nadat we de kenmerken van optiecontracten hebben bekeken, kunnen we nu verder gaan om de waarde van callopties te berekenen.begin jaren zeventig maakten Myron Scholes, Robert Merton en Fisher Black een belangrijke doorbraak in de prijsstelling van complexe financiële instrumenten door het ontwikkelen van wat bekend is geworden als het Black-Scholes-model. Dit model wordt gebruikt om de waarde van een calloptie te bepalen.,
het model maakt een aantal aannames met betrekking tot de calloptie, dat:
- het onderliggende aandeel betaalt geen dividenden tijdens de looptijd van de optie;
- het te waarderen optiecontract is een Europese calloptie;
- markten zijn efficiënt;
- Er zijn geen commissies in de transactie;
- rentetarieven worden verondersteld constant te zijn;
- rendement van de onderliggende activa volgt een lognormale verdeling.,ompounded rente voor een periode van tijd)
\(t\) is de tijd in jaren tot optie expiratie
\(\sigma\) is een maat voor de jaarlijkse volatiliteit van het onderliggende aandeel, dat wordt vaak gemeten door de standaarddeviatie van de stock returns (deze wordt weergegeven in de vergelijking als de volatiliteit in het kwadraat)
\N(d)\) verwijst naar de kans dat een waarde kleiner dan “\(d\)” zal optreden in een standaard normale verdeling
\e^{rt}\) is de disconteringsfactor (\(e\) = de basis van de natuurlijke logaritme, dat wil zeggen, 2.,7183)
\(ln\) = natuurlijke logaritme
het model wordt gebruikt om de huidige waarde van een calloptie te vinden waarvan de uiteindelijke waarde afhangt van de prijs van de voorraad op de vervaldatum. Omdat de aandelenkoers blijft veranderen, zal de waarde van deze calloptie ook veranderen. Daarom, als we dit optiecontract willen verhandelen, moeten we een aantal waarschijnlijkheden gebruiken om te schatten welke verwachte waarden vandaag betrokken zijn bij de calloptie., We moeten nadenken over de waarde die we kunnen verwachten te verkrijgen door het kopen van deze optie en wat we zullen betalen als we de optie uit te oefenen.
omdat het Black-Scholes option pricing model ervan uitgaat dat het rendement op het onderliggende actief normaal wordt verdeeld, kunnen we gebruik maken van de standaard normal distribution statistical table om de waarschijnlijkheid te achterhalen dat een gebeurtenis zal plaatsvinden, en in dit geval is de gebeurtenis dat we de optie zullen uitoefenen.,
laten we het Black-Scholes-model wat nauwkeuriger bekijken:
\
\(N(d_2)\) is de kans dat de aanroep zal worden uitgevoerd, dus \(\left(\frac{E}{e^{rt}}\right)\) \(N(d_2)\) is wat je verwacht te betalen als je de optie uitoefent, verdisconteerd tot vandaag.
en wat krijgt u als u de optie gebruikt?, Dit zal afhangen van de aandelenkoers op de vervaldatum (die we weten zal boven de uitoefenprijs als u ervoor kiest om de optie uit te oefenen) en van wat we hebben aangenomen over de verdeling van de aandelenkoersen. In de vergelijking \(SN (d_1)\) is wat je kunt verwachten te ontvangen van de verkoop van het aandeel, als de optie is uitgeoefend, ook verdisconteerd tot vandaag.,
\(d_1\) en \(d_2\) hangen af van de veronderstellingen die we hebben gemaakt over hoe de aandelenkoers evolueert in de tijd, de elementen in het optiecontract (de aandelenkoers, uitoefenprijs en looptijd) en de andere inputs – de risicovrije rente en de volatiliteit van het rendement (zie de definities van respectievelijk \(D_1\) en \(d_2\)). De waarschijnlijkheden in het zwart-Scholes-model zijn functies van \(d_1\) en \(d_2\).,
als je \(d_1\) en \(d_2\) weet, dan kun je uitzoeken wat \(N(d_1)\) en \(N(d_2)\) uit de standaard normale verdelingslijst komen (dit zijn de waarschijnlijkheden die overeenkomen met waardes die kleiner zijn dan respectievelijk \(d_1\) en \(d_2\)). Met deze waarschijnlijkheden kun je dan het Black-Scholes model gebruiken om de optiewaarde, \(C\) te verkrijgen.
