それはすべてGracie Cunninghamという高校生によって投稿された無害なTikTokビデオから始まりました。 カメラに話しながらメイクアップを適用し、ティーンエイジャーは数学が”本物であるかどうか疑問”彼女は付け加えた：”私たちはすべて学校でそれを学ぶので、私はそれが本当だ知っています。.. しかし、誰がこの概念を思いついた？”ピタゴラス、彼女はミューズ、”配管さえ持っていなかった—と彼は、”私はy=mx+bについて心配してみましょう”のようだった”—二次元平面上の直線を記述する方程式を参照してください。 ねもすべてから取りました。, “私は加算を得る”と彼女は言った、”しかし、どのようにあなたは代数の概念を思い付くだろうか？ あなたは何のためにそれが必要ですか？”
誰かがTwitterにビデオを再投稿し、すぐにウイルスになりました。 コメントの多くは不親切だった：ある人はそれが彼らが今まで見た”愚かなビデオ”だったと述べ、他の人はそれが失敗した教育システムを示していた 一方、他の人たちは、カニンガムの防衛に来て、彼女の質問は実際にはかなり深いと言った。
@gracie.,ham
このビデオは私の頭の中で理にかなっていますが、なぜ私たちはこのようなものを作成したのかのように
►original sound-gracie
コーネル大学とウィスコンシン大学の数学者は、イギリスのダラム大学の哲学者フィリップ-ゴフと同様に、シカゴ美術館の科学者ユージニア-チェンは、二ページの返信を書いて、カニンガムは数学の性質について深い質問を提起したと述べた。深くプロービング方法。,”
カニンガムは無意識のうちに科学哲学における非常に古代と未解決の議論を再点火していました。 正確には数学とは何ですか？ それは発明されたのか、発見されたのか？ そして、数学者が扱うもの—数字、代数方程式、幾何学、定理など—本当ですか？
一部の学者は、数学的真理が発見されるのを待っている”そこに”あることを非常に強く感じています—プラトン主義として知られている立場。, その名は古代ギリシャの思想家プラトンから取られており、数学的真理は物理的な世界ではなく、むしろ不変の完璧さの非物理的な領域に住んでいると想像していました。 ロジャー-ペンローズ、有名な英国の数理物理学者は、忠実なプラトニストです。 皇帝の新しい心の中で、彼は”これらの数学的概念についていくつかの深遠な現実があるように見え、特定の数学者の精神的審議をかなり超えているように見えると書いています。, それは、人間の思考が、代わりに、いくつかの外部の真実—それ自身の現実を持っている真実に向かって導かれているかのようです。..”
多くの数学者はこの見解を支持しているようです。 彼らが何世紀にもわたって発見したもの—最高の素数がないこと、二つの平方根は不合理な数であること、小数として表現された数piは永遠に続くこと、それらを見つけた心とは無関係に永遠の真実であるように見えます。, 私たちがある日、別の銀河からの知的なエイリアンに遭遇した場合、彼らは私たちの言語や文化を共有しないだろうが、プラトニストは主張するだろう、彼らは非常によくこれらの同じ数学的な発見をしたかもしれない。
“数学を理解する唯一の方法は、客観的な数学的事実があり、それらが数学者によって発見されたと信じることであると私は信じています”と、トロント大学から最近退職した科学の哲学者ジェームズ-ロバート-ブラウン氏は述べています。 “働く数学者は圧倒的にプラトン主義者です。, 彼らは常に自分自身をプラトニストと呼ぶわけではありませんが、関連する質問をすると、常に彼らがあなたに与えるプラトニストの答えです。”
他の学者、特に科学の他の分野で働いている学者は、プラトニズムを懐疑的に見ています。 科学者は経験主義者である傾向があり、宇宙は私たちが触れて味わうことができるものなどで構成されていると想像しています。, “空間と時間の外に”存在する何かのアイデアは、経験主義者を緊張させます：それは宗教的信者が神について話す方法のように恥ずかしく聞こえ、神は
数学者Brian Daviesがそれを置いたように、プラトン主義は、”現代科学よりも神秘的な宗教との共通点が多い。”恐怖は、数学者がプラトンにインチを与えれば、彼はマイルを取るだろうということです。 数学的声明の真実がそれらについて考えるだけで確認できるならば、なぜ倫理的な問題、あるいは宗教的な質問でさえないのでしょうか？, なぜ経験主義をまったく気にするのですか？
ニューヨーク市立大学の哲学者マッシモPigliucciは、最初はプラトン主義に惹かれましたが、その後問題としてそれを見るようになりました。 何かが物理的な存在を持っていない場合、彼は尋ねる、それはおそらくどのような存在を持つことができますか？ “数学で”プラトニック”になれば、経験主義は”窓の外に出る”とPigliucciは書いています。”（もしピタゴラスの定理の証明が空間と時間の外に存在するなら、なぜ”黄金律”、あるいはイエス-キリストの神性さえもないのですか？,数学的対象が空間と時間の外に存在する場合、それらについて何かを知ることができるのはどのようにしてですか？ ブラウンは答えを持っていませんが、彼は、実際の実験が問題を解決する前に、ガリレオやアインシュタインのような科学者が”思考実験”を通じて物理的真理を直観した方法と同様の方法で、”心の目で”数学的言明の真実を把握することを示唆しています。 重い物体が軽いものよりも速く落ちるかどうかを判断するために、ガリレオが夢見た有名な思考実験を考えてみましょう。, それについて考えるだけで、ガリレオは重いものと軽いものが同じ速度で落ちなければならないと推測することができました。 重いものは軽いものを引っ張って、軽いものをより速く落とすのですか？ それとも、軽いものは重いものを遅くするための”ブレーキ”として機能しますか？ 理にかなっている唯一の解決策は、ガリレオが推論した、オブジェクトは関係なく、その重量の同じ速度で落ちるということです。, 同様の方法で、数学者は、三角形の角度が180度まで加算されること、または最大の素数がないことを証明することができます—そして、彼らはケースを作るために数えるための物理的な三角形や小石は必要ありません、ちょうど軽快な脳です。
一方、Brown氏は、抽象化のアイデアにあまりショックを受けるべきではないと指摘しています。 “私は抽象的な実体があると確信しています、そしてそれらは単に物理的ではありません”とBrown氏は言います。, “そして、数学だけでなく、言語学、倫理など、おそらくあらゆる種類のものを理解するためには、抽象的な実体が必要だと思います。”
プラトニズムにはさまざまな選択肢があります。 一つの一般的な見解は、数学は単に一連のルールであり、数学者が公理と呼ぶ最初の仮定のセットから構築されたものであるということです。 公理が所定の位置にあると、これらの多くは見つけるのが非常に難しいかもしれませんが、膨大な数の論理的控除が続きます。, この見解では、数学は発見よりもはるかに発明のように思えます。 このビューの極端なバージョンは、数学をチェスのゲームのようなものに減らすでしょう：私たちはチェスのルールを書き留め、それらのルールから様々な戦略と結果が続くが、我々はそれらのアンドロメダ人
しかし、このビューには独自の問題があります。 数学が私たち自身の頭の中から夢を見ているだけのものであるなら、なぜそれが自然界で観察されるものとうまく”合う”べきなのでしょうか？, なぜ核物理学における連鎖反応、または生物学における人口増加は、指数関数的な曲線に従うべきなのでしょうか？ なぜ惑星の軌道は楕円のような形をしているのですか？ なぜフィボナッチ数列は、ヒマワリ、カタツムリ、ハリケーン、および渦巻銀河で見られるパターンで上がるのですか？ なぜ、一言で言えば、数学は物理的な世界を記述するのに非常に有用であることが証明されていますか？ 理論物理学者のユージン-ウィグナーは、1960年の有名なエッセイ”自然科学における数学の不合理な有効性”でこの問題を強調しました。,”ウィグナーは、物理学の問題に取り組む上で数学の有用性は”我々はどちらも理解しても値する素晴らしい贈り物であると結論づけた。”
しかし、現代の思想家の数は、彼らがウィグナーのジレンマに答えを持っていると信じています。 数学は公理の小さなセットから生じる一連の演繹と見ることができますが、それらの公理は気まぐれに選ばれませんでした、と彼らは主張します。 むしろ、彼らは物理的な世界とは何かを持っているように見える非常に理由のために選ばれました。, Pigliucciがそれを置くように：”私が提供できる最良の答えは、数学は実際には現実の世界に縛られており、最初からされているので、この”不合理な有効性”は実際には非常に合理的であるということです。”
フランスのエクス-マルセイユ大学の理論物理学者であるCarlo Rovelliは、私たちの多くが高校で学んだ平らな空間の幾何学であるユークリッド幾何学の例, （正三角形がそれぞれ60度の三つの角度を持っていること、または直角三角形の二つの短辺の二乗の合計が斜辺の二乗に等しいことを学ぶ学生-すなわちピタゴラスの定理—はユークリッド幾何学を行っている。）プラトニストは、ユークリッド幾何学の発見は普遍的に”感じる”と主張するかもしれませんが、それらはそのようなものではない、とRovelliは言います。 “私たちが奇妙に平らな場所に住んでいるからこそ、誰もがすべき”自然なもの”としてユークリッド幾何学のこのアイデアを思いついたのです”と彼は言い, “もし地球が少し小さかったので、地球の曲率がわかったら、ユークリッド幾何学は決して開発されなかったでしょう。 “ジオメトリ”は”地球の測定”を意味し、地球は丸いことを覚えておいてください。 代わりに球形幾何学を開発したでしょう。”
Rovelliはさらに進み、自然数の普遍性に疑問を投げかけます：1、2、3、4。.. 私たちのほとんどにとって、そして確かにプラトニストにとって、自然数は、よく、自然に見えます。, たまにできるところから”と小さな知的なエいどうなのかを知りたたまれる2+2=4回計算書に翻訳されたその言語。 それほど速くはない、Rovelliは言う。 カウント”石、木、人、個人、数えられるものがあるところにのみ存在します”と彼は言います。 “なぜそれが流体の数学よりも基本的なものでなければならないのでしょうか？”知的な生き物が木星の大気の雲の中に住んでいるのが見つかった場合、彼らは数えることや自然数の直感を全く持たないかもしれない、とRovelliは言う。, おそらく、私たちは彼らにチェスのルールを教えることができるように、自然数について教えることができますが、Rovelliが正しければ、この数学の枝はプラトニストが想像するほど普遍的ではないことを示唆しています
Pigliucciのように、rovelliは数学がその有用性のためにそれを作ったので、数学は”うまくいく”と信じています。 “なぜハンマーが釘を打つのにうまくいくのかを尋ねるようなものです”と彼は言います。 “その目的のために作ったからです。”
実際には、数学が科学を行うために見事に有用であるというWignerの主張は、精査に耐えられないとRovelli氏は言います。, 彼は、数学者によってなされた多くの発見が科学者とほとんど関連性がないと主張している。 “数学者にとっては非常に美しい数学がありますが、科学にとってはまったく役に立たない数学があります”と彼は言います。 “そして、例えば乱流のような多くの科学的問題があります—誰もが有用な数学を見つけたいと思っていますが、私たちはそれを見つけていません。”
英国のヨーク大学の哲学者であるMary Lengは、関連する見解を持っています。, 彼女は自分自身を”フィクショナリスト”と表現しています–彼女は数学的なオブジェクトを物語や小説の登場人物に似た有用なフィクションと見ています。 “ある意味では、彼らはシャーロック-ホームズのように、私たちの創造の生き物です。”
しかし、数学者の仕事と小説家の仕事の間に重要な違いがあります：数学は、物理的な世界に非常に結びついている幾何学や測定のような概念にそのルーツを持っています。 確かに、今日の数学者が発見したもののいくつかは極端に難解ですが、結局のところ、数学と科学は密接に同盟した追求です、とLengは言います。, “科学を助けるためのツールとして発明されているので、それは科学において実際に有用であることは驚くべきことではありません。”
数学の性質についてのこれらの質問は、約2,300年の間、しばしば白熱した議論の対象となっていることを考えると、すぐに消えることはありそう カニンガムのような高校生は、ピタゴラスの定理、三角形の幾何学、線や曲線を記述する方程式を熟考するので、それらを考慮するために一時停止するかもしれないことは驚くことではありません。, 彼女が彼女のビデオで提起した質問は、まったく愚かではありませんでしたが、かなり抜け目のないものでした：数学者と哲学者は何千年もの間、同じ
