kezdve számos matematikus hozzájárult a kalkulus folyamatos fejlődéséhez., Az egyik első és legteljesebb művet mind az infinitezimális, mind az integral kalkulusról Maria Gaetana Agnesi írta 1748-ban.
működési módszerekszerkesztés
Antoine Arbogast (1800) volt az első, aki elkülönítette a művelet szimbólumát a mennyiségtől egy differenciálegyenletben. Úgy tűnik, hogy Francois-Joseph Servois (1814) volt az első, aki helyes szabályokat adott a témában. Charles James Hargreave (1848) ezeket a módszereket alkalmazta a differenciálegyenletek memoárjában, George Boole pedig szabadon alkalmazta őket., Hermann Grassmann és Hermann Hankel nagy hasznát vette az elméletnek, előbbi az egyenletek tanulmányozásában, utóbbi a komplex számok elméletében.
variációk Számításaszerkesztés
a variációk számítása Johann Bernoulli (1696) problémájával kezdődik. Azonnal elfoglalta Jakob Bernoulli figyelmét, de Leonhard Euler először kidolgozta a témát. Közreműködése 1733-ban kezdődött, és az Elementa Calculi Variationum adta a tudománynak a nevét., Joseph Louis Lagrange nagymértékben hozzájárult az elmélethez, Adrien-Marie Legendre (1786) pedig olyan módszert határozott meg, amely nem teljesen kielégítő a maxima és a minima megkülönböztetésére. Ennek a megkülönböztetésnek Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Denis Poisson (1831), Mikhail Vasilievich Ostrogradsky (1834), valamint Carl Gustav Jakob Jacobi (1837) volt a közreműködők között. Fontos általános munkája Sarrus (1842), amelyet Augustin Louis Cauchy (1844) tömörített és javított., További értékes értekezéseket és emlékiratokat írt Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) és Carll (1885), de talán a század legfontosabb műve Karl Weierstrass műve. Az elméletről szóló kurzusa lehet az első, aki szilárd és szigorú alapokra helyezi a kalkulust.
