Biografia – Chi era Pascal
Blaise Pascal (1623-1662)
Il francese Blaise Pascal fu un importante scienziato, filosofo e matematico del xvii secolo. Come tanti grandi matematici, egli è stato un bambino prodigio e perseguito molte strade diverse di sforzo intellettuale per tutta la sua vita., Gran parte dei suoi primi lavori fu nel campo delle scienze naturali e applicate, e ha una legge fisica che porta il suo nome (che “la pressione esercitata ovunque in un liquido confinato viene trasmessa allo stesso modo e inalterata in tutte le direzioni in tutto il liquido”), così come l’unità internazionale per il meaurement della pressione. In filosofia, la scommessa di Pascals è il suo approccio pragmatico a credere in Dio sulla base del fatto che è una “scommessa” migliore che non farlo.
Ma Pascal era anche un matematico del primo ordine., All’età di sedici anni, scrisse un trattato significativo sul tema della geometria proiettiva, noto come Teorema di Pascal, in cui si afferma che, se un esagono è inscritto in un cerchio, allora i tre punti di intersezione dei lati opposti si trovano su una singola linea, chiamata linea di Pascal. Da giovane, ha costruito una macchina di calcolo funzionale, in grado di eseguire aggiunte e sottrazioni, per aiutare suo padre con i suoi calcoli fiscali.,
il Triangolo di Pascal
La tabella dei coefficienti binomiali conosciuta come il Triangolo di Pascal
Egli è meglio conosciuto, tuttavia, per il Triangolo di Pascal, un comodo presentazione delle tabelle dei coefficienti binomiali, in cui ogni numero è la somma dei due numeri direttamente sopra di esso. Un binomio è un semplice tipo di espressione algebrica che ha solo due termini operati solo da addizione, sottrazione, moltiplicazione e numeri interi positivi esponenti, come (x + y)2., I coefficienti prodotti quando un binomio viene espanso formano un triangolo simmetrico (vedi immagine a destra).
Pascal era lontano dal primo a studiare questo triangolo. Il matematico persiano Al-Karaji aveva prodotto qualcosa di molto simile già nel 10 ° secolo, e il triangolo è chiamato Triangolo di Yang Hui in Cina dopo il matematico cinese del 13 ° secolo, e il Triangolo di Tartaglia in Italia dopo l’omonimo 16 ° secolo italiano., Ma Pascal ha contribuito con una dimostrazione elegante definendo i numeri per ricorsione, e ha anche scoperto molti modelli utili e interessanti tra le righe, le colonne e le diagonali della matrice di numeri. Ad esempio, guardando le diagonali da sole, dopo la “pelle” esterna di 1, la diagonale successiva(1, 2, 3, 4, 5,…) è i numeri naturali in ordine. La diagonale successiva all’interno di quella (1, 3, 6, 10, 15,…) è i numeri triangolari in ordine. Il prossimo (1, 4, 10, 20, 35,…) sono i numeri triangolari piramidali, ecc., È anche possibile trovare numeri primi, numeri di Fibonacci, numeri catalani e molte altre serie, e persino trovare modelli frattali al suo interno.
Pascal ha anche fatto il salto concettuale per usare il Triangolo per aiutare a risolvere i problemi nella teoria della probabilità. Infatti, è stato attraverso la sua collaborazione e corrispondenza con il suo contemporaneo francese Pierre de Fermat e l’olandese Christiaan Huygens sul tema che la teoria matematica della probabilità è nato., Prima di Pascal, non esisteva una teoria reale della probabilità-nonostante l’esposizione iniziale di Gerolamo Cardano nel 16 ° secolo-semplicemente una comprensione (di sorta) di come calcolare le “probabilità” nei dadi e nei giochi di carte contando risultati altrettanto probabili. Alcuni apparentemente abbastanza elementare problemi di probabilità era sfuggito alcuni dei migliori matematici, o dato luogo a soluzioni errate.,
Toccò a Pascal (con l’aiuto di Fermat) riunire i fili separati delle conoscenze precedenti (incluso il primo lavoro di Cardano) e introdurre tecniche matematiche completamente nuove per la soluzione di problemi che fino ad allora avevano resistito alla soluzione., Due di questi problemi intransigenti a cui Pascal e Fermat si applicavano erano la Rovina del giocatore (determinare le possibilità di vincita per ciascuno dei due uomini che giocavano un particolare gioco di dadi con regole molto specifiche) e il Problema dei punti (determinare come le vincite di un gioco dovrebbero essere divise tra due giocatori ugualmente abili se il gioco fosse finito prematuramente). Il suo lavoro sul problema dei punti, in particolare, anche se inedito al momento, è stato molto influente nel dispiegarsi nuovo campo.,
Il Problema dei Punti
Fermat e Pascal soluzione al Problema dei Punti
Il Problema dei Punti nella sua forma più semplice può essere illustrato da un semplice gioco di “chi vince prende tutto”, che coinvolge il lancio di una moneta. Il primo dei due giocatori (ad esempio, Fermat e Pascal) per ottenere dieci punti o vittorie è quello di ricevere un piatto di 100 franchi. Ma, se il gioco viene interrotto nel punto in cui Fermat, per esempio, sta vincendo 8 punti a 7, come viene diviso il piatto da 100 franchi?, Fermat ha affermato che, poiché aveva bisogno solo di altri due punti per vincere la partita, e Pascal ne aveva bisogno di tre, il gioco sarebbe finito dopo altri quattro lanci della moneta (perché, se Pascal non ha ottenuto i 3 punti necessari per la vittoria sui quattro lanci, allora Fermat deve aver guadagnato i 2 punti necessari per la sua vittoria, e viceversa. Fermat elencò quindi esaurientemente i possibili risultati dei quattro lanci, e concluse che avrebbe vinto in 11 dei 16 possibili risultati, così suggerì che i 100 franchi fossero divisi 11⁄16 (0,6875) a lui e 5 Pascal 16 (0,3125) a Pascal.,
Pascal quindi cercò un modo di generalizzare il problema che evitasse la noiosa elencazione delle possibilità, e si rese conto che poteva usare le righe del suo triangolo di coefficienti per generare i numeri, indipendentemente da quanti lanci della moneta rimanessero. Fermat aveva bisogno di altri 2 punti per vincere la partita e Pascal ne aveva bisogno di 3, è andato alla quinta fila (2 + 3) del triangolo, cioè 1, 4, 6, 4, 1., I primi 3 termini aggiunti insieme (1 + 4 + 6 = 11) ha rappresentato i risultati in cui Fermat avrebbe vinto, e gli ultimi due termini (4 + 1 = 5) i risultati in cui Pascal avrebbe vinto, dal numero totale di risultati rappresentato dalla somma dell’intera riga (1 + 4 + 6 +4 +1 = 16).
Pascal e Fermat avevano colto attraverso la loro corrispondenza un concetto molto importante che, anche se forse intuitivo per noi oggi, era tutto, ma rivoluzionario nel 1654., Questa era l’idea di risultati altrettanto probabili, che la probabilità che qualcosa si verificasse potesse essere calcolata enumerando il numero di modi ugualmente probabili in cui potrebbe verificarsi e dividendo questo per il numero totale di possibili risultati della situazione data. Ciò ha permesso l’uso di frazioni e rapporti nel calcolo della probabilità degli eventi e l’operazione di moltiplicazione e addizione su queste probabilità frazionarie., Ad esempio, la probabilità di lanciare un 6 su un dado due volte è 1 6 6 x 1 6 6 = 1 3 36 (”e ” funziona come moltiplicazione); la probabilità di lanciare un 3 o un 6 è 1⁄6 + 1⁄6 = 1⁄3 (“o” funziona come aggiunta).
Più tardi, Pascal e sua sorella Jacqueline si identificarono fortemente con l’estremo movimento religioso cattolico del giansenismo. Dopo la morte del padre e una “esperienza mistica” alla fine del 1654, ebbe la sua “seconda conversione” e abbandonò completamente il suo lavoro scientifico, dedicandosi alla filosofia e alla teologia., Le sue due opere più famose, le” Lettres provinciales “e le” Pensées”, risalgono a questo periodo, quest’ultimo lasciato incompleto alla sua morte nel 1662. Essi rimangono lascito più noto di Pascal, e di solito è ricordato oggi come uno dei più importanti autori del periodo classico francese e uno dei più grandi maestri della prosa francese, molto più che per i suoi contributi alla matematica.,
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