Good Mood

AncientEdit

De oude periode introduceerde enkele ideeën die leidden tot integrale calculus, maar lijkt deze ideeën niet te hebben ontwikkeld in een rigoureuze en systematische weg. Berekeningen van volumes en gebieden, een doel van integrale calculus, zijn te vinden in de Egyptische Moskouse Papyrus (CA., 1820 v.Chr.), maar de formules worden alleen gegeven voor concrete getallen, sommige zijn slechts bij benadering waar, en ze worden niet afgeleid door deductieve redenering. Babyloniërs kunnen de trapeziumregel hebben ontdekt tijdens astronomische observaties van Jupiter.vanaf het tijdperk van de Griekse wiskunde gebruikte Eudoxus (ca. 408-355 v. Chr.) de methode van uitputting, die het begrip limiet voorafschaduwt, om gebieden en volumes te berekenen, terwijl Archimedes (CA. 287-212 v. Chr.) dit idee verder ontwikkelde door heuristiek uit te vinden die lijkt op de methoden van integrale calculus., Griekse wiskundigen worden ook gecrediteerd met een significant gebruik van infinitesimalen. Democritus is de eerste persoon die de indeling van objecten in een oneindig aantal doorsneden serieus overweegt, maar zijn onvermogen om discrete doorsneden te rationaliseren met de gladde helling van een kegel verhinderde hem het idee te accepteren. Op ongeveer hetzelfde moment, Zeno van Elea in diskrediet infinitesimals verder door zijn articulatie van de paradoxen die zij creëren.,Archimedes ontwikkelde deze methode verder, terwijl hij ook heuristische methoden uitvond die enigszins lijken op moderne concepten in zijn de kwadratuur van de parabool, de methode, en op de bol en cilinder. Men moet echter niet denken dat infinitesimals in deze tijd op een rigoureuze basis werden gezet. Pas wanneer het werd aangevuld met een juist Meetkundig bewijs zouden Griekse wiskundigen een stelling als waar accepteren., Pas in de 17e eeuw werd de methode geformaliseerd door Cavalieri als de methode van Indivisibles en uiteindelijk door Newton opgenomen in een algemeen kader van integrale calculus. Archimedes was de eerste die de raaklijn vond aan een andere kromme dan een cirkel, in een methode die verwant is aan de differentiaalrekening. Tijdens het bestuderen van de spiraal, scheidde hij de beweging van een punt in twee componenten, een radiale beweging component en een cirkelvormige beweging component, en vervolgens bleef de twee componenten bewegingen samen te voegen, waardoor het vinden van de raaklijn aan de kromme., De pioniers van de calculus zoals Isaac Barrow en Johann Bernoulli waren ijverige studenten van Archimedes; zie bijvoorbeeld C. S. Roero (1983).de methode van uitputting werd opnieuw uitgevonden in China door Liu Hui in de 4e eeuw na Christus om de oppervlakte van een cirkel te vinden. In de 5e eeuw stelde Zu Chongzhi een methode op die later Cavalieri ‘ s principe zou worden genoemd om het volume van een bol te vinden.in het islamitische Midden-Oosten heeft de 11e-eeuwse Arabische wiskundige Ibn al-Haytham (Alhazen) een formule afgeleid voor de som van de vierde machten., Hij gebruikte de resultaten om wat nu een integratie zou worden genoemd uit te voeren, waarbij de formules voor de sommen van integraalvierkanten en vierde machten hem in staat stelden om het volume van een paraboloïde te berekenen. In de 12e eeuw ontdekte de Perzische wiskundige Sharaf al-Dīn al-Tūsī de afgeleide van kubieke veeltermen. Zijn verhandeling over vergelijkingen ontwikkelde concepten met betrekking tot differentiaalrekening, zoals de afgeleide functie en de maxima en minima van krommen, om kubieke vergelijkingen op te lossen die mogelijk geen positieve oplossingen hebben.,sommige ideeën over calculus verschenen later in de Indiase wiskunde, aan de Kerala school of astronomy and mathematics. Madhava van Sangamagrama in de 14e eeuw, en later wiskundigen van de Kerala school, verklaarde componenten van calculus zoals de Taylor-serie en oneindige reeks benaderingen. Echter, ze waren niet in staat om veel verschillende ideeën te combineren onder de twee verenigende thema ‘ s van de afgeleide en de integraal, tonen de verbinding tussen de twee, en zet calculus in de krachtige probleemoplossend instrument dat we vandaag hebben.,de wiskundige studie van continuïteit werd in de 14e eeuw nieuw leven ingeblazen door de Oxford Calculators en Franse medewerkers zoals Nicole Oresme. Ze bewees de “Merton mean speed theorem”: dat een uniform versneld lichaam dezelfde afstand aflegt als een lichaam met uniforme snelheid waarvan de snelheid de helft is van de uiteindelijke snelheid van het versnelde lichaam.in de 17e eeuw bespraken Europese wiskundigen Isaac Barrow, René Descartes, Pierre de Fermat, Blaise Pascal, John Wallis en anderen het idee van een afgeleide., In het bijzonder ontwikkelde Fermat in Methodus ad disquirendam maximam et minima en in de tangentibus linearum curvarum een adequate methode voor het bepalen van maxima, minima en raaklijnen aan verschillende krommen die nauw gerelateerd was aan differentiatie. Isaac Newton zou later schrijven dat zijn eigen vroege ideeën over calculus rechtstreeks afkomstig waren van “Fermat’ s manier van het tekenen van raaklijnen.,aan de integrale kant ontwikkelde Cavalieri zijn methode van indivisibles in de jaren 1630 en 1640, die een modernere vorm van de oude Griekse methode van uitputting verschafte, en die Cavalieri ‘ s kwadratuurformule berekende, het gebied onder de krommen xn van hogere graad, die voorheen alleen door Archimedes voor de parabool was berekend. Torricelli breidde dit werk uit naar andere krommen zoals de cycloïde, waarna de formule in 1656 door Wallis werd veralgemeend naar fractionele en negatieve machten., In een verhandeling uit 1659 wordt Fermat gecrediteerd met een ingenieuze truc om de integraal van elke machtsfunctie direct te evalueren. Fermat verkreeg ook een techniek voor het vinden van de zwaartekrachtcentra van verschillende vlakke en vaste figuren, die verder werk in de kwadratuur beà nvloedden. James Gregory, beïnvloed door Fermat ‘ s bijdragen aan zowel de tangency als de kwadratuur, was toen in staat om een beperkte versie van de tweede fundamentele stelling van calculus te bewijzen in het midden van de 17e eeuw. Het eerste volledige bewijs van de fundamentele stelling van calculus werd gegeven door Isaac Barrow.:p.,61 wanneer boog ME ~ boog NH op raakpunt F fig.26

Het eerste bewijs van de stelling van Rolle werd gegeven door Michel Rolle in 1691 met behulp van methoden ontwikkeld door de Nederlandse wiskundige Johann Van Waveren Hudde., De gemiddelde waardestelling in zijn moderne vorm werd ook na de oprichting van de moderne calculus verklaard door Bernard Bolzano en Augustin-Louis Cauchy (1789-1857). Belangrijke bijdragen werden ook geleverd door Barrow, Huygens, en vele anderen.

Newton en LeibnizEdit

Voor Newton en Leibniz verwees het woord “calculus” naar een deelgebied van de wiskunde, maar in de volgende jaren werd “calculus” een populaire term voor een deelgebied van de wiskunde gebaseerd op hun inzichten., Newton en Leibniz, voortbouwend op dit werk, ontwikkelden onafhankelijk van elkaar de omringende theorie van de infinitesimale calculus in de late 17e eeuw. Ook deed Leibniz veel werk met het ontwikkelen van consistente en nuttige notatie en concepten. Newton leverde enkele van de belangrijkste toepassingen in de fysica, vooral van de integrale calculus. Het doel van deze sectie is het onderzoek van Newton en Leibniz naar het zich ontwikkelende veld van de infinitesimale calculus te onderzoeken., Bijzondere aandacht zal worden besteed aan de rechtvaardiging en de beschrijvende termen die zij hebben gebruikt in een poging de calculus te begrijpen zoals zij die zelf hebben opgevat.tegen het midden van de 17e eeuw had de Europese wiskunde zijn primaire verzameling van kennis veranderd. In vergelijking met de vorige eeuw, waarin de Hellenistische wiskunde als uitgangspunt voor onderzoek werd gehanteerd, keken Newton, Leibniz en hun tijdgenoten steeds meer naar de werken van modernere denkers., Europa was de thuisbasis geworden van een groeiende wiskundige gemeenschap en met de komst van versterkte institutionele en organisatorische grondslagen werd een nieuw niveau van organisatie en academische integratie bereikt. Belangrijk, echter, de gemeenschap ontbrak formalisme; in plaats daarvan bestond uit een wanordelijke massa van verschillende methoden, technieken, notaties, theorieën en paradoxen.

Newton kwam naar calculus als onderdeel van zijn onderzoek in de natuurkunde en meetkunde. Hij zag calculus als De wetenschappelijke beschrijving van het genereren van beweging en magnitudes., Ter vergelijking, Leibniz richtte zich op de raaklijn probleem en kwam te geloven dat calculus was een metafysische verklaring van verandering. Belangrijk, de kern van hun inzicht was de formalisering van de inverse eigenschappen tussen de integraal en het differentieel van een functie. Dit inzicht was door hun voorgangers geanticipeerd, maar zij waren de eersten die calculus zagen als een systeem waarin nieuwe retoriek en beschrijvende termen werden gecreëerd., Hun unieke ontdekkingen liggen niet alleen in hun verbeelding, maar ook in hun vermogen om de inzichten om hen heen te synthetiseren in een universeel algoritmisch proces, waardoor een nieuw wiskundig systeem wordt gevormd.Newtonedit

Newton voltooide geen definitieve publicatie die zijn fluxional calculus formaliseerde; veel van zijn wiskundige ontdekkingen werden verzonden via correspondentie, kleinere papers of als ingebedde aspecten in zijn andere definitieve compilaties, zoals de Principia en Opticks., Newton zou zijn wiskundige opleiding beginnen als de uitverkoren erfgenaam van Isaac Barrow in Cambridge. Zijn bekwaamheid werd al vroeg erkend en hij leerde snel de huidige theorieën. In 1664 had Newton zijn eerste belangrijke bijdrage geleverd door de binomiale stelling te bevorderen, die hij had uitgebreid tot fractionele en negatieve exponenten. Newton slaagde erin de toepasbaarheid van de binomiale stelling uit te breiden door de algebra van eindige grootheden toe te passen in een analyse van oneindige reeksen., Hij toonde zich bereid om oneindige reeksen niet alleen te zien als benaderende apparaten, maar ook als alternatieve vormen van het uitdrukken van een term.veel van Newton ‘ s kritische inzichten vonden plaats tijdens de pestjaren 1665-1666, die hij later beschreef als “the prime of my age for invention and minded mathematics and philosophy more than at any time since.”Het was tijdens zijn pest-geïnduceerde isolatie dat de eerste geschreven conceptie van fluxionaire calculus werd opgenomen in de ongepubliceerde de Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas., In dit artikel bepaalde Newton de oppervlakte onder een curve door eerst een kortstondige veranderingssnelheid te berekenen en vervolgens de totale oppervlakte te extrapoleren. Hij begon met te redeneren over een oneindig kleine driehoek waarvan de oppervlakte een functie is van x en y. vervolgens redeneerde hij dat de infinitesimale toename in de abscis een nieuwe formule zal creëren waarin x = x + o (belangrijker nog, o is de letter, niet het cijfer 0). Hij herberekende vervolgens het gebied met behulp van de binomiale stelling, verwijderde alle grootheden die de letter o bevatten en vormde een algebraïsche uitdrukking voor het gebied., Veelbetekenend zou Newton dan de hoeveelheden die o bevatten” uitwissen “omdat termen” vermenigvuldigd met het niets zullen zijn ten opzichte van de rest”.

Op dit punt begon Newton de centrale eigenschap van inversie te realiseren. Hij had een uitdrukking gemaakt voor het gebied onder een curve door een tijdelijke toename op een punt te overwegen. In feite werd de fundamentele stelling van calculus in zijn berekeningen ingebouwd. Hoewel zijn nieuwe formulering ongelooflijke mogelijkheden bood, was Newton zich goed bewust van de logische beperkingen op dat moment., Hij geeft toe dat” fouten niet mogen worden genegeerd in de wiskunde, hoe klein ook “en dat wat hij had bereikt werd” kort uitgelegd in plaats van nauwkeurig aangetoond.”

in een poging om calculus een meer rigoureuze uitleg en raamwerk te geven, stelde Newton in 1671 de Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum samen. In dit boek vormde en definieerde Newtons strikte empirisme zijn fluxional calculus. Hij exploiteerde ogenblikkelijke beweging en infinitesimalen informeel. Hij gebruikte wiskunde als methodologisch hulpmiddel om de fysieke wereld te verklaren., De basis van Newton ‘ s herziene calculus werd continuïteit; als zodanig herdefinieerde hij zijn berekeningen in termen van continue vloeiende beweging. Voor Newton zijn variabele magnitudes geen aggregaten van infinitesimale elementen, maar worden ze gegenereerd door het onbetwistbare feit van beweging. Zoals bij veel van zijn werken stelde Newton de publicatie uit. Methodus Fluxionum werd pas in 1736 gepubliceerd.

Newton probeerde het gebruik van het infinitesimaal te vermijden door berekeningen te maken op basis van verhoudingen van veranderingen., In de Methodus Fluxionum definieerde hij de snelheid van gegenereerde verandering als een fluxion, die Hij vertegenwoordigde door een gestippelde letter, en de hoeveelheid gegenereerd hij gedefinieerd als een vloeiend. Bijvoorbeeld, als x {\displaystyle {x}} en y {\displaystyle {y}} vloeibaarheden zijn, dan zijn x {\displaystyle {\dot {x}}} en y {\displaystyle {\dot {y}}} hun respectievelijke vloeibaarheden., Deze herziene calculus van Ratio ‘ s werd verder ontwikkeld en werd volwassen verklaard in de tekst de Quadratura Curvarum uit 1676, waarin Newton de huidige afgeleide definieerde als de ultieme verhouding van verandering, die hij definieerde als de verhouding tussen vluchtige incrementen (de verhouding van fluxionen) puur op het moment in kwestie. In wezen is de uiteindelijke verhouding de verhouding als de stappen verdwijnen in het niets., Belangrijk is dat Newton het bestaan van de ultieme ratio verklaart door aan te spreken op beweging;

” want met de ultieme snelheid wordt bedoeld dat, waarmee het lichaam wordt bewogen, niet voordat het op zijn laatste plaats aankomt, wanneer de beweging ophoudt noch erna, maar op het moment dat het aankomt… de uiteindelijke verhouding van vluchtige grootheden moet worden begrepen, de verhouding van grootheden niet voordat ze verdwijnen, niet erna, maar waarmee ze verdwijnen”

Newton ontwikkelde zijn fluxionale calculus in een poging om het informele gebruik van infinitesimalen in zijn berekeningen te ontwijken.,

LeibnizEdit

terwijl Newton begon met de ontwikkeling van zijn fluxional calculus in 1665-1666 werden zijn bevindingen pas later wijd verspreid. In de tussenliggende jaren streefde Leibniz ook naar het creëren van zijn calculus., In vergelijking met Newton die op jonge leeftijd naar wiskunde kwam, begon Leibniz zijn rigoureuze wiskunde studies met een volwassen intellect. Zijn intellectuele interesses en prestaties betroffen metafysica, recht, economie, politiek, logica en wiskunde. Om Leibniz ‘ redenering in calculus te begrijpen moet zijn achtergrond in gedachten worden gehouden. In het bijzonder, zijn metafysica die het universum beschreef als een Monadologie, en zijn plannen om een precieze formele logica te creëren waarbij, “een algemene methode waarin alle waarheden van de rede zouden worden gereduceerd tot een soort berekening.,in 1672 ontmoette Leibniz de wiskundige Huygens die Leibniz overtuigde om veel tijd te besteden aan de studie van de wiskunde. In 1673 was hij gevorderd met het lezen van Pascal ‘ s Traité des Sinus du Quarte Cercle en het was tijdens zijn grotendeels autodidactisch onderzoek dat Leibniz zei “een licht aan”. Net als Newton zag Leibniz de raaklijn als een verhouding, maar verklaarde het gewoon als de verhouding tussen ordinaten en abscissas., Hij vervolgde deze redenering om te beweren dat de integraal in feite de som van de ordinaten voor infinitesimale intervallen in de abscis was; in feite de som van een oneindig aantal rechthoeken. Uit deze definities werd de omgekeerde relatie of differentieel duidelijk en Leibniz realiseerde zich al snel het potentieel om een geheel nieuw systeem van de wiskunde te vormen. Waar Newton in de loop van zijn carrière verschillende benaderingen gebruikte naast een benadering die infinitesimalen gebruikte, maakte Leibniz dit de hoeksteen van zijn notatie en calculus.,in de manuscripten van 25 oktober tot 11 November 1675 legde Leibniz zijn ontdekkingen en experimenten met verschillende vormen van notatie vast. Hij was zich scherp bewust van de gebruikte notatietermen en zijn eerdere plannen om een precieze logische symboliek te vormen werden duidelijk. Uiteindelijk gaf Leibniz de infinitesimale stappen van abscissas en ordinaten dx En dy aan, en de optelling van oneindig veel infinitesimaal dunne rechthoeken als een lange s ( ∫ ), die het huidige integraal symbool werd ∫ {\displaystyle \scriptstyle \int } .,

hoewel Leibniz ‘ notatie wordt gebruikt door de moderne wiskunde, was zijn logische basis anders dan onze huidige. Leibniz omarmde infinitesimalen en schreef uitgebreid als, ” niet om van het oneindig kleine een mysterie te maken, zoals Pascal had.”Volgens Gilles Deleuze zijn Leibniz ‘nullen” niets, maar ze zijn geen absolute niets, ze zijn respectievelijk niets “(Leibniz’ tekst “rechtvaardiging van de calculus van infinitesimalen door de calculus van de gewone algebra”). Als alternatief definieert hij ze als, “minder dan een bepaalde hoeveelheid.,”Voor Leibniz, de wereld was een aggregaat van oneindig kleine punten en het gebrek aan wetenschappelijk bewijs voor hun bestaan deed hem niet moeite. Infinitesimalen tot Leibniz waren ideale hoeveelheden van een ander type dan merkbare aantallen. De waarheid van continuïteit werd bewezen door het bestaan zelf. Voor Leibniz was het principe van continuïteit en daarmee de geldigheid van zijn calculus verzekerd. Driehonderd jaar na het werk van Leibniz toonde Abraham Robinson aan dat het gebruik van oneindig kleine hoeveelheden in de calculus een solide basis kon worden gegeven.,

LegacyEdit

De opkomst van calculus valt op als een uniek moment in de wiskunde. Calculus is de wiskunde van beweging en verandering, en als zodanig, haar uitvinding vereiste de creatie van een nieuw wiskundig systeem. Belangrijk is dat Newton en Leibniz niet dezelfde calculus hebben gemaakt en dat zij geen idee hebben van de moderne calculus. Terwijl ze beiden betrokken waren bij het proces van het creëren van een wiskundig systeem om met variabele grootheden om te gaan, was hun elementaire basis verschillend., Voor Newton was verandering een variabele grootheid in de tijd en voor Leibniz was het het verschil dat zich uitstrekte over een reeks van oneindig nauwe waarden. Met name de beschrijvende termen die elk systeem creëerde om verandering te beschrijven, waren verschillend.Historisch was er veel discussie over de vraag of Newton Of Leibniz de eerste “uitvinder” was van de calculus. Dit argument, de Leibniz en Newton calculus controverse, waarbij Leibniz, die Duits was, en de Engelsman Newton, leidde tot een kloof in de Europese wiskundige gemeenschap die meer dan een eeuw duurde., Leibniz was de eerste om zijn onderzoeken te publiceren; het is echter duidelijk dat Newton zijn werk enkele jaren voorafgaand aan Leibniz was begonnen en al een theorie van raaklijnen had ontwikkeld tegen de tijd dat Leibniz werd geïnteresseerd in de question.It het is niet bekend in hoeverre dit invloed kan hebben gehad op Leibniz. De eerste beschuldigingen werden gemaakt door studenten en aanhangers van de twee grote wetenschappers aan het begin van de eeuw, maar na 1711 beiden werden persoonlijk betrokken, beschuldigen elkaar van plagiaat.,

het prioriteitsconflict had als gevolg dat Engelssprekende wiskundigen jarenlang werden gescheiden van die in continentaal Europa. Pas in de jaren 1820, als gevolg van de inspanningen van de analytische samenleving, Leibniziaanse analytische calculus werd geaccepteerd in Engeland. Tegenwoordig krijgen zowel Newton als Leibniz krediet voor het zelfstandig ontwikkelen van de basisprincipes van calculus. Het is Leibniz, echter, die wordt gecrediteerd met het geven van de nieuwe discipline de naam die het is bekend door vandaag: “calculus”. Newton ‘ s naam was “the science of fluents and fluxions”.,

het werk van zowel Newton als Leibniz wordt weerspiegeld in de notatie die vandaag wordt gebruikt. Newton introduceerde de notatie f {\displaystyle {\dot {f}}} voor de afgeleide van een functie f. Leibniz introduceerde het symbool ∫ {\displaystyle \int } voor de integraal en schreef de afgeleide van een functie y van de variabele x als d y D x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}} , die beide nog steeds in gebruik zijn.sinds de tijd van Leibniz en Newton hebben veel wiskundigen bijgedragen aan de verdere ontwikkeling van de calculus., Een van de eerste en meest complete werken over zowel infinitesimale als integraalrekening werd geschreven in 1748 door Maria Gaetana Agnesi.

Operational methodedit

Antoine Arbogast (1800) was de eerste die het symbool van operatie en dat van kwantiteit in een differentiaalvergelijking scheidde. Francois-Joseph Servois (1814) lijkt de eerste te zijn geweest die over dit onderwerp correcte regels gaf. Charles James Hargreave (1848) paste deze methoden toe in zijn memoires over differentiaalvergelijkingen, en George Boole gebruikte ze vrijelijk., Hermann Grassmann en Hermann Hankel maakten veel gebruik van de theorie, de eerste in het bestuderen van vergelijkingen, de laatste in zijn theorie van complexe getallen.

variatieberekening

De variatieberekening begint met een probleem van Johann Bernoulli (1696). Het trok meteen de aandacht van Jakob Bernoulli, maar Leonhard Euler werkte het onderwerp eerst uit. Zijn bijdragen begonnen in 1733, en zijn Elementa Calculi Variationum gaf de wetenschap zijn naam., Joseph Louis Lagrange droeg uitgebreid bij aan de theorie, en Adrien-Marie Legendre (1786) stelde een methode vast, die niet geheel bevredigend was, voor het onderscheid tussen maxima en minima. Aan deze discriminatie hebben onder meer Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Denis Poisson (1831), Michail Vasiljevitsj Ostrogradski (1834) en Carl Gustav Jakob Jacobi (1837) bijgedragen. Een belangrijk algemeen werk is dat van Sarrus (1842) dat werd gecondenseerd en verbeterd door Augustin Louis Cauchy (1844)., Andere waardevolle verhandelingen en memoires zijn geschreven door Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) en Carll (1885), maar misschien wel het belangrijkste werk van de eeuw is dat van Karl Weierstrass. Zijn cursus over de theorie kan worden beweerd dat de eerste calculus te plaatsen op een stevige en rigoureuze basis.