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AncientEdit

Il periodo antico, introdotto alcune idee che hanno portato al calcolo integrale, ma non sembrano aver sviluppato queste idee in modo rigoroso e sistematico. I calcoli di volumi e aree, uno degli obiettivi del calcolo integrale, possono essere trovati nel papiro egiziano di Mosca (c., 1820 AC), ma le formule sono date solo per numeri concreti, alcuni sono solo approssimativamente veri e non sono derivati dal ragionamento deduttivo. I babilonesi potrebbero aver scoperto la regola trapezoidale mentre facevano osservazioni astronomiche di Giove.

Dall’età della matematica greca, Eudosso (c. 408-355 AC) utilizzato il metodo di esaurimento, che prefigura il concetto di limite, per calcolare aree e volumi, mentre Archimede (c. 287-212 AC) sviluppato questa idea ulteriormente, inventando euristiche che assomigliano ai metodi di calcolo integrale., I matematici greci sono anche accreditati con un uso significativo di infinitesimi. Democrito è la prima persona registrata a considerare seriamente la divisione degli oggetti in un numero infinito di sezioni trasversali, ma la sua incapacità di razionalizzare sezioni trasversali discrete con la pendenza liscia di un cono gli ha impedito di accettare l’idea. All’incirca nello stesso periodo, Zenone di Elea screditò ulteriormente gli infinitesimi con la sua articolazione dei paradossi che essi creano.,

Archimede sviluppò ulteriormente questo metodo, inventando anche metodi euristici che assomigliano un po ‘ ai concetti moderni nella sua Quadratura della Parabola, Nel Metodo e nella Sfera e nel Cilindro. Non si dovrebbe pensare che gli infinitesimi siano stati messi su un piano rigoroso durante questo periodo, tuttavia. Solo quando è stato integrato da una corretta geometrica prova sarebbe greco matematici accettare una proposizione come vero., Non è stato fino al 17 ° secolo che il metodo è stato formalizzato da Cavalieri come il metodo di indivisibili e, infine, incorporato da Newton in un quadro generale di calcolo integrale. Archimede fu il primo a trovare la tangente a una curva diversa da un cerchio, in un metodo simile al calcolo differenziale. Mentre studiava la spirale, separò il moto di un punto in due componenti, una componente di movimento radiale e una componente di movimento circolare, e poi continuò ad aggiungere i due movimenti componenti insieme, trovando così la tangente alla curva., I pionieri del calcolo come Isaac Barrow e Johann Bernoulli erano diligenti studenti di Archimede; vedi per esempio CS Roero (1983).

Il metodo di esaurimento è stato reinventato in Cina da Liu Hui nel iv secolo DC per trovare l’area di un cerchio. Nel v secolo, Zu Chongzhi stabilì un metodo che in seguito sarebbe stato chiamato principio dei Cavalieri per trovare il volume di una sfera.

MedievalEdit

Nel Medio Oriente islamico, il matematico arabo dell’xi secolo Ibn al-Haytham (Alhazen) derivò una formula per la somma delle quarte potenze., Usò i risultati per realizzare quella che ora sarebbe chiamata un’integrazione, dove le formule per le somme dei quadrati integrali e delle quarte potenze gli permettevano di calcolare il volume di un paraboloide. Nel 12 ° secolo, il matematico persiano Sharaf al-Dīn al-Tūsī scoprì la derivata dei polinomi cubici. Il suo Trattato sulle equazioni ha sviluppato concetti relativi al calcolo differenziale, come la funzione derivata e i massimi e minimi delle curve, al fine di risolvere equazioni cubiche che potrebbero non avere soluzioni positive.,

Alcune idee sul calcolo in seguito apparvero nella matematica indiana, presso la Kerala school of astronomy and mathematics. Madhava di Sangamagrama nel 14 ° secolo, e più tardi matematici della scuola del Kerala, ha dichiarato componenti di calcolo come la serie di Taylor e serie infinita approssimazioni. Tuttavia, non erano in grado di combinare molte idee diverse sotto i due temi unificanti della derivata e dell’integrale, mostrare la connessione tra i due e trasformare il calcolo nel potente strumento di risoluzione dei problemi che abbiamo oggi.,

Lo studio matematico della continuità è stato ripreso nel 14 ° secolo dai calcolatori di Oxford e collaboratori francesi come Nicole Oresme. Hanno dimostrato il “teorema della velocità media di Merton”: che un corpo uniformemente accelerato percorre la stessa distanza di un corpo con velocità uniforme la cui velocità è metà della velocità finale del corpo accelerato.

Early ModernEdit

Nel 17 ° secolo, i matematici europei Isaac Barrow, René Descartes, Pierre de Fermat, Blaise Pascal, John Wallis e altri hanno discusso l’idea di un derivato., In particolare, in Methodus ad disquirendam maximam et minimi e in De tangentibus linearum curvarum, Fermat ha sviluppato un metodo di adegualità per determinare massimi, minimi e tangenti a varie curve che era strettamente correlato alla differenziazione. Isaac Newton avrebbe poi scritto che le sue prime idee sul calcolo provenivano direttamente dal ” modo di Fermat di disegnare tangenti.,”

Sul lato integrale, Cavalieri sviluppò il suo metodo degli indivisibili negli anni 1630 e 1640, fornendo una forma più moderna dell’antico metodo greco di esaurimento, e calcolando la formula della quadratura di Cavalieri, l’area sotto le curve xn di grado superiore, che in precedenza era stata calcolata solo per la parabola, da Archimede. Torricelli estese questo lavoro ad altre curve come la cicloide, e poi la formula fu generalizzata a potenze frazionarie e negative da Wallis nel 1656., In un trattato del 1659, Fermat è accreditato con un ingegnoso trucco per valutare direttamente l’integrale di qualsiasi funzione di potenza. Fermat ha anche ottenuto una tecnica per trovare i centri di gravità di varie figure piane e solide, che ha influenzato ulteriori lavori in quadratura. James Gregory, influenzato dai contributi di Fermat sia alla tangenza che alla quadratura, fu quindi in grado di dimostrare una versione limitata del secondo teorema fondamentale del calcolo a metà del 17 ° secolo. La prima prova completa del teorema fondamentale del calcolo è stata data da Isaac Barrow.:p.,61 quando arco ME ~ arco NH al punto di tangenza F fig.26

La prima dimostrazione del teorema di Rolle fu data da Michel Rolle nel 1691 usando metodi sviluppati dal matematico olandese Johann van Waveren Hudde., Il teorema del valore medio nella sua forma moderna è stato affermato da Bernard Bolzano e Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) anche dopo la fondazione del calcolo moderno. Importanti contributi sono stati fatti anche da Barrow, Huygens, e molti altri.

Newton e LeibnizEdit

Prima di Newton e Leibniz, la parola “calcolo” si riferiva a qualsiasi corpo di matematica, ma negli anni successivi, “calcolo” divenne un termine popolare per un campo di matematica basato sulle loro intuizioni., Newton e Leibniz, basandosi su questo lavoro, svilupparono indipendentemente la teoria circostante del calcolo infinitesimale alla fine del 17 ° secolo. Inoltre, Leibniz ha fatto una grande quantità di lavoro con lo sviluppo di notazione e concetti coerenti e utili. Newton ha fornito alcune delle più importanti applicazioni alla fisica, in particolare del calcolo integrale. Lo scopo di questa sezione è quello di esaminare le indagini di Newton e Leibniz nel campo in via di sviluppo del calcolo infinitesimale., Un’importanza specifica sarà data alla giustificazione e ai termini descrittivi che hanno usato nel tentativo di comprendere il calcolo come lo hanno concepito loro stessi.

Entro la metà del 17 ° secolo, la matematica europea aveva cambiato il suo repository primario di conoscenza. Rispetto al secolo scorso, che ha mantenuto la matematica ellenistica come punto di partenza per la ricerca, Newton, Leibniz ei loro contemporanei sempre più guardato verso le opere di pensatori più moderni., L’Europa era diventata sede di una fiorente comunità matematica e con l’avvento di una maggiore basi istituzionali e organizzative un nuovo livello di organizzazione e di integrazione accademica è stato raggiunto. È importante sottolineare, tuttavia, la comunità mancava di formalismo; invece consisteva in una massa disordinata di vari metodi, tecniche, notazioni, teorie e paradossi.

Newton è venuto al calcolo come parte delle sue indagini in fisica e geometria. Egli ha visto il calcolo come la descrizione scientifica della generazione di moto e grandezze., In confronto, Leibniz si concentrò sul problema della tangente e arrivò a credere che il calcolo fosse una spiegazione metafisica del cambiamento. È importante sottolineare che il nucleo della loro intuizione era la formalizzazione delle proprietà inverse tra l’integrale e il differenziale di una funzione. Questa intuizione era stata anticipata dai loro predecessori, ma furono i primi a concepire il calcolo come un sistema in cui venivano creati nuovi termini retorici e descrittivi., Le loro scoperte uniche giacevano non solo nella loro immaginazione, ma anche nella loro capacità di sintetizzare le intuizioni che li circondavano in un processo algoritmico universale, formando così un nuovo sistema matematico.

NewtonEdit

Newton completò nessuna pubblicazione definitiva formalizzando il suo calcolo fluxionale; piuttosto, molte delle sue scoperte matematiche furono trasmesse attraverso la corrispondenza, documenti più piccoli o come aspetti incorporati nelle sue altre compilazioni definitive, come i Principia e gli Opticks., Newton avrebbe iniziato la sua formazione matematica come erede scelto di Isaac Barrow a Cambridge. La sua attitudine è stata riconosciuta presto e ha imparato rapidamente le teorie attuali. Nel 1664 Newton aveva dato il suo primo importante contributo avanzando il teorema binomiale, che aveva esteso per includere esponenti frazionari e negativi. Newton riuscì ad espandere l’applicabilità del teorema binomiale applicando l’algebra delle quantità finite in un’analisi di serie infinite., Ha mostrato la volontà di vedere le serie infinite non solo come dispositivi approssimativi, ma anche come forme alternative di espressione di un termine.

Molte delle intuizioni critiche di Newton si verificarono durante gli anni della peste del 1665-1666 che in seguito descrisse come “il primo della mia età per invenzione e mentalità matematica e filosofia più che in qualsiasi momento da allora.”Fu durante il suo isolamento indotto dalla peste che la prima concezione scritta del calcolo fluxionario fu registrata nell’inedito De Analysis per Aequationes Numero Terminorum Infinitas., In questo articolo, Newton ha determinato l’area sotto una curva calcolando prima un tasso di variazione momentaneo e quindi estrapolando l’area totale. Ha iniziato ragionando su un triangolo indefinitamente piccolo la cui area è una funzione di x e y. Ha quindi ragionato che l’aumento infinitesimale dell’ascissa creerà una nuova formula dove x = x + o (importante, o è la lettera, non la cifra 0). Ha poi ricalcolato l’area con l’aiuto del teorema binomiale, rimosso tutte le quantità contenenti la lettera o e ri-formata un’espressione algebrica per l’area., Significativamente, Newton avrebbe quindi “cancellato” le quantità contenenti o perché i termini “moltiplicati per esso non saranno nulla rispetto al resto”.

A questo punto Newton aveva iniziato a realizzare la proprietà centrale dell’inversione. Aveva creato un’espressione per l’area sotto una curva considerando un aumento momentaneo in un punto. In effetti, il teorema fondamentale del calcolo è stato costruito nei suoi calcoli. Mentre la sua nuova formulazione offriva un potenziale incredibile, Newton era ben consapevole dei suoi limiti logici all’epoca., Egli ammette che “gli errori non devono essere ignorati in matematica, non importa quanto piccolo” e che quello che aveva raggiunto è stato ” poco spiegato piuttosto che accuratamente dimostrato.”

Nel tentativo di dare al calcolo una spiegazione e un quadro più rigorosi, Newton compilò nel 1671 il Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum. In questo libro, il rigoroso empirismo di Newton ha modellato e definito il suo calcolo fluxionale. Ha sfruttato il movimento istantaneo e gli infinitesimi in modo informale. Ha usato la matematica come strumento metodologico per spiegare il mondo fisico., La base del calcolo rivisto di Newton divenne la continuità; come tale ridefinì i suoi calcoli in termini di movimento continuo che scorre. Per Newton, le grandezze variabili non sono aggregati di elementi infinitesimali, ma sono generate dal fatto indiscutibile del moto. Come per molte delle sue opere, Newton ritardò la pubblicazione. Methodus Fluxionum non fu pubblicato fino al 1736.

Newton tentò di evitare l’uso dell’infinitesimo formando calcoli basati sui rapporti delle modifiche., Nel Methodus Fluxionum ha definito il tasso di cambiamento generato come un fluxion, che ha rappresentato da una lettera punteggiata, e la quantità generata ha definito come un fluente. Ad esempio, se x {\displaystyle {x}} e y {\displaystyle {y}} sono fluenti, allora x {\displaystyle {\dot {x}}} e y {\displaystyle {\dot {y}}} sono i rispettivi flussi., Questa revisione calcolo dei rapporti ha continuato ad essere sviluppato ed è stato maturamente dichiarato nel 1676 text De Quadratura Curvarum dove Newton è venuto a definire il presente giorno derivato come il rapporto ultimo di cambiamento, che ha definito come il rapporto tra incrementi evanescenti (il rapporto di flussi) puramente al momento in questione. Essenzialmente, il rapporto finale è il rapporto come gli incrementi svaniscono nel nulla., È importante sottolineare che Newton spiegò l’esistenza del rapporto ultimo facendo appello al movimento;

“Per la velocità ultima si intende che, con cui il corpo viene mosso, né prima che arrivi al suo ultimo posto, quando il movimento cessa né dopo, ma nell’istante stesso in cui arriva… il rapporto finale delle quantità evanescenti è da intendersi, il rapporto delle quantità non prima che svaniscano, non dopo, ma con cui svaniscono ”

Newton sviluppò il suo calcolo fluxionale nel tentativo di eludere l’uso informale degli infinitesimi nei suoi calcoli.,

LeibnizEdit

Mentre Newton iniziò lo sviluppo del suo calcolo fluxionale nel 1665-1666 le sue scoperte non divennero ampiamente diffuse fino a tardi. Negli anni successivi Leibniz anche cercato di creare il suo calcolo., In confronto a Newton che è venuto a matematica in tenera età, Leibniz ha iniziato i suoi rigorosi studi di matematica con un intelletto maturo. Era un polimatico, e i suoi interessi intellettuali e le realizzazioni coinvolti metafisica, legge, economia, politica, logica, e la matematica. Per comprendere il ragionamento di Leibniz nel calcolo, il suo background dovrebbe essere tenuto a mente. In particolare, la sua metafisica che descriveva l’universo come una monadologia, e i suoi piani di creare una precisa logica formale per cui, “un metodo generale in cui tutte le verità della ragione sarebbero ridotte a una sorta di calcolo.,

Nel 1672, Leibniz incontrò il matematico Huygens che convinse Leibniz a dedicare un tempo significativo allo studio della matematica. Nel 1673 aveva progredito alla lettura di Pascal Traité des Sinus du Quarte Cercle ed è stato durante la sua ricerca in gran parte autodidatta che Leibniz ha detto “una luce accesa”. Come Newton, Leibniz vide la tangente come un rapporto ma la dichiarò semplicemente come il rapporto tra ordinate e ascisse., Continuò questo ragionamento per sostenere che l’integrale era in realtà la somma delle ordinate per intervalli infinitesimali nell’ascissa; in effetti, la somma di un numero infinito di rettangoli. Da queste definizioni la relazione inversa o differenziale divenne chiara e Leibniz realizzò rapidamente il potenziale per formare un intero nuovo sistema di matematica. Dove Newton nel corso della sua carriera ha utilizzato diversi approcci in aggiunta ad un approccio utilizzando infinitesimi, Leibniz ha fatto questo la pietra angolare della sua notazione e calcolo.,

Nei manoscritti del 25 ottobre-11 novembre 1675, Leibniz ha registrato le sue scoperte ed esperimenti con varie forme di notazione. Era acutamente consapevole dei termini notazionali utilizzati e dei suoi piani precedenti per formare un preciso simbolismo logico divenne evidente. Alla fine, Leibniz denotò gli incrementi infinitesimali delle ascisse e delle ordinate dx e dy, e la somma di infinitamente molti rettangoli infinitesimalmente sottili come un lungo s ( ∫ ), che divenne l’attuale simbolo integrale ∫ {\displaystyle \scriptstyle \int } .,

Mentre la notazione di Leibniz è usata dalla matematica moderna, la sua base logica era diversa da quella attuale. Leibniz abbracciò gli infinitesimi e scrisse ampiamente in modo da ” non fare dell’infinitamente piccolo un mistero, come aveva Pascal.”Secondo Gilles Deleuze, gli zeri di Leibniz “sono il nulla, ma non sono il nulla assoluto, sono rispettivamente il nulla” (citando il testo di Leibniz “Giustificazione del calcolo degli infinitesimi mediante il calcolo dell’algebra ordinaria”). In alternativa, li definisce come, ” meno di qualsiasi quantità data.,” Per Leibniz, il mondo era un aggregato di punti infinitesimali e la mancanza di prove scientifiche per la loro esistenza non lo turbava. Infinitesimi a Leibniz erano quantità ideali di un tipo diverso da numeri apprezzabili. La verità della continuità è stata dimostrata dall’esistenza stessa. Per Leibniz il principio di continuità e quindi la validità del suo calcolo è stato assicurato. Trecento anni dopo il lavoro di Leibniz, Abraham Robinson ha dimostrato che l’utilizzo di quantità infinitesimali nel calcolo potrebbe essere data una solida base.,

LegacyEdit

L’ascesa del calcolo si distingue come un momento unico in matematica. Il calcolo è la matematica del movimento e del cambiamento, e come tale, la sua invenzione ha richiesto la creazione di un nuovo sistema matematico. È importante sottolineare che Newton e Leibniz non hanno creato lo stesso calcolo e non hanno concepito il calcolo moderno. Mentre erano entrambi coinvolti nel processo di creazione di un sistema matematico per gestire quantità variabili, la loro base elementare era diversa., Per Newton, il cambiamento era una quantità variabile nel tempo e per Leibniz era la differenza che variava su una sequenza di valori infinitamente vicini. In particolare, i termini descrittivi creati da ciascun sistema per descrivere il cambiamento erano diversi.

Storicamente, c’è stato molto dibattito sul fatto che sia stato Newton o Leibniz a “inventare” il calcolo. Questo argomento, il Leibniz e Newton calcolo polemica, che coinvolge Leibniz, che era tedesco, e l’inglese Newton, ha portato ad una spaccatura nella comunità matematica europea della durata di oltre un secolo., Leibniz è stato il primo a pubblicare le sue indagini; tuttavia, è ben stabilito che Newton aveva iniziato il suo lavoro diversi anni prima di Leibniz e aveva già sviluppato una teoria delle tangenti per il momento Leibniz si interessò al question.It non è noto quanto questo possa aver influenzato Leibniz. Le accuse iniziali furono fatte da studenti e sostenitori dei due grandi scienziati all’inizio del secolo, ma dopo il 1711 entrambi furono coinvolti personalmente, accusandosi a vicenda di plagio.,

La controversia prioritaria ha avuto un effetto di separare i matematici di lingua inglese da quelli dell’Europa continentale per molti anni. Solo nel 1820, grazie agli sforzi della Società Analitica, il calcolo analitico Leibniziano divenne accettato in Inghilterra. Oggi, sia Newton che Leibniz hanno il merito di sviluppare in modo indipendente le basi del calcolo. È Leibniz, tuttavia, che è accreditato di dare alla nuova disciplina il nome che è conosciuto da oggi: “calcolo”. Il nome di Newton per esso era “la scienza dei fluenti e dei flussi”.,

Il lavoro di Newton e Leibniz si riflette nella notazione usata oggi. Newton introdusse la notazione f {\displaystyle {\dot {f}}} per la derivata di una funzione f. Leibniz introdusse il simbolo ∫ {\displaystyle\int } per l’integrale e scrisse la derivata di una funzione y della variabile x come d y d x {\displaystyle {\frac{dy} {dx}}} , entrambe ancora in uso.

Fin dai tempi di Leibniz e Newton, molti matematici hanno contribuito al continuo sviluppo del calcolo., Una delle prime e più complete opere sul calcolo infinitesimale e integrale fu scritta nel 1748 da Maria Gaetana Agnesi.

Metodi operativimodifica

Antoine Arbogast (1800) fu il primo a separare il simbolo dell’operazione da quello della quantità in un’equazione differenziale. Francois-Joseph Servois (1814) sembra essere stato il primo a dare regole corrette in materia. Charles James Hargreave (1848) applicò questi metodi nel suo libro di memorie sulle equazioni differenziali, e George Boole li impiegò liberamente., Hermann Grassmann e Hermann Hankel fatto grande uso della teoria, il primo nello studio di equazioni, il secondo nella sua teoria dei numeri complessi.

Calcolo delle variazionimodifica

Si può dire che il calcolo delle variazioni inizi con un problema di Johann Bernoulli (1696). Ha immediatamente occupato l’attenzione di Jakob Bernoulli, ma Leonhard Eulero prima elaborato il soggetto. I suoi contributi iniziarono nel 1733, e la sua Elementa Calculi Variationum diede alla scienza il suo nome., Joseph Louis Lagrange ha contribuito ampiamente alla teoria, e Adrien-Marie Legendre (1786) ha stabilito un metodo, non del tutto soddisfacente, per la discriminazione dei massimi e minimi. A questa discriminazione Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Denis Poisson (1831), Mikhail Vasilievich Ostrogradsky (1834) e Carl Gustav Jakob Jacobi (1837) sono stati tra i contributori. Un importante lavoro generale è quello di Sarrus (1842) che è stato condensato e migliorato da Augustin Louis Cauchy (1844)., Altri preziosi trattati e memorie sono state scritte da Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858), e Carll (1885), ma forse il lavoro più importante del secolo è quella di Karl Weierstrass. Il suo corso sulla teoria può essere affermato di essere il primo a mettere il calcolo su una solida e rigorosa fondazione.