biografie – wie was Pascal
Blaise Pascal (1623-1662)
De Fransman Blaise Pascal was een prominente 17e-eeuwse wetenschapper, filosoof en wiskundige. Zoals zoveel grote wiskundigen, was hij een wonderkind en volgde hij vele verschillende wegen van intellectuele inspanning gedurende zijn hele leven., Veel van zijn vroege werk was op het gebied van de natuur-en toegepaste wetenschappen, en hij heeft een natuurkundige wet naar hem genoemd (dat “druk die overal in een geconditioneerde vloeistof wordt uitgeoefend, gelijkelijk en onverminderd in alle richtingen door de vloeistof wordt overgebracht”), evenals de internationale eenheid voor het meaurement van druk. In de filosofie, Pascals’ inzet is zijn pragmatische benadering van het geloven in God op de grond dat is het een betere “inzet” dan niet te.maar Pascal was ook een wiskundige van de eerste orde., Op zestienjarige leeftijd schreef hij een belangrijke verhandeling over de projectieve meetkunde, bekend als de Stelling van Pascal, die stelt dat, als een zeshoek in een cirkel is ingeschreven, de drie snijpunten van tegenover elkaar liggende zijden op één lijn liggen, de pascallijn genoemd. Als jonge man bouwde hij een functionele rekenmachine, in staat om toevoegingen en aftrekken uit te voeren, om zijn vader te helpen met zijn belastingberekeningen.,
Pascal ‘ s Triangle
de tabel van binomiale coëfficiënten bekend als Pascal ’s Triangle
hij is echter het best bekend voor Pascal’ s Triangle, een handige tabelweergave van binomiale co-efficienten, waarbij elk getal de som is van de twee getallen direct daarboven. Een binomiaal is een eenvoudig type algebraïsche expressie die slechts twee termen heeft die alleen worden gebruikt door optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en positieve gehele getal exponenten, zoals (x + y)2., De co-efficienten die ontstaan wanneer een binomiaal wordt geëxpandeerd vormen een symmetrische driehoek (zie afbeelding rechts).
Pascal was verre van de eerste die deze driehoek bestudeerde. De Perzische wiskundige Al-Karaji had al in de 10e eeuw iets dergelijks geproduceerd, en de driehoek heet Yang Hui ’s driehoek in China na de 13e eeuw Chinese wiskundige, en Tartaglia’ s driehoek in Italië na de gelijknamige 16e eeuw Italiaanse., Maar Pascal leverde wel een elegant bewijs door de getallen te definiëren door recursie, en hij ontdekte ook veel nuttige en interessante patronen tussen de rijen, kolommen en diagonalen van de array van getallen. Bijvoorbeeld, kijken naar de diagonalen alleen, na de buitenkant “huid” van 1 ‘ s, de volgende diagonaal (1, 2, 3, 4, 5,…) is de natuurlijke getallen in volgorde. De volgende diagonaal binnen die (1, 3, 6, 10, 15,…) is de driehoekige getallen in volgorde. De volgende (1, 4, 10, 20, 35,…) is de piramidale driehoekige getallen, etc, etc., Het is ook mogelijk om priemgetallen, Fibonacci-getallen, Catalaanse getallen en vele andere reeksen te vinden, en zelfs om fractalpatronen erin te vinden.
Pascal maakte ook de conceptuele sprong om de driehoek te gebruiken om problemen in de kansrekening op te lossen. In feite was het door zijn samenwerking en correspondentie met zijn Franse tijdgenoot Pierre de Fermat en de Nederlander Christiaan Huygens over dit onderwerp dat de wiskundige theorie van waarschijnlijkheid werd geboren., Vóór Pascal bestond er geen feitelijke waarschijnlijkheidstheorie – ondanks Gerolamo Cardano ‘ s vroege expositie in de 16e eeuw – alleen maar een (soort) begrip van het berekenen van “kansen” in dobbelstenen en kaartspellen door even waarschijnlijke uitkomsten te tellen. Sommige schijnbaar vrij elementaire problemen in waarschijnlijkheid hadden enkele van de beste wiskundigen ontweken, of aanleiding gegeven tot onjuiste oplossingen.,het was aan Pascal (met Fermat ’s hulp) om de afzonderlijke draden van voorkennis (inclusief Cardano’ s vroege werk) samen te brengen en geheel nieuwe wiskundige technieken te introduceren voor de oplossing van problemen die tot nu toe geen oplossing hadden gevonden., Twee van zulke onverzettelijke problemen waar Pascal en Fermat zich op toeleggen waren de ondergang van de gokker (het bepalen van de kansen om te winnen voor elk van twee mannen die een bepaald dobbelspel met zeer specifieke regels Spelen) en het probleem van de punten (het bepalen hoe de winsten van een spel moeten worden verdeeld tussen twee even bekwame spelers als het spel voortijdig werd beëindigd). Zijn werk over het probleem van de punten in het bijzonder, hoewel ongepubliceerd op het moment, was zeer invloedrijk in het zich ontvouwende nieuwe gebied.,
het probleem van punten
Fermat en Pascal ‘ s oplossing voor het probleem van punten
het probleem van punten op zijn eenvoudigste kan worden geïllustreerd door een eenvoudig spel van “winner take all” waarbij een munt wordt gegooid. De eerste van de twee spelers (zeg, Fermat en Pascal) om tien punten of wint is om een pot van 100 Frank te ontvangen. Maar, als het spel wordt onderbroken op het punt waar Fermat, zeg, is het winnen van 8 punten tot 7, Hoe is de 100 Frank pot te verdelen?, Fermat beweerde dat, aangezien hij nog maar twee punten nodig had om het spel te winnen, en Pascal er drie nodig had, het spel voorbij zou zijn geweest na nog vier keer gooien van de munt (want, als Pascal niet de benodigde 3 punten had gekregen voor jouw overwinning op de vier tossen, dan moet Fermat de nodige 2 punten hebben behaald voor zijn overwinning, en vice versa. Fermat gaf vervolgens een uitputtende opsomming van de mogelijke uitkomsten van de vier beurten, en concludeerde dat hij 11 van de 16 mogelijke uitkomsten zou winnen, dus stelde hij voor dat de 100 francs 11⁄16 (0,6875) aan hem en 5⁄16 (0,3125) aan Pascal zouden worden gesplitst.,
Pascal zocht vervolgens naar een manier om het probleem te veralgemenen die de vervelende opsomming van mogelijkheden zou vermijden, en realiseerde zich dat hij rijen uit zijn driehoek van coëfficiënten kon gebruiken om de getallen te genereren, ongeacht hoeveel tossen van de munt overbleven. Omdat Fermat nog 2 punten nodig had om het spel te winnen en Pascal nog 3 punten nodig had, ging hij naar de vijfde (2 + 3) rij van de driehoek, d.w.z. 1, 4, 6, 4, 1., De eerste 3 termen bij elkaar opgeteld (1 + 4 + 6 = 11) vertegenwoordigde de uitkomsten waar Fermat zou winnen, en de laatste twee termen (4 + 1 = 5) de uitkomsten waar Pascal zou winnen, uit het totale aantal uitkomsten vertegenwoordigd door de som van de hele rij (1 + 4 + 6 +4 +1 = 16).Pascal en Fermat hadden door hun correspondentie een zeer belangrijk concept begrepen dat, hoewel misschien intuïtief voor ons vandaag, alles behalve revolutionair was in 1654., Dit was het idee van even waarschijnlijke uitkomsten, dat de waarschijnlijkheid van iets dat zich voordoet kon worden berekend door het aantal even waarschijnlijke manieren op te sommen, en dit te delen door het totale aantal mogelijke uitkomsten van de gegeven situatie. Dit maakte het gebruik van fracties en verhoudingen in de berekening van de waarschijnlijkheid van gebeurtenissen, en de werking van vermenigvuldiging en optelling op deze fractionele waarschijnlijkheden., Bijvoorbeeld, de kans om een 6 op een dobbelsteen twee keer te gooien is 1 ⁄ 6 x 1 ⁄ 6 = 1 ⁄ 36 (“en” werkt als vermenigvuldiging); de kans om ofwel een 3 of een 6 te gooien is 1⁄6 + 1⁄6 = 1⁄3 (“of” werkt als toevoeging).later in het leven identificeerden Pascal en zijn zus Jacqueline zich sterk met de extreem katholieke religieuze beweging van het jansenisme. Na de dood van zijn vader en een “mystieke ervaring” eind 1654, had hij zijn “tweede bekering” en gaf hij zijn wetenschappelijke werk volledig op en wijdde zich aan filosofie en theologie., Zijn twee beroemdste werken, de “lettres provinciales” en de “Pensées”, dateren uit deze periode, die bij zijn dood in 1662 onvolledig bleef. Ze blijven Pascal ‘ s bekendste nalatenschap, en hij wordt vandaag de dag meestal herinnerd als een van de belangrijkste auteurs van de Franse klassieke periode en een van de grootste meesters van het Franse proza, veel meer dan voor zijn bijdragen aan de wiskunde.,
| << Back to Fermat | Forward to Newton >> |
