구는 양면을 가지고 있습니다. 버그는 구형 모양 안에 갇혀 있거나 눈에 보이는 표면에 자유롭게 기어 들어갈 수 있습니다. 책상 위에 누워있는 얇은 종이 한 장도 양면이 있습니다. 책의 페이지는 일반적으로 종이 한 장당 두 개의 번호가 매겨집니다. 첫 번째 일면 표면은 A.F.Möbius(1790-1868)에 의해 발견되었으며 그의 이름 인 Möbius strip 을 지니고 있습니다. 때로는 뫼비우스 밴드라고 불리는 경우도 있습니다. (사실,표면은 다른 독일 수학자 J.B.Listing 에 의해 두 달 동안 독립적으로 그리고 더 일찍 기술되었다.)스트립은 M.C. 에 의해 불멸화되었다., 에셔(1898-1972).
을 얻을 뫼비우스 스트립을 시작으로 스트립의 종이입니다. 한쪽 끝을 180o(반 회전)비틀고 끝을 함께 붙입니다(avi 파일은 267264 바이트가 걸립니다). 비교를 위해,결과를 비틀 지 않고 끝을 붙이면 스트립의 너비에 따라 실린더 또는 링처럼 보일 것입니다. 중간 선을 따라 스트립을 잘라보십시오. 토폴로지로 오염되지 않은 사람들은 결과가 무엇인지 정확하게 추측하지 못합니다. 스트립을 한쪽 가장자리로가는 길의 1/3 을 자르는 것도 흥미 롭습니다. 그것을 시도하십시오.,
나는 트위스트 뫼비우스 스트립의 짧은(155648 바이트)avi 영화를 함께 넣었습니다. (당신은 영화 페이지에 도착하면 영화를 시작하는 프레임을 클릭합니다.)
이제 트릭을 알게되면 분명히 다른 일방적 인 표면을 찾고 싶습니다. 끝을 함께 붙이기 전에 스트립을 두 번 또는 세 번 비틀 수 있습니다. 단면 또는 양면 표면을 얻습니까?,
 |
 |
 |
 |
 |
 |
P.S.
There is an additional page with an interactive Java illustration that lets one “see through” the strip in more than one sense., 그리고 물론 인터넷에서 사용할 수있는 뫼비우스 스트립에 헌정 된 다른 페이지가 있습니다. 하나는 특별한 언급을받을 자격이 있습니다. Richard Marsden(페이지가 웹에서 사라짐)은 vrml 버전의 스트립을 제작할 수있었습니다. 나는 이런 식으로 그리고 그런 식으로 스트립을 회전시키는 것을 즐겼다. 왜 그러나 다음과 같은 통과하여 예비 신랑 뒷면에 있는 에브라임 산지 재획득의 재미있는 세계에서 사람이 내 마음에 온:
에브라임 재획득이 두 번째 재미있는 해학가 나는 알고있다… 그는 들썩 들썩하고 나는 그를 싫어한다.,
어떻게 그것을 이루어집
나만 여기에 대해 논의하는 수학을 갔으로 뫼비우스 스트립에 창작 영화입니다.
-
그것은 모두 내가 서핑 MathSoft 페이지를 수집 한 관찰로 시작합니다. 고정 값 범위의 t,고려한 곡선
x(t)=Rsin(t/R),y(t)=R(1-cos(t/R))
에 의해 매개 변수화 R. 그들 각각의 조각을의 원형
x(t)2+(y(t)R)2=R2.,
큰 R(및 고정 된 범위의 t)의 경우,그러한 조각은 원의 크기에 비해 작기 때문에 거의 직선 선분으로 보입니다. R(1 근처)의 작은 값의 경우,조각은 완전한 원에 더 가깝습니다.
-
때 조각은 다음과 같 한 번에 하나 감소 시퀀스의 연구,프레임을 만들의 인상 세그먼트는 접혀 있는 원형으로. 를 생성하는 영화,내가 사용하는 21 프레임 번호 0~20,반경으로 변화하는 공식에 따라
R(k)=21/(k+1)
여기서 k 프레임 번호입니다.,
-
뫼비우스 스트립을 만드는 것은 3 차원 일입니다. 따라서 x(수평)및 y(수직)좌표 외에도 z 좌표도 필요합니다. 그 좌표를 화면에 수직으로 지시 한 것으로 생각하십시오. 원호보다 직선의 조각과 같은 초기 세그먼트의 경우 세그먼트의 길이에 대해 z=const 를 취했습니다. 세그먼트는 Möbius 스트립으로 접힐 사각형 인”밴드”가됩니다., 직사각형에는 두 개의 측면이 있습니다:아래는”(xy)세그먼트”라고 불리는 원래 세그먼트와”z 세그먼트”라고 불리는 수직면.”
-
(xy)세그먼트가 원으로 접히면 z 세그먼트가(yz)평면에서 회전합니다. 내 사이클로이드 페이지에서 비행기의 회전에 대해 논의했습니다. 그러나 한 가지주의해야 할 점은 순서대로 있습니다. 뫼비우스 스트립을 만들려면 z 끝뿐만 아니라 직사각형 전체를 비틀어 야합니다., 그러나,다른 부분의 직사각형 회전해야하에서 다른 속도를-최종 회전하는 동안 가장 빠른 스 shouldnot 있습니다. 따라서 수량
w=(t-tmiddle)2
를 접힌(xy)세그먼트의 다른 지점에서 z 세그먼트의 각속도로 사용합니다. 수량은 스트립의 중간에 가까운 점에 대해 매우 거의 0 입니다.
-
마지막으로 스트립의 두 끝이 반대 방향으로 회전해야합니다. 따라서 회전 행렬에
기호(t-tmiddle)를 곱해야했습니다.
그게 다야., 약간의 삼각법 및 분석 기하학의 매우 실용적인 응용 프로그램입니다. 303104 바이트 인 anothercreation movie 가 있습니다. 그것은 비틀림 스트립의 정면도를 보여줍니다.
에서 편지를 알렉산더 Grässer 에 대해 설명합을 더욱 컷팅(하지만 지금도 붙여넣기)활동입니다. 두 개의 종이 밴드를 함께 붙일 수 있습니다.이 실린더 또는 모에 비우스 스트립이 될 수 있습니다. 심지어 두 실린더의 경우 결과는 그들의 아이를 언급하지 않기 위하여,부모의 대부분을 놀라게 할 것이다.
내 로고는 또한 일방적 인 표면입니다.,
참조
- S. 바,실험을 토폴로지에서,도버에 게시,뉴욕 1989 년
- R.Courant 고 H. 로빈스,수학은 무엇인가?,Oxford University Press,1996
- K.Devlin,수학:패턴의 과학,Scientific American Library,1997
- D.Hilbert and S.Cohn-Vossen,Geometry and Imagination,Chelsea Publishing Co,NY1990.
- C.A.Pickover,뫼비우스 스트립:박사., 월 뫼비우스의 놀라운 밴드에서 수학,게임,문학,예술,기술 및 우주론,천둥의 입 Press,2006 년
|연락처||앞 페이지로||Contents||알았는가?//기하학|
