Kugel hat zwei Seiten. Ein Käfer kann in einer Kugelform gefangen sein oder frei auf seiner sichtbaren Oberfläche kriechen. Ein dünnes Blatt Papier, das auf einem Schreibtisch liegt, hat auch zwei Seiten. Seiten in einem Buch sind normalerweise zwei pro Blatt Papier nummeriert. Die erste einseitige Oberfläche wurde von A. F. Möbius (1790-1868) entdeckt und trägt seinen Namen: Möbius-Streifen. Manchmal wird es auch als Möbius-Band bezeichnet. (In Wahrheit wurde die Oberfläche unabhängig und früher um zwei Monate von einem anderen deutschen Mathematiker J. B. Listing beschrieben. Der Streifen wurde von M. C., Escher (1898-1972).
Um einen Möbius-Streifen zu erhalten, beginnen Sie mit einem Papierstreifen. Drehen Sie ein Ende um 180 ° (halbe Umdrehung) und kleben Sie die Enden zusammen (die AVI-Datei benötigt 267264 Bytes). Zum Vergleich: Wenn Sie die Enden ohne Verdrehen kleben, sieht das Ergebnis je nach Breite des Streifens wie ein Zylinder oder ein Ring aus. Versuchen Sie, den Streifen entlang der Mittellinie zu schneiden. Menschen, die mit Topologie nicht vertraut sind, raten selten richtig, was das Ergebnis sein würde. Es ist auch interessant, den Streifen 1/3 des Weges zu einer Kante zu schneiden. Probier es aus.,
Ich habe einen kurzen (155648 Byte) AVI-Film eines verdrehten Möbius-Streifens zusammengestellt. (Wenn Sie auf die Filmseite gelangen, klicken Sie auf den Rahmen, um den Film zu starten.)
Sobald Sie den Trick kennen, möchten Sie sicherlich andere einseitige Oberflächen finden. Bevor Sie die Enden zusammenkleben, können Sie den Streifen zweimal oder sogar dreimal drehen. Erhalten Sie eine einseitige oder zweiseitige Oberfläche?,
 |
 |
 |
 |
 |
 |
P.S.
There is an additional page with an interactive Java illustration that lets one „see through“ the strip in more than one sense., Und natürlich gibt es auch andere Seiten, die dem Möbius-Streifen gewidmet sind, im Internet. Man verdient eine besondere Erwähnung. Richard Marsden (dessen Seite aus dem Internet verschwunden ist) schaffte es, eine VRML-Version des Streifens zu produzieren. Ich habe es genossen, den Streifen so und so zu drehen. Ich weiß nicht warum, aber die folgende Passage von Art Buchwald aus der Rückseite von Ephraim Kishons The Funniest Man in the World kam mir in den Sinn:
Ephraim Kishon ist der zweit lustigste Humorist, den ich kenne… Er ist urkomisch, und ich hasse ihn.,
Wie es gemacht wird
Ich werde hier nur die Mathematik diskutieren, die in den Möbius strip creation Movie eingegangen ist.
-
Alles beginnt mit einer Beobachtung, die ich beim Surfen auf MathSoft-Seiten gewonnen habe. Für einen festen Wertebereich von t betrachten Sie die Kurven
x(t) = Rsin(t/R), y(t) = R(1 – cos(t/R)),
parametriert von R. Jeder von Ihnen ist ein Stück des Kreises,
x(t)2 + (y(t) – R)2 = R2.,
Bei großen R (und einem festen Bereich von t) ist ein solches Stück relativ zur Größe der Kreise klein und sieht daher fast wie ein gerades Liniensegment aus. Bei kleinen Werten von R (nahe 1) ist das Stück näher an einem vollständigen Kreis.
-
Wenn die Teile einzeln für eine abnehmende Folge von R angezeigt werden, erzeugen die Rahmen den Eindruck, dass ein Segment zu einem Kreis gefaltet wird. Um den Film zu generieren, habe ich 21 Bilder mit den Nummern 0 bis 20 verwendet, wobei sich der Radius gemäß der Formel
R(k) = 21 / (k + 1),
wobei k eine Rahmennummer ist.,
-
Das Erstellen eines Möbius-Streifens ist eine dreidimensionale Angelegenheit. Daher benötigen wir neben x – (horizontal) und y – (Vertikal) Koordinaten auch eine Z-Koordinate. Stellen Sie sich diese Koordinate als senkrecht zum Bildschirm gerichtet vor. Für das Anfangssegment, das eher einem Stück einer geraden Linie als einem Kreisbogen ähnelt, nahm ich z = const für die Länge des Segments. Das Segment wird zu einem Rechteck – einem „Band“ -, das zu einem Möbius-Streifen gefaltet werden soll., Das Rechteck hat zwei Seiten: das ursprüngliche Segment, das unten als „das (xy) Segment“ bezeichnet wird, und die senkrechte Seite, die als „z-Segment“ bezeichnet wird.“
-
Wenn sich das (xy) Segment zu einem Kreis faltet, dreht sich das z-Segment in der (yz) – Ebene. Ich habe die Rotation einer Ebene auf meinen Zykloiden-Seiten besprochen. Eine Einschränkung ist jedoch in Ordnung. Um einen Möbius-Streifen zu erstellen, müssen wir das gesamte Rechteck drehen, nicht nur seine Z-Enden., Verschiedene Teile des Rechtecks sollten sich jedoch mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten drehen – das Ende dreht sich am schnellsten, während sich die Mitte des Streifens überhaupt nicht bewegen sollte. Daher verwende ich die Menge
w = (t – tmiddle)2
als Winkelgeschwindigkeit für das z-Segment an verschiedenen Punkten des gefalteten (xy) Segments. Die Menge ist sehr fast 0 für Punkte in der Nähe der Mitte des Streifens.
-
Zuletzt sollten sich die beiden Enden des Streifens in entgegengesetzte Richtungen drehen. Damit musste zusätzlich die Rotationsmatrix mit
Zeichen(t – tmiddle) multipliziert werden.
Das ist es., Eine sehr praktische Anwendung von ein wenig Trigonometrie und analytischer Geometrie. Es gibt einen anderen Film, 303104 Bytes. Es zeigt die Vorderansicht des Drehstreifens.
Ein Brief von Alexander Grässer beschreibt weitere Schneid – (aber jetzt auch Einfüge -) Aktivitäten. Es ist möglich, zwei Papierbänder zusammenzukleben, seien es Zylinder oder Moebius-Streifen. Selbst bei zwei Zylindern wird das Ergebnis die meisten Eltern überraschen, ganz zu schweigen von ihren Kindern.
Mein logo ist auch eine einseitige Oberfläche.,
Referenz
- S. Barr, Experiments In Topology, Dover Publications, New York, 1989
- R. Courant und H. Robbins, Was ist Mathematik? Oxford University Press, 1996
- K. Devlin, Mathematik: Die Wissenschaft der Muster, Scientific American Library, 1997
- D. Hilbert und S. Cohn-Vossen, Geometrie und Phantasie, Chelsea Publishing Co, New York 1990.
- C. A. Pickover, Der Mobius-Streifen: Dr., August Möbius ’s Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology, Thunder‘ s Mouth Press, 2006
| – Kontakt| – |Front-page||Inhalt||Wussten Sie schon?||Geometrie|
