La sfera ha due lati. Un insetto può essere intrappolato all’interno di una forma sferica o strisciare liberamente sulla sua superficie visibile. Un sottile foglio di carta sdraiato su una scrivania ha anche due lati. Le pagine di un libro sono solitamente numerate due per un foglio di carta. La prima superficie unilaterale fu scoperta da A. F. Möbius (1790-1868) e porta il suo nome: striscia di Möbius. A volte si chiama alternativamente Möbius band. (In verità, la superficie è stata descritta indipendentemente e prima di due mesi da un altro matematico tedesco JB Listing.) La striscia è stata immortalata da M. C., Escher (1898-1972).
Per ottenere una striscia di Möbius, iniziare con una striscia di carta. Twist un’estremità 180o (mezzo giro) e incollare le estremità insieme (il file avi prende 267264 byte). Per confronto, se si incollano le estremità senza torcere il risultato sembrerebbe un cilindro o un anello a seconda della larghezza della striscia. Prova a tagliare la striscia lungo la linea mediana. Le persone che non conoscono la Topologia raramente indovinano correttamente quale sarebbe il risultato. È anche interessante tagliare la striscia 1/3 della strada su un bordo. Provare.,
Ho messo insieme un breve (155648 byte) filmato avi di una striscia Möbius torsione. (Quando si arriva alla pagina del filmato fare clic sul fotogramma per avviare il filmato.)
Ora, una volta che conosci il trucco, sicuramente ti piacerebbe trovare altre superfici unilaterali. Prima di incollare le estremità insieme è possibile ruotare la striscia due volte o anche tre volte. Ottieni una superficie unilaterale o bilaterale?,
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P.S.
There is an additional page with an interactive Java illustration that lets one “see through” the strip in more than one sense., E, naturalmente, ci sono altre pagine dedicate alla striscia di Möbius disponibili su Internet. Uno merita una menzione speciale. Richard Marsden (la cui pagina è scomparsa dal Web) è riuscito a produrre una versione VRML della striscia. Mi è piaciuto ruotare la striscia in questo modo e in quel modo. Non so perché, ma il seguente passaggio di Art Buchwald dal retro di copertina di The Funniest Man in the World di Ephraim Kishon mi è venuto in mente:
Ephraim Kishon è il secondo umorista più divertente che conosca… Lui è divertente e lo odio.,
Come è fatto
Discuterò solo qui la matematica che è andata nel film di creazione della striscia di Möbius.
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Tutto inizia con un’osservazione che ho raccolto navigando sulle pagine di MathSoft. Per un intervallo fisso di valori di t, considera le curve
x(t) = Rsin(t/R), y(t) = R(1 – cos(t/R)),
parametrizzate da R. Ognuna di esse è un pezzo del cerchio
x(t)2 + (y(t) – R)2 = R2.,
Per grandi R (e un intervallo fisso di t), tale pezzo è piccolo rispetto alle dimensioni dei cerchi e, quindi, sembra quasi un segmento di linea retta. Per piccoli valori di R (vicino a 1), il pezzo è più vicino a un cerchio completo.
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Quando i pezzi vengono mostrati uno alla volta per una sequenza decrescente di R, i fotogrammi creano l’impressione di un segmento che viene piegato in un cerchio. Per generare il filmato, ho usato 21 fotogrammi numerati da 0 a 20, con il raggio che cambia secondo la formula
R(k) = 21 / (k + 1),
dove k è un numero di fotogramma.,
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Creare una striscia di Möbius è un affare tridimensionale. Pertanto, oltre alle coordinate x (orizzontale) e y (verticale), abbiamo anche bisogno di una coordinata z. Pensa a quella coordinata come diretta perpendicolare allo schermo. Per il segmento iniziale, che è più simile a un pezzo di una linea retta che a un arco circolare, ho preso z = const per la lunghezza del segmento. Il segmento diventa un rettangolo – una “banda” – da piegare in una striscia di Möbius., Il rettangolo ha due lati: il segmento originale, che di seguito viene indicato come “il segmento (xy)”, e il lato perpendicolare, indicato come “segmento z”.”
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Mentre il segmento (xy) si piega in un cerchio, il segmento z ruota nel piano (yz). Ho discusso la rotazione di un piano sulle mie pagine cicloidi. Un avvertimento è comunque in ordine. Per creare una striscia di Möbius, dobbiamo ruotare l’intero rettangolo, non solo le sue estremità Z., Tuttavia, diverse porzioni del rettangolo dovrebbero ruotare a velocità diverse-l’estremità che ruota più velocemente mentre il centro della striscia dovrebbenon muoversi affatto. Quindi uso la quantità
w = (t – tmiddle)2
come velocità angolare per il segmento z in punti diversi sul segmento piegato (xy). La quantità è quasi 0 per i punti vicini al centro della striscia.
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Infine, le due estremità della striscia dovrebbero ruotare nelle direzioni opposte. In modo che inoltre la matrice di rotazione dovesse essere moltiplicata per il segno
(t-tmiddle).
Questo è tutto., Un’applicazione molto pratica di un po ‘ di trigonometria e geometria analitica. C’è un altro film di creazione, 303104 byte. Mostra la vista frontale della striscia di torsione.
Una lettera di Alexander Grässer descrive ulteriori attività di taglio (ma ora anche di incollaggio). È possibile incollare insieme due bande di carta, siano questi cilindri o strisce di moebius. Anche nel caso di due cilindri il risultato sorprenderà la maggior parte dei genitori, per non parlare dei loro figli.
Il mio logo è anche una superficie unilaterale.,
Riferimento
- S. Barr, Experiments In Topology, Dover Publications, NY, 1989
- R. Courant and H. Robbins, What è la matematica? Nel 1996, la scuola di matematica di Oxford University Press, 1996
- K. Devlin, Mathematics: The Science of Patterns, Scientific American Library, 1997
- D. Hilbert e S. Cohn-Vossen, Geometry and Imagination, Chelsea Publishing Co, NY 1990.
- C. A. Pickover, La striscia di Mobius: Dr., La meravigliosa band di August Mobius in Matematica, giochi, letteratura, arte, tecnologia e cosmologia, Thunder’s Mouth Press, 2006
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