Good Mood

AncientEdit

Den gamle perioden innført noen av de ideene som førte til en integrert analyse, men synes ikke å ha utviklet disse ideene i et grundig og systematisk måte. Beregninger av volumer og arealer, ett mål av integrert analyse, kan bli funnet i den Egyptiske Moskva papyrus (c., 1820 F.KR.), men formlene er kun gitt for konkrete tall, noen er bare ca sanne, og de er ikke avledet av deduksjon. Babylonerne kan ha funnet trapesformet regel mens du gjør astronomiske observasjoner av Jupiter.

Fra alder av gresk matematikk, Eudoxus (c. 408-355 F.KR.) brukte metoden for utmattelse, som foreshadows konseptet av grensen, til å beregne arealer og volumer, mens Arkimedes (c. 287-212 F.KR.) utviklet denne ideen videre, å finne opp heuristikk som ligner metoder for integrert kalkulus., Greske matematikere er også kreditert med en betydelig bruk av infinitesimals. Demokrit er den første personen som tas opp til å vurdere seriøst fordeling av gjenstander i en uendelig rekke av tverrprofiler, men hans manglende evne til å rasjonalisere diskret tverrprofiler med en kjegle er glatt skråning forhindret ham fra å akseptere ideen. På omtrent samme tid, Zeno av Elea diskreditert infinitesimals videre av hans artikulasjon av paradokser som de skaper.,

Arkimedes utviklet denne metoden videre, mens også å finne opp heuristiske metoder som ligner på moderne konsepter noe i hans Kvadratur av Parabelen, Den Metoden, og På den Kule og Sylinder. Det bør ikke være trodde at infinitesimals ble satt på en streng linje i løpet av denne tiden, men. Bare når det ble supplert med en skikkelig geometriske bevis ville greske matematikere godta et forslag som sant., Det var ikke før i det 17. århundre at metoden ble formalisert ved Cavalieri som metode for Indivisibles og til slutt innlemmet av Newton i et generelt rammeverk for integrert kalkulus. Arkimedes var den første til å finne tangenten til en kurve annet enn en sirkel, i en metode som er beslektet med differensial kalkulus. Mens han studerte spiral, han skilte en punktets bevegelse i to komponenter, en radiell bevegelse komponent og en sirkulær bevegelse komponent, og deretter fortsatte å legge to-komponent bevegelser sammen, og dermed å finne tangenten til kurven., Pionerene i kalkulus for eksempel Isaac Barrow og Johann Bernoulli var flittige studenter av Arkimedes, se for eksempel C. S. Roero (1983).

metoden av utmattelse ble gjenoppfunnet i Kina av Liu Hui i det 4. århundre E.KR for å finne arealet av en sirkel. I det 5. århundre, Zu Chongzhi etablert en metode som senere skulle bli kalt Cavalieri er prinsippet for å finne volumet av en kule.

MedievalEdit

I den Islamske midtøsten, den 11. århundre Arabiske matematikeren Ibn al-Haytham (Alhazen) utledet en formel for summen av fjerde krefter., Han brukte den resultater i å gjennomføre det nå ville bli kalt en integrasjon, der formler for det summer av integrert torg og fjerde krefter tillot ham å beregne volumet av en paraboloid. I det 12. århundre, den persiske matematiker Sharaf al-Dīn al-Tūsī oppdaget derivat av kubikk polynomer. Hans Avhandling om Ligninger utviklet konsepter knyttet til partielle beregninger, slik som den deriverte funksjon og maxima og minima av kurver, for å løse kubikk ligninger som kanskje ikke har positive løsninger.,

Noen ideer på kalkulus senere dukket opp i Indisk matematikk, i Kerala skolen i astronomi og matematikk. Madhava av Sangamagrama i det 14. århundre, og senere matematikere av Kerala skolen, uttalte komponenter i kalkulus for eksempel Taylor-serien og uendelig serien approksimasjoner. Men de var ikke i stand til å kombinere mange forskjellige ideer under to samlende temaer av derivater og integrert, vise forbindelsen mellom de to, og slå kalkulus i kraftig problemløsning verktøyet vi har i dag.,

Den matematiske studie av kontinuitet ble gjenopplivet i det 14. århundre av Oxford Kalkulatorer og franske samarbeidspartnere som Nicole Oresme. De viste seg å være «Merton mener hastighet teorem»: at en jevnt akselerert kroppen reiser samme avstand som en kropp med jevn hastighet hastighet som er halvparten av den endelige hastigheten av akselerert kroppen.

Tidlig ModernEdit

I det 17. århundre, Europeiske matematikere Isaac Barrow, René Descartes, Pierre de Fermat’, Blaise Pascal, John Wallis og andre diskutert ideen om et derivat., Spesielt i Methodus annonse disquirendam maximam et minima og i De tangentibus linearum curvarum, Fermat ‘ utviklet en adequality metode for fastsettelse av maxima, minima, og tangenter til ulike kurver som var nært knyttet til differensiering. Isaac Newton skrev senere at hans egen tidlige ideer om kalkulus kom direkte fra «fermats måte å tegne tangenter.,»

På integrert side, Cavalieri utviklet sin metode for indivisibles i 1630s og 1640-årene, og gir en mer moderne form av det gamle greske metode for utmattelse, og computing Cavalieri er kvadratur formel, areal under kurver xn av høyere grad, som tidligere hadde bare vært beregnet for parabelen, ved Arkimedes. Torricelli utvidet dette arbeidet til andre kurver som cycloid, og deretter formelen ble generalisert til brøk og negative krefter av Wallis i 1656., I 1659 avhandling, Fermat ‘ er kreditert med et genialt triks for å vurdere en integrert del av alle power-funksjonen direkte. Fermat ‘ også fått en teknikk for å finne midten av tyngdekraften på ulike plan og solide tall, noe som påvirket det videre arbeidet i kvadratur. James Gregory, påvirket av fermat ‘ s bidrag både til tangens og kvadratur, var da i stand til å bevise en begrenset versjon av den andre fundamental teorem av kalkulus i midten av det 17. århundre. Den første fullstendige bevis for fundamental teorem av kalkulus ble gitt av Isaac Barrow.:p.,61 når arc MEG ~ arc NH ved tangens F fig.26

Det første beviset på Rolle teorem ble gitt av Michel Rolle i 1691 ved hjelp av metoder som er utviklet av den nederlandske matematikeren Johann van Waveren Hudde., Gjennomsnittsverdien teorem i sin moderne form ble oppgitt av Bernard Bolzano og Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) også etter grunnleggelsen av moderne matematisk analyse. Et viktig bidrag var også laget av Barrow, Huygens, og mange andre.

Newton og LeibnizEdit

Før Newton og Leibniz, ordet «kalkulus» referert til noen kropp matematikk, men i de følgende årene, «kalkulus» ble en populær betegnelse for et felt i matematikk basert på innsikt., Newton og Leibniz, og bygge på dette arbeidet, uavhengig utviklet rundt teorien for uendelige lite kalkulus i slutten av det 17. århundre. Også, Leibniz gjorde et stort arbeid med å utvikle konsistente og nyttig notasjon og konsepter. Newton har gitt noen av de viktigste programmene for å fysikk, spesielt av integrert kalkulus. Formålet med denne delen er å undersøke Newton og Leibniz ‘ s undersøkelser av utvikling innen uendelige lite kalkulus., Spesifikk vekt vil bli lagt på begrunnelsen for og beskrivende ord som de som brukes i et forsøk på å forstå kalkulus som de selv oppfattet det.

Ved midten av det 17. århundre, Europeiske matematikk hadde endret sin primære lager av kunnskap. I forhold til forrige århundre som opprettholdt Hellenistiske matematikk som utgangspunkt for forskning, Newton, Leibniz og deres samtidige stadig sett mot verker av mer moderne tenkere., Europa hadde blitt hjemmet til en gryende matematisk fellesskap og med framveksten av forbedret institusjonelle og organisatoriske baser et nytt nivå av organisering og akademisk integrasjon ble oppnådd. Viktigst, men samfunnet manglet formalisme, i stedet det besto av en unormal masse av ulike metoder, teknikker, notasjoner, teorier, og paradokser.

Newton kom til kalkulus som en del av sine undersøkelser i fysikk og geometri. Han viste kalkulus som vitenskapelig beskrivelse av produksjon av bevegelse og storleikar., I sammenligningen, Leibniz fokusert på tangent problem, og kom til å tro at kalkulus var en metafysisk forklaring av endring. Viktigere er kjernen i deres innsikt var formalisering av den omvendte egenskaper mellom integrert og differensial av en funksjon. Denne innsikten hadde vært forventet av sine forgjengere, men de var de første til å bli gravid kalkulus som et system som ny retorikk og beskrivende ord ble opprettet., Deres unike funn lå ikke bare i sin fantasi, men også i deres evne til å syntetisere innsikt rundt dem inn i en universell algoritmisk prosess, og dermed danner en ny matematisk system.

NewtonEdit

Newton fullført ingen definitiv publisering formalisere sin fluxional kalkulus, men mange av sine matematiske oppdagelser ble overført gjennom korrespondanse, mindre papir eller som innebygde aspekter i sin andre definitive samlinger, slik som Principia og Opticks., Newton ville starte sin matematiske opplæring som det valgte arving av Isaac Barrow i Cambridge. Hans talent ble tidlig anerkjent og han lærte raskt gjeldende teorier. Ved 1664 Newton hadde laget sin første viktige bidrag ved å fremme den binomiske teorem, som han hadde utvidet til å omfatte brøk og negative eksponenter. Newton lyktes i å utvide anvendelsen av den binomiske teorem ved å bruke algebra av endelige mengder i en analyse av uendelig serien., Han viste en vilje til å vise uendelig serien, ikke bare som omtrentlige enheter, men også som alternative former for å uttrykke et begrep.

Mange av Newtons kritisk innsikt oppstått under pesten år av 1665-1666 som han senere beskrevet som «den viktigste i min alder for oppfinnelsen og tenkende matematikk og filosofi mer enn noen gang siden.»Det var under hans pest-indusert isolasjon som den første skriftlige oppfatning av fluxionary kalkulus ble spilt inn i det upubliserte De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas., I dette papiret, Newton bestemte arealet under en kurve ved først å beregne en kortvarig endring og deretter ekstrapolere den totale areal. Han begynte med begrunnelsen om en uendelig liten trekant hvis området er en funksjon av x og y. Han tenkte at den uendelige lite økning i abscissa vil opprette en ny formel der x = x + o (viktigst, o er bokstaven, ikke tallet 0). Han regnet området ved hjelp av binomiske teorem, fjernet alle mengder som inneholder bokstaven o og re-dannet et algebraisk uttrykk for området., Betydelig, Newton ville da «viske ut» de mengder som inneholder o fordi vilkårene «multiplisert med det vil ikke være noe i forhold til resten».

På dette punktet Newton hadde begynt å realisere sentrale holderen for inversjon. Han hadde opprettet et uttrykk for arealet under en kurve ved å vurdere en kortvarig økning på et punkt. I praksis fundamental teorem av kalkulus ble bygget inn i sine beregninger. Mens hans nye formulering som tilbys utrolige potensial, Newton var godt klar over sin logiske begrensninger på den tiden., Han innrømmer at «feilene er ikke å bli oversett i matematikk, uansett hvor liten den er» og at det han hadde oppnådd var «kort forklart snarere enn nøyaktig dokumentert.»

I et forsøk på å gi kalkulus en strengere explication og rammeverk, Newton samlet i 1671 den Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum. I denne boken, Newtons strenge empiricism formet og definert sin fluxional kalkulus. Han utnyttet momentant bevegelse og infinitesimals uformelt. Han brukte matematikk som et metodisk verktøy for å forklare den fysiske verden., Basen av Newtons revidert kalkulus ble kontinuitet; og som sådan er han omdefinert sine beregninger i form av stadig flytende bevegelse. For Newton, variabel størrelsene er ikke eksistensen av uendelig liten størrelse elementer, men er generert av den udiskutable faktum av bevegelse. Som med mange av hans verker, Newton utsatt offentliggjøring. Methodus Fluxionum ble ikke utgitt før 1736.

Newton forsøkt å unngå å bruk av uendelig liten størrelse ved å danne beregninger basert på prosenter av endringer., I Methodus Fluxionum han definerte den frekvensen av generert endres som en flyteteksturer, som han representert ved en stiplet brev, og mengden generert han definert som et flytende. For eksempel, hvis x {\displaystyle {x}} og y {\displaystyle {y}} er fluents, deretter x {\displaystyle {\dot {x}}} og y {\displaystyle {\dot {y}}} er deres respektive fluxions., Denne reviderte beregninger av forholdstall fortsatte å være utviklet og ble maturely angitt i 1676 tekst De Quadratura Curvarum hvor Newton kom til å definere dag derivat som den ultimate ratio endring, som han er definert som forholdet mellom flyktige trinn (forholdet mellom fluxions) rent i øyeblikket i spørsmålet. I hovedsak, det ultimate ratio er forholdet som trinn forsvinne i intet., Viktigere, Newton forklart eksistensen av den ultimate ratio ved å appellere til bevegelse;

«For ved den ultimate hastighet er ment som, som kroppen er flyttet, verken før det kommer fram til siste plass, når bevegelsen opphører eller når, men på svært øyeblikkelig når den kommer… den ultimate ratio av flyktige mengder er å bli forstått, forholdet mellom mengder ikke før de forsvinner, og ikke etter, men som de forsvinne»

Newton utviklet sin fluxional kalkulus i et forsøk på å unngå den uformelle bruken av infinitesimals i sine beregninger.,

LeibnizEdit

Mens Newton startet utviklingen av sin fluxional kalkulus i 1665-1666 hans funn ikke blitt mye sirkulert til senere. I de mellomliggende årene Leibniz også prøvde å lage sin analyse., I forhold til Newton som kom til matematikk på et tidlig alder, Leibniz begynte sin strenge matematiske studier med en moden intellekt. Han var en kyndig innenfor flere fag, og hans intellektuelle interesser og prestasjoner som er involvert metafysikk, jus, økonomi, politikk, logikk og matematikk. For å forstå Leibniz ‘ s resonnement i kalkulus sin bakgrunn bør holdes i bakhodet. Spesielt, hans metafysikk som beskrevet universet som en Monadology, og hans planer om å lage en presis formell logikk der, «en generell metode som alle sannheter av den grunn ville bli redusert til en slags beregning.,»

I 1672, Leibniz møtte matematiker Huygens som overbevist om Leibniz til å vie mye tid til å studere matematikk. Ved 1673 han hadde kommet til å lese Pascal ‘ s Traité des Sinus du Kva Cercle og det var under hans i stor grad autodidactic forskning som Leibniz sa: «et lys som blir slått på». Som Newton, Leibniz så tangent som et forholdstall, men sa det så enkelt forholdet mellom anbefalinger og abscissas., Han fortsatte med dette resonnement til å argumentere for at integrert i realiteten var summen av anbefalinger for uendelige lite intervaller i abscissa; effekten av dette er at summen av et uendelig antall rektangler. Fra disse definisjonene er det omvendte forholdet eller differensial ble klart og Leibniz raskt så potensialet for å danne et helt nytt system i matematikk. Hvor Newton i løpet av sin karriere har benyttet flere tilnærminger i tillegg til en tilnærming ved hjelp av infinitesimals, Leibniz gjorde denne hjørnesteinen i hans notasjon og kalkulus.,

I manuskripter fra 25. oktober til 11. November 1675, Leibniz spilt inn sine funn og eksperimenter med ulike former for notasjon. Han var fullstendig klar over notational begreper som brukes og hans tidligere planer om å danne en nøyaktig logiske symbolikken ble tydelig. Til slutt, Leibniz merket det uendelige lite trinn på abscissas og anbefalinger dx og dy, og summering av uendelig mange infinitesimally tynne rektangler som en lang s (∫ ), som ble den nåværende integrert symbol ∫ {\displaystyle \scriptstyle \int } .,

Mens Leibniz ‘ er-notasjon er brukt av moderne matematikk, hans logiske base var forskjellige fra våre nåværende. Leibniz omfavnet infinitesimals og skrev mye, slik som, «ikke å gjøre av den uendelig lite mysterium, som hadde Pascal.»I henhold til Gilles Deleuze, Leibniz’ s nuller «er nothings, men de er ikke absolutte nothings, de er nothings henholdsvis» (sitat Leibniz’ tekst «Rettferdiggjøring av kalkulus av infinitesimals av kalkulus av vanlig algebra»). Alternativt, han definerer dem som «mindre enn en gitt mengde.,»For Leibniz var verden en samling av uendelige lite poeng og mangel på vitenskapelig bevis for deres eksistens ikke plage ham. Infinitesimals til Leibniz var ideell mengder av en annen type fra merkbar tall. Sannheten av kontinuitet ble påvist ved selve eksistensen. For Leibniz prinsippet om kontinuitet og dermed gyldigheten av hans analyse var sikret. Tre hundre år etter Leibniz ‘ s arbeid, Abraham Robinson viste at bruk av uendelige lite antall i kalkulus kunne bli gitt et solid fundament.,

LegacyEdit

fremveksten av kalkulus skiller seg ut som et unikt øyeblikk i matematikk. Kalkulus er matematikk av bevegelse og forandring, og som sådan, oppfinnelsen sin nødvendig for etableringen av en ny matematisk system. Viktigere, Newton og Leibniz gjorde ikke lage den samme kalkulus og de gjorde ikke bli gravid av moderne matematisk analyse. Mens de begge var involvert i prosessen med å lage en matematisk system for å håndtere variable mengder deres elementære base var annerledes., For Newton, endre var en variabel mengde over tid, og for Leibniz var forskjellen alt over en sekvens av uendelig nær verdier. Særlig, beskrivende ord hver systemet er skapt for å beskrive endringen var annerledes.

Historisk sett, var det mye diskusjon om hvorvidt det var Newton eller Leibniz som først ble «oppfunnet» kalkulus. Dette argumentet, Leibniz og Newton kalkulus kontrovers, som involverer Leibniz, som var tysk, og Engelskmannen Newton, førte til en splittelse i den Europeiske matematiske samfunnet som varer over et århundre., Leibniz var den første til å publisere sine undersøkelser, men det er godt etablert at Newton hadde startet sitt arbeid i flere år før Leibniz og hadde allerede utviklet en teori om tangenter etter den tid Leibniz ble interessert i spørsmålet.Det er ikke kjent hvor mye dette kan ha påvirket Leibniz. De første beskyldningene var laget av studenter og tilhengere av de to store forskere ved århundreskiftet, men etter 1711 både av dem ble personlig involvert, anklage hverandre av plagiat.,

prioritet tvist hadde en effekt av å skille engelsk-talende matematikere fra de i kontinental-Europa i mange år. Bare i 1820-årene, på grunn av innsatsen til Analytisk Samfunnet, gjorde Leibnizian analytiske beregninger bli akseptert i England. I dag, både Newton og Leibniz er gitt æren for selvstendig utvikling av grunnleggende av kalkulus. Det er Leibniz, men som er kreditert med å gi de nye disiplin det navnet han er kjent med i dag: «kalkulus». Newton ‘ s navn for det var «the science of fluents og fluxions».,

arbeidet med både Newton og Leibniz er reflektert i den notasjonen som brukes i dag. Newton introdusert notasjonen f {\displaystyle {\dot {f}}} for den deriverte av en funksjon f. Leibniz introduserte symbol ∫ {\displaystyle \int } for integrert og skrev den deriverte til en funksjon y av variabelen x som l y d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}} , som begge er fortsatt i bruk.

Siden den tid av Leibniz og Newton, mange matematikere som har bidratt til å fortsette utviklingen av kalkulus., En av de første og mest komplette fungerer på både uendelige lite og integrert analyse ble skrevet i 1748 av Maria Gaetana Agnesi.

Operative methodsEdit

Antoine Arbogast (1800) var den første til å skille symbol på drift fra mengden i en differensial ligningen. Francois-Joseph Servois (1814) ser ut til å ha vært den første til å gi riktige regler om emnet. Charles James Hargreave (1848) brukes disse metodene i sine memoarer på differensialligninger, og George Boole fritt ansatt dem., Hermann Grassmann og Hermann Hankel gjort stor bruk av teori, tidligere i å studere ligninger, den siste i hans teori om komplekse tall.

Kalkulus av variationsEdit

kalkulus av variasjoner kan sies å begynne med et problem av Johann Bernoulli (1696). Det umiddelbart okkuperte oppmerksomhet av Jakob Bernoulli men Leonhard Euler først utarbeidet for emnet. Hans bidrag begynte i 1733, og hans Elementa Calculi Variationum ga til vitenskap sitt navn., Joseph Louis Lagrange bidro mye til teori, og Adrien-Marie Legendre (1786) lagt ned en metode, ikke er helt tilfredsstillende, for diskriminering av maxima og minima. Til dette diskriminering Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Denis Poisson (1831), Mikhail Vasilievich Ostrogradsky (1834), og Carl Gustav Jakob Jacobi (1837) er blant bidragsyterne. Et viktig arbeid generelt er Sarrus (1842), som ble kondensert og forbedret av Augustin Louis Cauchy (1844)., Andre verdifulle avhandlinger og memoarer har blitt skrevet av Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hessen (1857), Alfred Clebsch (1858), og Carll (1885), men kanskje den viktigste arbeid av århundret, og ligger som Karl weierstrass teorem. Hans kurs på teorien kan hevdes å være den første til å plassere kalkulus på en solid og grundig fundament.