bol heeft twee zijden. Een wants kan worden gevangen in een bolvormige vorm of kruipen vrij op het zichtbare oppervlak. Een dun vel papier dat op een bureau ligt heeft ook twee kanten. Pagina ‘ s in een boek zijn meestal genummerd twee per vel papier. Het eerste eenzijdige oppervlak werd ontdekt door A. F. Möbius (1790-1868) en draagt zijn naam: Möbius strip. Soms wordt het ook wel een Möbius band genoemd. (In werkelijkheid werd het oppervlak onafhankelijk en eerder door twee maanden beschreven door een andere Duitse wiskundige J. B. Listing. De strip werd vereeuwigd door M. C., Escher (1898-1972).
om een Möbius-strook te verkrijgen, begint u met een strook papier. Draai een uiteinde 180o (halve draai) en lijm de uiteinden aan elkaar (het avi bestand duurt 267264 bytes). Ter vergelijking, als je lijm de uiteinden zonder draaien het resultaat zou lijken op een cilinder of een ring, afhankelijk van de breedte van de strip. Probeer de strook langs de middelste lijn te snijden. Mensen onbekend met topologie raden zelden goed wat de uitkomst zou zijn. Het is ook interessant om de strip 1/3 van de weg naar een rand te snijden. Probeer het.,
Ik heb een korte (155648 bytes) AVI film samengesteld van een draaiende Möbius strip. (Als je naar de film pagina klik op het frame om de film te starten.)
nu als je de truc kent, Zou je zeker andere eenzijdige oppervlakken willen vinden. Voor het lijmen van de uiteinden aan elkaar kunt u de strip twee of zelfs drie keer draaien. Krijg je eenzijdig of tweezijdig oppervlak?,
 |
 |
 |
 |
 |
 |
P.S.
There is an additional page with an interactive Java illustration that lets one “see through” the strip in more than one sense., En natuurlijk zijn er nog andere pagina ‘ s over de Möbius strip beschikbaar op Internet. Een daarvan verdient een speciale vermelding. Richard Marsden (wiens pagina van het Web is verdwenen) slaagde erin om een VRML-versie van de strip te produceren. Ik vond het leuk om de strip zo en zo te draaien. Ik weet niet waarom, maar de volgende passage van Art Buchwald uit de achterkant van Ephraim Kishon ‘ s The Funniest Man in The World schoot me te binnen: Ephraim Kishon is de op een na grappigste humorist die ik ken… Hij is hilarisch en ik haat hem.,
How it ‘ s done
Ik zal hier alleen de wiskunde bespreken die in de Möbius strip creation movie ging.
-
Het begint allemaal met een observatie die Wiskundepagina ‘ s bevat. Voor een vast bereik van waarden van t, beschouwen de krommen
x (t) = Rsin(t/R), y(t) = R(1 – cos(t/R)),
geparametreerd door R. elk van hen is een stuk van de cirkel
x(T) 2 + (y(t) – R) 2 = R2.,
voor grote R (en een vast bereik van t ‘S) is zo’ n stuk klein ten opzichte van de grootte van de cirkels en ziet het er dus bijna uit als een rechte lijn. Voor kleine waarden van R (nabij 1) ligt het stuk dichter bij een volledige cirkel.
-
wanneer de stukken één voor één worden getoond voor een afnemende volgorde van R ‘ s, creëren de frames een indruk van een segment dat in een cirkel wordt gevouwen. Om de film te genereren, gebruikte ik 21 frames genummerd 0 tot en met 20, waarbij de straal verandert volgens de formule
R(k) = 21 / (k + 1),
waarbij k een frame nummer is.,
-
het maken van een möbiusstrook is een 3-dimensionale aangelegenheid. Daarom hebben we naast de x (horizontale) en y (verticale) coördinaten ook een z-coördinaat nodig. Zie die coördinaat als loodrecht op het scherm. Voor het beginsegment, dat meer lijkt op een stuk van een rechte lijn dan op een cirkelboog, nam ik z = const voor de lengte van het segment. Het segment wordt een rechthoek – een” band ” – om te worden gevouwen in een Möbius strook., De rechthoek heeft twee zijden: het oorspronkelijke segment, dat hieronder wordt aangeduid als “het (xy) segment”, en de loodrechte zijde, aangeduid als het “Z-segment.”
-
als het (xy) segment in een cirkel vouwt, draait het Z-segment in het (yz) vlak. Ik heb de rotatie van een vliegtuig besproken op mijn cycloids pagina ‘ s. Eén kanttekening is echter op zijn plaats. Om een Möbius strip te maken, moeten we de hele rechthoek draaien, niet alleen de Z-uiteinden., Echter, verschillende delen van de rechthoek moet draaien op verschillende snelheden – het einde draaien van de snelste, terwijl het midden van de strook moetenniet bewegen. Zo gebruik ik de hoeveelheid
w = (t – tmiddle)2
als de hoeksnelheid voor het Z-segment op verschillende punten op het gevouwen (xy) segment. De hoeveelheid is bijna 0 voor punten dicht bij het midden van de strip.
-
ten slotte moeten de twee uiteinden van de strip in tegengestelde richting draaien. De rotatiematrix moest dus worden vermenigvuldigd met
teken (t – tmiddle).
dat is het., Een zeer praktische toepassing van een beetje trigonometrie en Analytische meetkunde. Er is een andere film, 303104 bytes. Het toont het vooraanzicht van de draaiende strip.
een letter van Alexander Grässer beschrijft verder snijden (maar nu ook plakken) activiteiten. Het is mogelijk om twee banden papier aan elkaar te lijmen, of deze cilinders of Moebius strips. Zelfs in het geval van twee cilinders zal het resultaat de meeste ouders verrassen, om nog maar te zwijgen van hun kinderen.
mijn logo is ook een eenzijdig oppervlak.,
referentie
- S. Barr, Experiments In Topology, Dover Publications, NY, 1989
- R. Courant en H. Robbins, What is Mathematics?, Oxford University Press, 1996
- K. Devlin, Mathematics: The Science of Patterns, Scientific American Library, 1997
- D. Hilbert and S. Cohn-Vossen, Geometry and Imagination, Chelsea Publishing Co, NY 1990.
- C. A. Pickover, The Mobius Strip: Dr., August Mobius ‘Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology, Thunder’ s Mouth Press, 2006
/ Contact / / Front page||Contents / / wist je dat?/ / Geometry /
