Good Mood

Sfære har to sider. En feil kan være fanget inne i en sfærisk form eller krype fritt på sin synlige overflaten. Et tynt ark av papir liggende på et skrivebord, også har to sider. Sider i en bok er vanligvis nummerert to per ark. Den første ensidig overflaten ble oppdaget av A. F. Möbius (1790-1868) og bærer hans navn: Möbius bånd. Noen ganger er det alternativt kalles et Möbius-bånd. (Sannheten er, overflaten ble beskrevet uavhengig og tidligere av to måneder ved en annen tysk matematiker, J. B. Liste.) Stripen ble udødeliggjort av M. C., Escher (1898-1972).

for Å få et Möbius bånd, start med en stripe av papir. Vri den ene enden 180o (halv omdreining) og lim endene sammen (avi-filen tar 267264 byte). For sammenligning, hvis du lim endene uten å vri resultatet ville se ut som en sylinder eller en ring avhengig av bredde på bånd. Prøv å kutte stripe langs midtre linje. Folk ukjent med Topologi sjelden gjette riktig, hva som ville bli resultatet. Det er også interessant å kutte bånd 1/3 av veien til den ene kanten. Prøv det.,

jeg har satt sammen en kort (155648 bytes) avi film av en vridning Möbius bånd. (Når du kommer til film side klikk på bildet for å starte filmen.)

Nå når du vet lure, sikkert du ønsker å finne andre ensidig overflater. Før liming endene sammen du kan vri seg i the strip to eller tre ganger. Vil du få en-sidig eller to-sidig overflaten?,

P.S.

There is an additional page with an interactive Java illustration that lets one «see through» the strip in more than one sense., Og, selvfølgelig, det er andre sider viet til Möbius bånd tilgjengelig på Internett. Man fortjener en spesiell omtale. Richard Marsden (som siden har forsvunnet fra Nettet) klarte å produsere en VRML versjon av the strip. Jeg likte å rotere stripe på denne måten, og på den måten. Vet ikke hvorfor, men følgende passasje av Kunst Buchwald fra baksiden av omslaget, av efra ‘ims Kishon er Den Morsomste Mannen i Verden kom til mitt sinn:

efra’ im Kishon er den nest morsomste humorist jeg vet… Han er morsom, og jeg hater ham.,

Hvordan det er gjort på

jeg skal bare diskutere her Regnestykket som gikk inn i Möbius bånd etableringen film.

1. Det hele starter med en observasjon jeg hentet surfing MathSoft sider. For en fast rekke verdier av t, vurdere kurver

   x(t) = Rsin(t/R), y(t) = R(1 – cos(t/R)),

   parameterized av R. Hver av dem er en del av sirkelen

   x(t)2 + (y(t) – R)2 = R2.,

   For store R (og et fast utvalg av t-er), slik brikke er liten i forhold til størrelsen på sirklene og, derfor, ser nesten som en rett linje segmentet. For små verdier av R (nær 1), stykket er nærmere en komplett sirkel.

   

2. Når bitene er vist én gang for en synkende rekkefølge av R-tallet, rammer skape et inntrykk av et segment blir kastet inn i en sirkel. For å generere filmen, jeg brukte 21 rammer nummerert fra 0 til 20, med radius endre i henhold til formelen

   R(k) = 21 / (k + 1),

   hvor k er en bildenummer.,

3. Opprette en Möbius bånd er en 3-dimensjonal affære. Derfor, i tillegg til x (horisontalt) og y (vertikalt) koordinerer vi trenger også en z-koordinaten. Tenk på at koordinere som rettet vinkelrett mot skjermen. For det første segmentet, som er mer som en del av en rett linje enn en sirkulær arc, jeg tok z = const for lengden av segmentet. Segmentet blir et rektangel, et «band» – å bli kastet inn i en Möbius bånd., Rektangelet har to sider: den opprinnelige segmentet, som nedenfor er referert til som «den (xy) – segmentet», og vinkelrett side, referert til som «z segment.»

4. Som (xy) segmentet kaster seg inn i en sirkel, z segment roterer i (yz) – planet. Jeg har diskutert rotasjon av et fly på min cycloids sider. Et forbehold er imidlertid i orden. For å skape et Möbius bånd, vi har å vri hele rektangel, ikke bare sin z ender., Imidlertid forskjellige deler av rektangelet skal rotere på ulike hastigheter – slutten roterende den raskeste mens midt på the strip shouldnot flytte i det hele tatt. Derfor vil jeg bruke den mengde

   w = (t – tmiddle)2

   som angular velocity for z segment på ulike punkter på brettet (xy) segmentet. Mengden er svært nær 0 poeng for nær midten av the strip.

5. til Slutt, de to endene av stripen skal rotere i motsatt retning. Slik at i tillegg rotasjon matrix måtte bli multiplisert med

   tegn(t – tmiddle).

det er det., En veldig praktisk anvendelse av litt Trigonometri og Analytisk Geometri. Det er anothercreation film, 303104 byte. Det viser front-visning av den kronglete strip.

Et brev fra Alexander Grässer beskriver videre skjæring (men nå også lime) aktiviteter. Det er mulig å lime sammen to bånd av papir, må du være disse sylindere eller moebius strimler. Selv i tilfelle av to sylindere resultatet vil overraske de fleste av foreldrene, for ikke å nevne sine barn.

Min logo er også en en-sidig overflaten.,

Referanse

1. S. Barr, Eksperimenter I Topologi, Dover Publications, new york, 1989
2. R. Courant og H. Robbins, Hva er Matematikk? Oxford University Press, 1996
3. K. Devlin, Matematikk: Vitenskapen om Mønstre, Scientific American Library, 1997
4. D. Hilbert og S. Cohn-Vossen, Geometri og Fantasi, Chelsea Publishing Co, new york 1990.
5. C. A. Pickover, Den Mobius Strip: Dr., August Mobius er Fantastisk Band i Matematikk, Spill, Litteratur, Kunst, Teknologi, og Kosmologi, Thunder ‘ s Munn Trykk, 2006

|Kontakt||Forsiden||Innhold||Visste du at?||Geometri|