Het begon allemaal met een onschuldige TikTok video gepost door een middelbare scholier genaamd Gracie Cunningham. Het toepassen van make-up tijdens het spreken in de camera, de tiener vroeg of wiskunde is “echt.”Ze voegde eraan toe:” Ik weet dat het echt is, want we leren het allemaal op school… maar wie kwam met dit concept?”Pythagoras, ze mijmert,” had niet eens sanitair-en hij zei, ‘Laat me me zorgen maken over y = mx + b ‘” -verwijzend naar de vergelijking die een rechte lijn beschrijft op een tweedimensionaal vlak. Ze vroeg zich af waar het allemaal vandaan kwam., “Ik krijg toevoeging,” zei ze, ” maar hoe zou je komen met het concept van algebra? Waar heb je het voor nodig?”
iemand heeft de video opnieuw gepost op Twitter, waar het al snel viraal ging. Veel van de reacties waren onaardig: een persoon zei dat het de “domste video” was die ze ooit hadden gezien; anderen suggereerden dat het een indicatie was van een mislukt onderwijssysteem. Anderen, ondertussen, kwamen naar Cunningham ‘ s verdediging, zeggen dat haar vragen waren eigenlijk vrij diepgaand.
@gracie.,ham
deze video maakt gevoel in mijn hoofd, maar zoals WAAROM DIT SPUL
♬ originele geluid – gracie
Wiskundigen van de Cornell en van de Universiteit van Wisconsin gewogen, net als de filosoof Philip Goff van Durham University in het verenigd koninkrijk Wiskundige Eugenia Cheng, momenteel de wetenschapper-in-residence aan het Art Institute van Chicago, schreef een twee-pagina van antwoord en zei Cunningham had opgewekt diepe vragen over de aard van de wiskunde “in een zeer diep indringende manier.,”
Cunningham had onbewust een zeer oud en onopgelost debat in de wetenschapsfilosofie opnieuw op gang gebracht. Wat is wiskunde precies? Is het uitgevonden of ontdekt? En zijn de dingen waar wiskundigen mee werken-getallen, algebraïsche vergelijkingen, meetkunde,stellingen enzovoort-echt?
sommige geleerden zijn er sterk van overtuigd dat wiskundige waarheden “daarbuiten” zijn, die wachten om ontdekt te worden—een positie die bekend staat als Platonisme., Het ontleent zijn naam aan de oude Griekse denker Plato, die zich voorstelde dat wiskundige waarheden een eigen wereld bewonen—geen fysieke wereld, maar eerder een niet-fysieke wereld van onveranderlijke perfectie; een wereld die buiten ruimte en tijd bestaat. Roger Penrose, de beroemde Britse wiskundige fysicus, is een fervent Platonist. In The Emperor ‘ s New Mind schreef hij dat er “een diepgaande realiteit lijkt te zijn over deze wiskundige concepten, die veel verder gaan dan de mentale overwegingen van een bepaalde wiskundige., Het is alsof het menselijk denken in plaats daarvan geleid wordt naar een externe waarheid-een waarheid die een eigen realiteit heeft…”
veel wiskundigen lijken deze visie te ondersteunen. De dingen die ze door de eeuwen heen hebben ontdekt—dat er geen hoogste priemgetal is; dat de vierkantswortel van twee een irrationeel getal is; dat het getal pi, uitgedrukt als een decimaal, voor altijd doorgaat-lijken eeuwige waarheden te zijn, onafhankelijk van de geesten die ze vonden., Als we op een dag intelligente aliens uit een ander sterrenstelsel zouden tegenkomen, zouden ze onze taal of cultuur niet delen, maar, zo zou de Platonist zeggen, zouden ze heel goed dezelfde wiskundige ontdekkingen hebben gedaan.”I believe that the only way to make sense of mathematics is to believe that there are objective mathematical facts, and that they are discovered by wiskundigen”, zegt James Robert Brown, een wetenschapsfilosoof die onlangs met pensioen ging aan de Universiteit van Toronto. “Werkende wiskundigen zijn overwegend platonisten., Ze noemen zichzelf niet altijd platonisten, maar als je hen relevante vragen stelt, is het altijd het Platonistische antwoord dat ze je geven.”
andere geleerden—vooral degenen die werken in andere takken van de wetenschap—bekijken Platonisme met scepsis. Wetenschappers hebben de neiging empiristen te zijn; ze stellen zich voor dat het universum bestaat uit dingen die we kunnen aanraken en proeven enzovoort; dingen die we kunnen leren door observatie en experiment., Het idee van iets dat “buiten ruimte en tijd” bestaat maakt empiristen nerveus: het klinkt beschamend als de manier waarop religieuze gelovigen over God praten, en God werd lang geleden verbannen uit respectabele wetenschappelijke discours.het platonisme, zoals wiskundige Brian Davies het stelde, “heeft meer gemeen met mystieke religies dan met de moderne wetenschap.”De angst is dat als wiskundigen Plato een duim geven, hij een mijl zal nemen. Als de waarheid van wiskundige uitspraken kan worden bevestigd door er alleen maar over na te denken, waarom dan niet ethische problemen, of zelfs religieuze vragen?, Waarom zou je je druk maken over empirisme?Massimo Pigliucci, een filosoof aan de City University Of New York, voelde zich aanvankelijk aangetrokken tot het platonisme, maar ziet het sindsdien als problematisch. Als iets geen fysiek bestaan heeft, vraagt hij, wat voor soort bestaan kan het dan hebben? “Als men’ Platonisch ‘gaat met wiskunde”, schrijft Pigliucci, gaat empirisme ” het raam uit.”(Als het bewijs van de stelling van Pythagoras buiten ruimte en tijd bestaat, waarom dan niet de “gouden regel”, of zelfs de goddelijkheid van Jezus Christus?,)
De Platonist moet verdere uitdagingen aangaan: als wiskundige objecten buiten ruimte en tijd bestaan, hoe kan het dan dat we er iets over kunnen weten? Brown heeft het antwoord niet, maar hij suggereert dat we de waarheid van wiskundige uitspraken te begrijpen “met het oog van de geest”—op een soortgelijke manier, misschien, op de manier waarop wetenschappers als Galileo en Einstein intuïteerde fysieke waarheden via “gedachte experimenten,” voordat de werkelijke experimenten kon de zaak te regelen. Denk aan een beroemd gedachte-experiment bedacht door Galileo, om te bepalen of een zwaar object sneller valt dan een lichtere., Alleen al door erover na te denken, kon Galileo afleiden dat zware en lichte objecten in dezelfde snelheid moeten vallen. De truc was om de twee aan elkaar gebonden objecten voor te stellen: trekt de zware aan de lichtere, om de lichtere sneller te laten vallen? Of werkt de lichtere als een ” rem ” om de zwaardere te vertragen? De enige oplossing die zinvol is, redeneerde Galileo, is dat objecten in hetzelfde tempo vallen, ongeacht hun gewicht., Op dezelfde manier kunnen wiskundigen bewijzen dat de hoeken van een driehoek samen 180 graden zijn, of dat er geen grootste priemgetal is—en ze hebben geen fysieke driehoeken of kiezelstenen nodig om de zaak te maken, gewoon een behendig brein.
ondertussen, notes Brown, zouden we niet al te geschokt moeten zijn door het idee van abstracties, omdat we gewend zijn om ze te gebruiken in andere onderzoeksgebieden. “Ik ben ervan overtuigd dat er abstracte entiteiten zijn, en ze zijn gewoon niet fysiek,” zegt Brown., “En ik denk dat je abstracte entiteiten nodig hebt om een hoop dingen te begrijpen—niet alleen wiskunde, maar taalkunde, ethiek—waarschijnlijk allerlei dingen.”
Platonisme heeft verschillende alternatieven. Een populaire opvatting is dat wiskunde slechts een verzameling regels is, opgebouwd uit een verzameling initiële veronderstellingen—wat wiskundigen axioma ‘ s noemen. Zodra de axioma ‘ s op hun plaats zijn, volgt een breed scala aan logische gevolgtrekkingen, hoewel veel van deze duivels moeilijk te vinden kunnen zijn., In deze visie lijkt wiskunde veel meer op een uitvinding dan op een ontdekking; op zijn minst lijkt het een veel meer mensgerichte onderneming. Een extreme versie van deze visie zou wiskunde reduceren tot iets als het schaakspel: we schrijven de regels van het Schaken op, en uit die regels volgen verschillende strategieën en gevolgen, maar we zouden niet verwachten dat die Andromedanen Schaken bijzonder zinvol vinden.
maar deze weergave heeft zijn eigen problemen. Als wiskunde gewoon iets is wat we vanuit ons eigen hoofd bedenken, waarom zou het dan zo goed “passen” bij wat we in de natuur waarnemen?, Waarom zou een kettingreactie in de kernfysica, of bevolkingsgroei in de biologie, een exponentiële curve volgen? Waarom zijn de banen van de planeten in de vorm van ellipsen? Waarom duikt de Fibonacci-sequentie op in de patronen van zonnebloemen, slakken, orkanen en spiraalstelsels? Waarom, in een notendop, is wiskunde zo verbijsterend nuttig gebleken bij het beschrijven van de fysieke wereld? Theoretisch natuurkundige Eugene Wigner benadrukt dit probleem in een beroemde 1960 essay getiteld, “De onredelijke effectiviteit van de wiskunde in de natuurwetenschappen.,”Wigner concludeerde dat het nut van wiskunde bij het aanpakken van problemen in de natuurkunde “een prachtig geschenk is dat we niet begrijpen noch verdienen.”
echter, een aantal moderne denkers geloven dat ze een antwoord hebben op Wigners dilemma. Hoewel wiskunde kan worden gezien als een reeks deducties die voortkomen uit een kleine verzameling axioma ‘s, werden die axioma’ s niet zomaar gekozen, beweren ze. Integendeel, ze werden gekozen om de reden dat ze iets te maken lijken te hebben met de fysieke wereld., Zoals Pigliucci het uitdrukt: “het beste antwoord dat ik kan geven is dat deze ‘onredelijke effectiviteit’ eigenlijk heel redelijk is, want wiskunde is in feite verbonden aan de echte wereld, en is dat vanaf het begin geweest.”
Carlo Rovelli, een theoretisch natuurkundige aan de Universiteit van Aix-Marseille in Frankrijk, wijst op het voorbeeld van de Euclidische meetkunde—de meetkunde van de vlakke ruimte die velen van ons op de middelbare school leerden., (Studenten die leren dat een gelijkzijdige driehoek drie hoeken heeft van elk 60 graden, of dat de som van de kwadraten van de twee kortere zijden van een rechthoekige driehoek gelijk is aan het kwadraat van de hypotenusa-dat wil zeggen de stelling van Pythagoras—doen Euclidische meetkunde. Een Platonist zou kunnen beweren dat de bevindingen van de Euclidische meetkunde universeel “voelen”—maar dat zijn ze niet, zegt Rovelli. “Het is alleen omdat we toevallig op een plek wonen die vreemd vlak is, dat we dit idee van Euclidische meetkunde hebben bedacht als een ‘natuurlijk ding’ dat iedereen zou moeten doen,” zegt hij., “Als de aarde een beetje kleiner was geweest, zodat we de kromming van de aarde zagen, zouden we nooit Euclidische meetkunde hebben ontwikkeld. Vergeet niet dat’ Geometrie ‘betekent’ meting van de aarde’, en de aarde is rond. We zouden in plaats daarvan sferische geometrie hebben ontwikkeld.”
Rovelli gaat verder en stelt de universaliteit van de natuurlijke getallen in vraag: 1, 2, 3, 4… Voor de meesten van ons, en zeker voor een Platonist, lijken de natuurlijke getallen natuurlijk., Als we die intelligente aliens zouden ontmoeten, zouden ze precies weten wat we bedoelden toen we zeiden dat 2 + 2 = 4 (Zodra de verklaring in hun taal werd vertaald). Niet zo snel, zegt Rovelli. Tellen “bestaat alleen waar je stenen, bomen, mensen hebt-individuele, telbare dingen,” zegt hij. “Waarom zou dat fundamenteler zijn dan bijvoorbeeld de wiskunde van vloeistoffen?”Als intelligente wezens gevonden werden in de wolken van Jupiter’ s atmosfeer, zouden ze misschien helemaal geen intuïtie hebben voor het tellen, of voor de natuurlijke getallen, zegt Rovelli., Vermoedelijk kunnen we ze leren over natuurlijke getallen—net zoals we ze de regels van het Schaken kunnen leren—maar als Rovelli gelijk heeft, suggereert het dat deze tak van de wiskunde niet zo universeel is als de platonisten zich voorstellen.
net als Pigliucci gelooft Rovelli dat wiskunde “werkt” omdat we het hebben gemaakt voor het nut ervan. “Het is alsof je vraagt waarom een hamer zo goed werkt om nagels te slaan”, zegt hij. “Het is omdat we het voor dat doel hebben gemaakt.”
in feite, zegt Rovelli, Wigner ‘ s bewering dat wiskunde spectaculair nuttig is voor het doen van wetenschap houdt niet vast aan kritisch onderzoek., Hij stelt dat veel ontdekkingen van wiskundigen nauwelijks relevant zijn voor wetenschappers. “Er is een enorme hoeveelheid wiskunde die extreem mooi is voor wiskundigen, maar volledig nutteloos voor de wetenschap,” zegt hij. “En er zijn veel wetenschappelijke problemen—zoals turbulentie, bijvoorbeeld—waar iedereen wel wat nuttige wiskunde voor zou willen vinden, maar die hebben we nog niet gevonden.”
Mary Leng, een filosoof aan de Universiteit van York, in het Verenigd Koninkrijk, heeft een verwante mening., Ze beschrijft zichzelf als een “fictionalist” – ze ziet wiskundige objecten als nuttige ficties, verwant aan de personages in een verhaal of een roman. “In zekere zin, ze zijn wezens van onze schepping, zoals Sherlock Holmes is.”
maar er is een belangrijk verschil tussen het werk van een wiskundige en het werk van een romanschrijver: de wiskunde heeft zijn wortels in begrippen als meetkunde en meting, die sterk verbonden zijn met de fysieke wereld. Weliswaar zijn sommige van de dingen die de hedendaagse wiskundigen ontdekken extreem esoterisch, maar uiteindelijk zijn wiskunde en wetenschap nauw verwante bezigheden, zegt Leng., “Omdat het is uitgevonden als een hulpmiddel om te helpen met de wetenschappen, is het minder een verrassing dat het in feite nuttig is in de wetenschappen.”
gezien het feit dat deze vragen over de aard van de wiskunde het onderwerp zijn geweest van vaak verhitte discussie voor ongeveer 2300 jaar, is het onwaarschijnlijk dat ze op korte termijn zullen verdwijnen. Het is dan ook geen verrassing dat middelbare scholieren als Cunningham zouden pauzeren om hen ook te overwegen, als ze nadenken over de stelling van Pythagoras, de meetkunde van driehoeken, en de vergelijkingen die lijnen en krommen beschrijven., De vragen die ze stelde in haar video waren helemaal niet dom, maar heel scherpzinnig: wiskundigen en filosofen stellen al duizenden jaren dezelfde imponderables.
