メビウスストリップ

球は二つの側面を持っています。バグは球形の中に閉じ込められたり、目に見える表面で自由に這うことがあります。机の上に横たわっている薄い紙も両面を持っています。本のページは、通常、紙のシートごとに二つの番号が付けられています。最初の片面表面はA-F-メビウス（1790年-1868年）によって発見され、メビウス-ストリップ（Möbius strip）という名前を冠している。メビウス-バンドと呼ばれることもある。（実際には、表面は別のドイツの数学者J.B.Listingによって独立して、それ以前に記述されました。）は、M.C.によって製造されたストリップ。, エッシャー（1898年-1972年）。

メビウスストリップを取得するには、紙のストリップから始めます。一方の端を180°（半回転）ひねり、端を一緒に接着します（aviファイルは267264バイトかかります）。比較のために、あなたがねじれずに端を接着する場合、結果はストリップの幅に応じて円柱またはリングのように見えるでしょう。い切りのストリップ沿いの路線です。人unacquaintedとトポロジーのほうが正しくうえで、結果となります。一方の端に道のストリップ1/3をカットすることも興味深いです。やってみろ,

私はねじれメビウスストリップの短い（155648バイト）avi映画を一緒に入れています。（ムービーページに移動したら、フレームをクリックしてムービーを開始します。）

このトリックを知ったら、確かに他の片面表面を見つけたいと思います。端を一緒に接着する前に、ストリップを二度または三回ねじることができます。あなたは片面または両面の表面を得るのですか？,

P.S.

There is an additional page with an interactive Java illustration that lets one “see through” the strip in more than one sense., そして、もちろん、インターネット上で利用可能なメビウスストリップに専念する他のページがあります。一つは、特別な言及に値する。リチャード-マースデン（ウェブからページが消えた）は、ストリップのVRMLバージョンを制作した。楽しかった回転のストリップこうとすることができてうれしいです。なぜか分からないが、Ephraim KishonのThe Funniest Man in the Worldの裏表紙からArt Buchwaldによる次の一節が私の心に来た：

Ephraim Kishonは私が知っている第二のおかしなユーモア主義者です。.. 彼は陽気であり、私は彼を憎む。,

それがどのように行われたか

ここでは、メビウスストリップ作成ムービーに入った数学についてのみ議論します。

それはすべて私がMathSoftのページをサーフィン収集した観察から始まります。 Tの値の固定範囲について、曲線を考える

x(t)=Rsin(t/R),y(t)=R(1-cos(t/R)),Rによってパラメータ化された

それらのそれぞれは円の部分です

x(t)2+(y(t)-R)2=R2。,

大きなR（およびtの固定範囲）の場合、そのようなピースは円のサイズに比べて小さく、したがって、ほぼ直線セグメントとして見えます。 Rの値が小さい（1に近い）場合、ピースは完全な円に近くなります。
rの減少するシーケンスに対してピースが一度に一つずつ表示されると、フレームはセグメントが円に折り畳まれている印象を作り出します。ムービーを生成するために、私は21のフレーム番号0から20を使用し、半径は式に従って変化します

R（k）=21/（k+1）、

ここで、kはフレーム番号です。,
メビウスストリップを作成することは3次元の出来事です。したがって、x（水平）およびy（垂直）座標に加えて、z座標も必要です。その座標を画面に対して垂直に向けたものと考えてください。円弧よりも直線の部分に似ている最初のセグメントについては、セグメントの長さに対してz=constを使用しました。セグメントは長方形になります-“バンド”-メビウスストリップに折り畳まれます。, 長方形には、以下で”（xy）セグメント”と呼ばれる元のセグメントと、”zセグメント”と呼ばれる垂直側の二つの側面があります。”
（xy）セグメントが円に折り畳まれると、zセグメントは（yz）平面内で回転します。私はサイクロイドのページで平面の回転について議論しました。しかし、一つの注意点は順番にあります。 Möbiusストリップを作成するには、z端だけでなく、長方形の全体をねじる必要があります。, しかし、長方形の異なる部分は異なる速度で回転する必要があります-端は最も速く回転し、ストリップの中央はまったく動かないはずです。したがって、折り畳まれた（xy）セグメント上の異なる点におけるzセグメントの角速度として、量

w=（t-tmiddle）2

を使用します。ストリップの中央に近い点では、量は非常に0に近いです。
最後に、ストリップの両端は反対方向に回転する必要があります。さらに、回転行列に

sign（t-tmiddle）を掛ける必要がありました。

それで終わりです。, 少し三角法と解析幾何学の非常に実用的なアプリケーション。 303104バイトの動画があります。撚り帯の正面図を示す。

Alexander Grässerからの手紙では、さらなる切断（ただし、現在は貼り付け）活動について説明しています。紙の二つのバンドを一緒に接着することが可能です。でも、二つのシリンダーの場合には、結果は自分の子供はもちろんのこと、両親のほとんどを驚かせるでしょう。

私のロゴも片面表面です。,

Reference

S.Barr,Experiments In Topology,Dover Publications,NY,1989
R.Courant and H.Robbins,数学とは何ですか？,Oxford University Press,1996
K.Devlin,Mathematics:The Science of Patterns,Scientific American Library,1997
D.Hilbert and S.Cohn-Vossen,Geometry and Imagination,Chelsea Publishing Co,NY1990.
C.A.ピックオーバー、メビウスストリップ：博士, August Mobius’S Marvelous Band in Mathematics,Games,Literature,Art,Technology,And Cosmology,Thunder’S Mouth Press,2006

|お問い合わせ||フロントページ||目次|/知っていましたか？//ジオメトリ|

Good Mood