Good Mood

Vis Mobile Merke Vis Alle Notater Skjule Alle Notater

– Delen 4-6 : I Form av en Graf, Del II

I forrige avsnitt så vi hvordan vi kunne bruke den første deriverte av en funksjon for å få litt informasjon om grafen til en funksjon. I dette kapitlet skal vi se på informasjon som den andre deriverte av en funksjon kan gi oss en om grafen til en funksjon.

Før vi gjør dette vil vi trenge et par definisjoner ut av veien. De viktigste konseptet som vi skal drøfte i dette avsnittet er concavity. Concavity er lettest å se med en graf (vi vil gi den matematiske definisjonen i litt).,

Så, en funksjon er konkav opp hvis det «åpner» opp, og funksjonen er konkav ned hvis det «åpner» ned. Varsel så vel som concavity har ingenting å gjøre med økende eller synkende. En funksjon kan være konkav opp og enten øke eller minke. På samme måte finnes det en funksjon som kan være konkav ned og enten øke eller minke.

Det er nok ikke den beste måten å definere concavity ved å si hvilken vei det «åpner» siden dette er en noe tåkete definisjon. Her er den matematiske definisjonen av concavity.,

Definisjon 1

for Å vise at grafene over faktisk har concavity hevdet ovenfor her er grafen igjen (blåst opp litt for å gjøre ting klarere).

Så, som du kan se, i de to øverste grafene alle tangerer linjene som er tegnet i er alle under grafen til funksjonen, og disse er konkav opp. I de nederste to grafer alle tangerer linjene er over grafen til en funksjon og disse er konkav nedover.,

Igjen, legg merke til at concavity og å øke/redusere aspekt-funksjonen er helt atskilt, og som ikke har noe med hverandre å gjøre. Dette er viktig å merke seg fordi elevene ofte blande disse to opp og bruke informasjon om en for å få informasjon om de andre.

Det er en mer definisjon som vi trenger for å komme ut av veien.

Definisjon 2

Nå er at vi har alle concavity definisjoner ut av veien må vi ta med den andre avledede inn i blandingen. Vi gjorde etter alle starten av dette avsnittet sier vi kom til å bruke den andre derivater for å få informasjon om grafen. Følgende faktum gjelder den andre deriverte av en funksjon til sin concavity. Bevis på dette faktum er i Bevisene Fra Derivat Programmer delen av Statister kapittel.

Fakta

Så, hva dette faktisk forteller oss er at bøyning poeng vil være alle poengene ble den andre avledede endringer tegn., Vi så i forrige kapittel at en funksjon kan endre tegn hvis det er enten null eller ikke finnes. Vær oppmerksom på at vi jobbet med den første deriverte i forrige avsnitt, men det faktum at en funksjon muligens endre skilt hvor det er null eller ikke eksisterer, ikke har noe å gjøre med den første deriverte. Det er rett og slett et faktum som gjelder alle funksjoner uavhengig av om de er derivater eller ikke.,

Dette igjen forteller oss at en liste over mulige bøyning poeng vil være de punktene der den andre deriverte er null eller ikke eksisterer, da disse er de eneste punktene der den andre avledede kan endre fortegn.

Vær forsiktig imidlertid å ikke anta at bare fordi den andre deriverte er null eller ikke finnes det poenget vil være et vendepunkt. Vi vil bare vite at det er et vendepunkt når vi bestemme concavity på begge sider av det. Det vil bare være et vendepunkt hvis concavity er forskjellig på begge sider av punktet.,

Nå som vi vet om concavity vi kan bruke denne informasjonen, så vel som å øke/redusere opplysninger fra forrige avsnitt til å få en ganske god idé om hva en grafen skal se ut. La oss ta en titt på et eksempel på det.

Vi kan bruke den forrige eksempel for å illustrere en annen måte å klassifisere noen av de kritiske punkter for en funksjon som relative maksima eller slektning minimumskrav.

Som vi vil se i litt må vi være svært forsiktig med å bruke \(x = 0\)., I dette tilfellet den andre deriverte er null, men det vil faktisk ikke bety at \(x = 0\), er ikke et forhold minimum eller maksimum. Vi vil se noen eksempler på dette i en bit, men vi trenger å få noen andre opplysninger tatt vare på først.

Det er også viktig å merke seg her at alle de kritiske punktene i dette eksemplet var kritiske punkter i den første deriverte var null, og dette er nødvendig for at dette skal fungere. Vi vil ikke være i stand til å bruke denne testen på kritiske punkter der den deriverte eksisterer ikke.,

Her er testen som kan brukes til å klassifisere noen av de kritiske punkter for en funksjon. Resultatet av denne testen er i Proofs av Derivat Programmer delen av Statister kapittel.

Andre Avledede Test

Den tredje delen av den andre derivert testen er viktig å legge merke til. Hvis den andre deriverte er null så det kritiske punktet kan være noe. Nedenfor er grafer av tre funksjoner, alle som har et kritisk punkt i \(x = 0\), den andre deriverte av alle funksjonene er null på \(x = 0\) og likevel alle tre mulighetene er utstilt.,

Det første er grafen til \(f\left( x \right) = {x^4}\). Denne grafen har en relativ minimum på \(x = 0\).

Neste er grafen til \(f\left( x \right) = – {x^4}\), som har en relativ maksimal på \(x = 0\).

til Slutt, det er grafen til \(f\left( x \right) = {x^3}\), og denne grafen hadde verken en relativ minimum eller en relativ maksimum på \(x = 0\).

Så, vi kan se, at vi må være forsiktige hvis vi faller inn i det tredje tilfellet., For de gangene når vi faller i dette tilfellet er vi nødt til å ty til andre metoder for klassifisering av kritiske punkt. Dette er vanligvis gjort med den første deriverte test.

La oss gå tilbake og ta en titt på de kritiske punktene fra det første eksempelet, og bruke den Andre Avledede Test på dem, hvis det er mulig.

La oss jobbe ett eksempel.