mobiele notitie tonen Toon alle notities Verberg alle notities
sectie 4-6 : de vorm van een grafiek, Deel II
in de vorige sectie zagen we hoe we de eerste afgeleide van een functie konden gebruiken om wat informatie over de grafiek van een functie te krijgen. In deze sectie gaan we kijken naar de informatie die de tweede afgeleide van een functie ons een kan geven over de grafiek van een functie.
voordat we dit doen moeten we een paar definities uit de weg. Het belangrijkste concept dat we zullen bespreken in deze sectie is concaviteit. Concaviteit is het makkelijkst te zien met een grafiek (we geven de wiskundige definitie in een beetje).,
dus, een functie is concave up als het” opent “up en de functie is concave down als het” opent ” down. Merk ook op dat concaviteit niets te maken heeft met stijgen of dalen. Een functie kan concaaf omhoog en hetzij verhogen of verlagen. Op dezelfde manier kan een functie concaaf zijn en verhogen of verlagen.
Het is waarschijnlijk niet de beste manier om concaviteit te definiëren door te zeggen welke kant het “opent”, aangezien dit een enigszins vage definitie is. Hier is de wiskundige definitie van concaviteit.,
definitie 1
om aan te tonen dat bovenstaande grafieken inderdaad concaviteit hebben geclaimd hier is de grafiek weer (een beetje opgeblazen om dingen duidelijker te maken).
dus, zoals u kunt zien, zijn in de twee bovenste grafieken alle raaklijnen die zijn geschetst allemaal onder de grafiek van de functie en deze zijn concaaf omhoog. In de onderste twee grafieken zijn alle raaklijnen boven de grafiek van de functie en deze zijn concaaf naar beneden.,
merk nogmaals op dat concaviteit en het toenemende/afnemende aspect van de functie volledig gescheiden zijn en niets met elkaar te maken hebben. Dit is belangrijk om op te merken, omdat studenten vaak mengen deze twee en gebruik maken van informatie over de ene om informatie over de andere te krijgen.
er is nog een definitie die we uit de weg moeten gaan.
definitie 2
een punt \(x = c\) wordt een buigpunt genoemd als de functie continu is op het punt en de concaviteit van de grafiek verandert op dat punt.,
nu we alle concaviteitsdefinities uit de weg hebben moeten we de tweede afgeleide in de mix brengen. We zijn immers begonnen met deze sectie te zeggen dat we de tweede afgeleide zouden gebruiken om informatie over de grafiek te krijgen. Het volgende feit relateert de tweede afgeleide van een functie aan zijn concaviteit. Het bewijs van dit feit is in de bewijzen van afgeleide toepassingen sectie van het hoofdstuk Extra ‘ s.
feit
dus, wat dit feit ons vertelt is dat de buigpunten alle punten zullen zijn die het tweede afgeleide veranderteken waren., We zagen in het vorige hoofdstuk dat een functie tekens kan veranderen als deze ofwel nul is of niet bestaat. Merk op dat we werkten met de eerste afgeleide in de vorige sectie, maar het feit dat een functie mogelijk tekens verandert waar het nul is of niet bestaat heeft niets te maken met de eerste afgeleide. Het is gewoon een feit dat van toepassing is op alle functies, ongeacht of ze derivaten zijn of niet.,
Dit vertelt ons op zijn beurt dat een lijst van mogelijke buigpunten die punten zullen zijn waar de tweede afgeleide nul is of niet bestaat, aangezien dit de enige punten zijn waar de tweede afgeleide van teken kan veranderen.
wees echter voorzichtig om niet de veronderstelling te maken dat alleen omdat de tweede afgeleide nul is of niet bestaat dat het punt een buigpunt zal zijn. We zullen pas weten dat het een buigpunt is als we de concaviteit aan beide zijden ervan bepalen. Het zal slechts een buigpunt zijn als de concavity aan beide kanten van het punt verschillend is.,
nu we weten over concavity kunnen we deze informatie gebruiken, evenals de toenemende/afnemende informatie uit de vorige sectie om een vrij goed idee te krijgen van hoe een grafiek eruit zou moeten zien. Laten we daar een voorbeeld van nemen.
we kunnen het vorige voorbeeld gebruiken om een andere manier te illustreren om sommige kritieke punten van een functie te classificeren als relatieve Maxima of relatieve minima.
zoals we straks zullen zien moeten we heel voorzichtig zijn met \(x = 0\)., In dit geval is de tweede afgeleide nul, maar dat betekent niet dat \(x = 0\) Geen relatief minimum of maximum is. We zullen een paar voorbeelden hiervan zien in een beetje, maar we moeten eerst wat andere informatie regelen.
Het is ook belangrijk om hier op te merken dat alle kritieke punten in dit voorbeeld kritische punten waren waarin de eerste afgeleide nul was en dit is nodig om dit te laten werken. We zullen deze test niet kunnen gebruiken op kritieke punten waar de afgeleide niet bestaat.,
Hier is de test die kan worden gebruikt om een aantal kritieke punten van een functie te classificeren. Het bewijs van deze test is in de bewijzen van Derivatentoepassingen sectie van het hoofdstuk Extra ‘ s.
tweede afgeleide test
het derde deel van de tweede afgeleide test is belangrijk om op te merken. Als de tweede afgeleide nul is dan kan het kritieke punt alles zijn. Hieronder staan de grafieken van drie functies die allemaal een kritiek punt hebben op \(x = 0\), de tweede afgeleide van alle functies is nul op \(x = 0\) en toch worden alle drie de mogelijkheden tentoongesteld.,
de eerste is de grafiek van \(F \ left (x \ right) = {x^4}\). Deze grafiek heeft een relatief minimum op \(x = 0\).
Vervolgens is de grafiek van \(F\left( x \right) = – {x^4}\) die een relatief maximum heeft op \(x = 0\).
tenslotte is er de grafiek van \(F\left( x \right) = {x^3}\) en deze grafiek had noch een relatief minimum noch een relatief maximum op \(x = 0\).
dus we kunnen zien dat we voorzichtig moeten zijn als we in het derde geval vallen., Voor die momenten dat we in dit geval vallen zullen we onze toevlucht moeten nemen tot andere methoden om het kritieke punt te classificeren. Dit wordt meestal gedaan met de eerste afgeleide test.
laten we teruggaan en een kijkje nemen op de kritieke punten uit het eerste voorbeeld en de tweede afgeleide Test op hen gebruiken, indien mogelijk.
laten we nog een voorbeeld gebruiken.
