Dopo aver esaminato le caratteristiche dei contratti di opzioni, ora possiamo passare al calcolo del valore delle opzioni call.
Nei primi anni 1970, Myron Scholes, Robert Merton e Fisher Black fecero un importante passo avanti nel pricing di strumenti finanziari complessi sviluppando quello che è diventato noto come il modello Black-Scholes. Questo modello viene utilizzato per determinare il valore di un’opzione call.,
Il modello rende alcune ipotesi per quanto riguarda l’opzione call, che:
- azione sottostante non paga dividendi durante la opzione di vita;
- Il contratto di opzioni per essere il suo prezzo è in stile Europeo opzione call;
- i Mercati sono efficienti;
- non Ci sono commissioni nell’operazione;
- i tassi di Interesse sono assunti costanti;
- Restituisce delle attività sottostanti seguire una distribuzione lognormale.,ompounded tasso di interesse per un periodo di tempo)
\(t\) è il tempo in anni, fino alla scadenza dell’opzione
\(\sigma\) è una misura della volatilità annuale dell’azione sottostante, che è spesso misurata dalla deviazione standard dei rendimenti (che compare nell’equazione come la volatilità al quadrato)
\N(d)\) si riferisce alla probabilità che un valore inferiore a “\(d\)” si verificherà in una distribuzione normale standard
\(e^{rt}\) è il fattore di sconto (\(e\) = la base dei logaritmi naturali, vale a dire, 2.,7183)
\(ln\) = logaritmo naturale
Il modello viene utilizzato per trovare il valore corrente di un’opzione call il cui valore finale dipende dal prezzo del titolo alla data di scadenza. Poiché il prezzo delle azioni continua a cambiare, anche il valore di questa opzione call cambierà. Pertanto, se vogliamo negoziare questo contratto di opzione, dobbiamo utilizzare alcune probabilità per stimare quali valori attesi sono coinvolti nell’opzione call oggi., Dobbiamo pensare al valore che possiamo aspettarci di ottenere acquistando questa opzione e cosa pagheremo se esercitiamo l’opzione.
Poiché il modello di prezzo delle opzioni di Black-Scholes presuppone che i rendimenti dell’attività sottostante siano normalmente distribuiti, possiamo utilizzare la tabella statistica di distribuzione normale standard per scoprire la probabilità che si verifichi un evento, e in questo caso l’evento è che eserciteremo l’opzione.,
guardiamo il modello di Black-Scholes con più attenzione:
\
\N(d_2)\) è la probabilità che la chiamata verrà esercitata, in modo che \(\left(\frac{E}{e^{rt}}\right)\) \(N(d_2)\) è quello che si aspettano di pagare se si esercita l’opzione, attualizzati ad oggi.
E cosa otterrai se eserciti l’opzione?, Ciò dipenderà dal prezzo delle azioni alla data di scadenza (che sappiamo sarà superiore al prezzo di esercizio se si sceglie di esercitare l’opzione) e da ciò che abbiamo assunto sulla distribuzione dei prezzi delle azioni. Nell’equazione \(SN (d_1)\) è ciò che ci si può aspettare di ricevere dalla vendita del titolo, se l’opzione è stata esercitata, anche scontato ad oggi.,
\(d_1\) e \(d_2\) dipendono dalle ipotesi che abbiamo fatto su come il prezzo delle azioni si evolve nel corso del tempo, gli elementi del contratto di opzione (il prezzo delle azioni, prezzo di esercizio e la scadenza) e gli altri ingressi – il tasso privo di rischio e la volatilità dei rendimenti (si vedano le definizioni di \(d_1\) e \(d_2\), rispettivamente). Le probabilità nel modello Black-Scholes sono funzioni di \(d_1\) e \(d_2\).,
Se conosci \(d_1\) e \(d_2\), puoi scoprire quali sono \(N(d_1)\) e \(N(d_2)\) dalla tabella di distribuzione normale standard (queste sono le probabilità corrispondenti all’osservazione di valori inferiori a \(d_1\) e \(d_2\), rispettivamente). Con queste probabilità è possibile utilizzare il modello Black-Scholes per ottenere il valore dell’opzione, \(C\).
