AncientEdit
okres starożytny wprowadził niektóre idee, które doprowadziły do rachunku całkowego, ale wydaje się, że nie rozwinęły tych idei w rygorystyczny i systematyczny sposób.sposób. Obliczenia objętości i obszarów, jeden z celów rachunku całkowego, można znaleźć w egipskim papirusie Moskiewskim (ok., 1820 p. n. e.), ale wzory podane są tylko dla liczb konkretnych, niektóre są tylko w przybliżeniu prawdziwe i nie są wyprowadzane przez rozumowanie dedukcyjne. Babilończycy mogli odkryć regułę trapezu podczas obserwacji astronomicznych Jowisza.
Eudoksos (ok. 408-355 p. n. e.) użył metody wyczerpania, która zapowiada pojęcie granicy, do obliczania obszarów i objętości, podczas gdy Archimedes (ok.287-212 p. n. e.) rozwinął tę ideę dalej, wymyślając heurystykę, która przypomina metody rachunku całkowego., Matematykom greckim przypisuje się również znaczące użycie infinitezymali. Demokryt jest pierwszą zarejestrowaną osobą, która poważnie rozważa podział obiektów na nieskończoną liczbę przekrojów, ale jego niezdolność do racjonalizacji dyskretnych przekrojów o gładkim nachyleniu stożka uniemożliwiła mu zaakceptowanie tego pomysłu. Mniej więcej w tym samym czasie Zeno z Elei skompromitował infinitezymale dalej poprzez artykulację paradoksów, które tworzą.,
Archimedes rozwinął tę metodę dalej, jednocześnie wymyślając metody heurystyczne, które przypominają współczesne koncepcje nieco w jego kwadraturze paraboli, metodzie oraz na kuli i cylindrze. Nie należy jednak myśleć, że w tym czasie infinitezymale były stawiane na rygorystycznej stopie. Dopiero wtedy, gdy został uzupełniony o odpowiedni dowód geometryczny, greccy matematycy zaakceptowaliby propozycję jako prawdziwą., Dopiero w XVII wieku metoda została sformalizowana przez Cavalieriego jako metoda niepodzielności i ostatecznie włączona przez Newtona do ogólnych ram rachunku całkowego. Archimedes jako pierwszy znalazł styczną do krzywej innej niż okrąg, w metodzie podobnej do rachunku różniczkowego. Badając spiralę, rozdzielił ruch punktu na dwa składniki, jeden składnik ruchu promieniowego i jeden składnik ruchu kołowego, a następnie kontynuował dodawanie ruchów dwuskładnikowych razem, znajdując w ten sposób styczną do krzywej., Pionierzy rachunku, tacy jak Isaac Barrow i Johann Bernoulli byli pilnymi uczniami Archimedesa; patrz na przykład C. S. Roero (1983).
metoda wyczerpania została wynaleziona w Chinach przez Liu Hui w IV wieku n. e.w celu znalezienia obszaru okręgu. W V wieku Zu Chongzhi ustalił metodę, która później została nazwana zasadą Cavalieriego, aby znaleźć objętość kuli.
MedievalEdit
w Islamskim Bliskim Wschodzie XI-wieczny Arabski matematyk Ibn Al-Haytham (Alhazen) wyprowadził wzór na sumę czterech potęg., Wyniki posłużyły mu do przeprowadzenia tzw. całkowania, gdzie wzory na sumy kwadratów całkowych i potęg czwartych pozwoliły mu obliczyć objętość paraboloidy. W XII wieku perski matematyk Sharaf al-Dīn Al-Tūsī odkrył pochodną wielomianów sześciennych. Jego traktat o równaniach rozwinął pojęcia związane z różniczkowym rachunku różniczkowym, takie jak funkcja pochodna oraz maksima i minima krzywych, w celu rozwiązania równań sześciennych, które mogą nie mieć dodatnich rozwiązań.,
niektóre pomysły na rachunek pojawiły się później w indyjskiej matematyce, w Kerala school of astronomy and mathematics. Madhava z Sangamagrama w XIV wieku, a później matematycy ze szkoły Kerala, określili składniki rachunku, takie jak szereg Taylora i przybliżenia nieskończonych szeregów. Jednak nie byli w stanie połączyć wielu różnych pomysłów w ramach dwóch tematów jednoczących pochodną i całką, pokazać związek między nimi i przekształcić rachunek różniczkowy w potężne narzędzie do rozwiązywania problemów, które mamy dzisiaj.,
matematyczne badanie ciągłości zostało ożywione w XIV wieku przez kalkulatorów oksfordzkich i francuskich współpracowników, takich jak Nicole Oresme. Udowodnili oni „twierdzenie Mertona o średniej prędkości”: że jednolicie przyspieszone ciało przemierza taką samą odległość jak ciało o jednolitej prędkości, którego prędkość jest o połowę mniejsza od prędkości końcowej przyspieszonego ciała.
wczesny ModernEdit
w XVII wieku europejscy matematycy Isaac Barrow, René Descartes, Pierre de Fermat, Blaise Pascal, John Wallis i inni omawiali ideę pochodnej., W szczególności, w Methodus ad disquirendam maximam et minima i w De tangentibus linearum curvarum, FERMAT opracował odpowiednią metodę wyznaczania maksimów, minimów i stycznych do różnych krzywych, która była ściśle związana z różnicowaniem. Isaac Newton napisał później, że jego własne wczesne pomysły dotyczące rachunku różniczkowego pochodziły bezpośrednio z „fermata' s way of drawing tangens.,”
Po stronie integralnej Cavalieri opracował swoją metodę niepodzielności w latach 1630 i 1640, dostarczając bardziej nowoczesną formę starożytnej greckiej metody wyczerpania i obliczając wzór kwadratury Cavalieriego, obszar pod krzywymi xn wyższego stopnia, który wcześniej był obliczany tylko dla paraboli, przez Archimedesa. Torricelli rozszerzył tę pracę na inne krzywe, takie jak cykloida, a następnie wzór został uogólniony na potęgi ułamkowe i ujemne przez Wallisa w 1656 roku., W Traktacie z 1659 roku FERMAT przypisuje się pomysłowy trik do oceny całki dowolnej funkcji mocy bezpośrednio. Fermat uzyskał również technikę znajdowania ośrodków ciężkości różnych płaszczyzn i brył, co wpłynęło na dalsze prace w kwadraturze. James Gregory, pod wpływem wkładu Fermata zarówno do tangencji, jak i do kwadratury, był w stanie udowodnić ograniczoną wersję drugiego podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego w połowie XVII wieku. Pierwszy pełny dowód podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego podał Isaac Barrow.: p,61 gdy Arc ME ~ arc NH w punkcie styczności f rys.26
Cieniowany obszar jednej jednostki miary kwadratowej, gdy x = 2.71828… Odkrycie liczby Eulera e i jej wykorzystanie Z FUNKCJAMI ex i logarytmem naturalnym, zakończyło teorię całkowania dla rachunku funkcji racjonalnych.
pierwszy dowód twierdzenia Rolle 'a podał Michel Rolle w 1691 roku przy użyciu metod opracowanych przez holenderskiego matematyka Johanna van waverena Hudde' a., Twierdzenie o średniej wartości w nowoczesnej formie zostało sformułowane przez Bernarda Bolzano i Augustina-Louisa Cauchy ' ego (1789-1857) również po założeniu nowoczesnego rachunku różniczkowego. Ważnymi wkładami byli również Barrow, Huygens i wielu innych.
Newton i Leibnizedytuj
przed Newtonem i Leibnizem, słowo „rachunek” odnosiło się do dowolnego ciała matematyki, ale w następnych latach, „rachunek” stał się popularnym terminem dla dziedziny matematyki opartej na ich spostrzeżeniach., Newton i Leibniz, opierając się na tej pracy, niezależnie rozwinęli pod koniec XVII wieku teorię rachunku infinitezymalnego. Ponadto Leibniz wykonał wiele pracy nad opracowaniem spójnych i użytecznych notacji i pojęć. Newton dostarczył niektóre z najważniejszych zastosowań w fizyce, zwłaszcza rachunku całkowego. Celem tej sekcji jest zbadanie badań Newtona i Leibniza nad rozwijającym się polem rachunku nieskończoności., Szczególne znaczenie będą miały terminy uzasadniające i opisowe, których używali w celu zrozumienia rachunku różniczkowego tak, jak sami go sobie wyobrażali.
w połowie XVII wieku matematyka Europejska zmieniła swoje podstawowe repozytorium wiedzy. W porównaniu do ubiegłego wieku, który utrzymywał hellenistyczną matematykę jako punkt wyjścia do badań, Newton, Leibniz i ich współcześni coraz bardziej zwracali uwagę na prace bardziej współczesnych myślicieli., Europa stała się domem dla rozwijającej się społeczności matematycznej, a wraz z pojawieniem się wzmocnionych podstaw instytucjonalnych i organizacyjnych osiągnięto nowy poziom organizacji i integracji akademickiej. Co jednak istotne, społeczności brakowało formalizmu; zamiast tego składała się z nieuporządkowanej masy różnych metod, technik, notacji, teorii i paradoksów.
Newton przyszedł do rachunku jako część jego badań w fizyce i geometrii. Uważał rachunek za naukowy opis generowania ruchu i wielkości., Dla porównania, Leibniz skupił się na problemie stycznym i doszedł do przekonania, że rachunek różniczkowy jest metafizycznym wyjaśnieniem zmiany. Co ważne, podstawą ich wglądu była formalizacja własności odwrotnej między całką a różnicą funkcji. Pogląd ten był przewidywany przez ich poprzedników, ale byli oni pierwszymi, którzy pojęli rachunek jako system, w którym powstawały nowe terminy retoryczne i opisowe., Ich unikalne odkrycia leżały nie tylko w ich wyobraźni, ale także w ich zdolności do syntetyzowania wglądów wokół nich w Uniwersalny proces algorytmiczny, tworząc w ten sposób nowy system matematyczny.
NewtonEdit
Newton nie ukończył żadnej ostatecznej publikacji formalizującej jego rachunek fluxional; raczej wiele z jego matematycznych odkryć zostało przekazanych poprzez korespondencję, mniejsze prace lub jako osadzone aspekty w jego innych definitywnych kompilacjach, takich jak Principia i Opticks., Newton rozpoczął swój matematyczny trening jako wybrany spadkobierca Isaaca Barrowa w Cambridge. Jego zdolności rozpoznano wcześnie i szybko poznał obecne teorie. W 1664 roku Newton dokonał swojego pierwszego ważnego wkładu, rozwijając twierdzenie dwumianowe, które rozszerzył o wykładniki ułamkowe i ujemne. Newtonowi udało się rozszerzyć stosowalność twierdzenia dwumianowego poprzez zastosowanie algebry skończonych wielkości w analizie nieskończonych szeregów., Wykazywał chęć postrzegania nieskończonych szeregów nie tylko jako przybliżonych urządzeń, ale także jako alternatywnych form wyrażania terminu.
wiele krytycznych spostrzeżeń Newtona miało miejsce w latach zarazy 1665-1666, które później opisał jako „szczyt mojego wieku dla wynalazczości i umysłów matematyki i filozofii bardziej niż kiedykolwiek wcześniej.”To właśnie podczas jego izolacji wywołanej zarazą pierwsza pisemna koncepcja rachunku fluxionalnego została zarejestrowana w niepublikowanym de Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas., W tym artykule Newton określił obszar pod krzywą, najpierw obliczając chwilową szybkość zmian, a następnie ekstrapolując całkowity obszar. Zaczął od rozumowania o nieskończenie małym trójkącie, którego obszar jest funkcją X i y. następnie doszedł do wniosku, że nieskończenie mały wzrost w abscissie stworzy nowy wzór, gdzie x = x + o (co ważne, o jest literą, a nie cyfrą 0). Następnie ponownie obliczył obszar za pomocą twierdzenia dwumianowego, usunął wszystkie wielkości zawierające literę o i ponownie utworzył wyrażenie algebraiczne dla obszaru., Co istotne, Newton „wymazałby” ilości zawierające o, ponieważ pojęcia „pomnożone przez nie będą niczym w stosunku do reszty”.
w tym momencie Newton zaczął realizować centralną własność inwersji. Stworzył wyrażenie dla obszaru pod krzywą, rozważając chwilowy wzrost w punkcie. W efekcie, podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego zostało wbudowane w jego obliczenia. Podczas gdy jego nowa formuła oferowała niesamowity potencjał, Newton był dobrze świadomy jego logicznych ograniczeń w tym czasie., Przyznaje, że” błędów nie należy lekceważyć w matematyce, bez względu na to, jak małe „i że to, co osiągnął, zostało” krótko wyjaśnione, a nie dokładnie zademonstrowane.”
w celu nadania rachunku bardziej rygorystyczne wyjaśnienie i ramy, Newton skompilowany w 1671 Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum. W tej książce ścisły empiryzm Newtona ukształtował i zdefiniował jego rachunek fluktuacyjny. Wykorzystywał ruch chwilowy i infinitezymalny nieformalnie. Posługiwał się matematyką jako narzędziem metodologicznym do wyjaśnienia świata fizycznego., Podstawą zrewidowanego rachunku Newtona stała się ciągłość; jako taka redefiniował swoje obliczenia pod względem ciągłego ruchu płynącego. Dla Newtona, zmienne magnitudo nie są agregatami elementów nieskończenie małych, ale są generowane przez niezaprzeczalny fakt ruchu. Podobnie jak w przypadku wielu jego dzieł, Newton opóźnił publikację. Methodus Fluxionum zostało opublikowane dopiero w 1736 roku.
Newton próbował uniknąć użycia infinitezymalnego, tworząc obliczenia oparte na współczynnikach zmian., W Methodus Fluxionum zdefiniował szybkość generowanej zmiany jako fluxion, który reprezentował przez kropkowaną literę, a ilość generowaną zdefiniował jako fluxion. Na przykład, jeśli x {\displaystyle {x}} i y {\displaystyle {y}} są fluentami, to x {\displaystyle {\dot {x}}} i y {\displaystyle {\dot {y}}} są ich odpowiednikami fluxionami., Ten poprawiony rachunek współczynników był nadal rozwijany i został dojrzale określony w tekście de Quadratura Curvarum z 1676 roku, gdzie Newton zdefiniował pochodną współczesną jako ostateczny stosunek zmian, który zdefiniował jako stosunek między evanescent increments (stosunek fluxions) wyłącznie w danym momencie. Zasadniczo ostateczny stosunek to stosunek, gdy przyrosty znikają w nicość., Co ważne, Newton wyjaśnił istnienie ostatecznego stosunku, odwołując się do ruchu;
„ponieważ przez ostateczną prędkość rozumie się, że ciało jest poruszane, ani przed przybyciem na swoje ostatnie miejsce, kiedy ruch ustaje, ani PO, ale w samej chwili, gdy przybywa… ostateczny stosunek wielkości evanescent należy rozumieć, stosunek ilości nie przed ich zniknięciem, nie po, ale z którymi znikają ”
Newton opracował swój rachunek fluxional, próbując uniknąć Nieformalnego użycia infinitezymali w swoich obliczeniach.,
LeibnizEdit
Leibniz: Nova methodus pro maximis et minimis, Acta Eruditorum, Lipsk, październik 1684. Pierwsza strona publikacji Leibniza o rachunku różniczkowym.
wykresy wymienione w artykule Leibniza z 1684 roku
podczas gdy Newton rozpoczął rozwój swojego rachunku fluxional w latach 1665-1666, jego odkrycia nie stały się szeroko rozpowszechnione dopiero później. W kolejnych latach Leibniz starał się również tworzyć swoje obliczenia., W porównaniu do Newtona, który przyszedł do matematyki w młodym wieku, Leibniz rozpoczął rygorystyczne studia matematyczne z dojrzałym intelektem. Był polimatem, a jego zainteresowania intelektualne i osiągnięcia obejmowały metafizykę, prawo, ekonomię, politykę, logikę i matematykę. Aby zrozumieć rozumowanie Leibniza w rachunku różniczkowym, należy pamiętać o jego pochodzeniu. W szczególności jego metafizyka, która opisywała wszechświat jako Monadologię, i jego plany stworzenia precyzyjnej logiki formalnej, „ogólnej metody, w której wszystkie prawdy rozumu zostałyby zredukowane do pewnego rodzaju kalkulacji.,”
w 1672 roku Leibniz spotkał matematyka Huygensa, który przekonał Leibniza do poświęcenia znacznego czasu na naukę matematyki. W 1673 roku zaczął czytać Traité des Sinus du Quarte Cercle Pascala i to właśnie podczas jego badań autodydaktycznych Leibniz powiedział „światło włączone”. Podobnie jak Newton, Leibniz widział styczną jako stosunek, ale zadeklarował ją jako po prostu stosunek między rzędami i abscissas., Kontynuował to rozumowanie, twierdząc, że Całka jest w rzeczywistości sumą porządków dla infinitezymalnych przedziałów w abscissie; w efekcie sumą nieskończonej liczby prostokątów. Na podstawie tych definicji zależność odwrotna lub różniczkowa stała się jasna i Leibniz szybko zdał sobie sprawę z możliwości stworzenia zupełnie nowego systemu matematyki. Gdzie Newton w trakcie swojej kariery używał kilku podejść oprócz podejścia wykorzystującego infinitezymale, Leibniz uczynił to kamieniem węgielnym swojej notacji i rachunku różniczkowego.,
w rękopisach od 25 października do 11 listopada 1675 Leibniz odnotował swoje odkrycia i eksperymenty z różnymi formami notacji. Był w pełni świadomy używanych terminów notacyjnych i jego wcześniejsze plany utworzenia precyzyjnej symboliki logicznej stały się oczywiste. Ostatecznie Leibniz oznaczał nieskończenie wiele nieskończenie cienkich prostokątów jako długie S ( ∫ ), które stały się symbolem całki ∫ {\displaystyle \scriptstyle \int } .,
chociaż notacja Leibniza jest używana przez współczesną matematykę, jego podstawa logiczna różniła się od obecnej. Leibniz przyjął nieskończoność i pisał obszernie, aby „nie robić z nieskończoności tajemnicy, jak to miało miejsce w przypadku Pascala. Według Gillesa Deleuze 'a zera Leibniza” są niczym, ale nie są niczym absolutnym, są niczym odpowiednio „(cytując tekst Leibniza „uzasadnienie rachunku nieskończoności przez rachunek algebry zwykłej”). Alternatywnie, definiuje je jako, ” mniej niż dana ilość.,”Dla Leibniza świat był zbiorem nieskończenie małych punktów, a brak naukowych dowodów na ich istnienie nie sprawiał mu kłopotu. Infinitezymale do Leibniza były idealnymi wielkościami innego typu od liczb wymiernych. Prawda o ciągłości została udowodniona przez samo istnienie. Dla Leibniza zasada ciągłości, a tym samym ważność jego rachunku była zapewniona. Trzysta lat po pracy Leibniza Abraham Robinson pokazał, że stosując nieskończenie małe ilości w rachunku różniczkowym można dać solidną podstawę.,
LegacyEdit
powstanie rachunku różniczkowego wyróżnia się jako wyjątkowy moment w matematyce. Rachunek różniczkowy jest matematyką ruchu i zmiany i jako taki jego wynalazek wymagał stworzenia nowego systemu matematycznego. Co ważne, Newton i Leibniz nie stworzyli tego samego rachunku i nie wymyślili nowoczesnego rachunku. Podczas gdy obaj byli zaangażowani w proces tworzenia systemu matematycznego do radzenia sobie z wielkościami zmiennymi, ich podstawowa podstawa była inna., Dla Newtona zmiana była zmienną wielkością w czasie, a dla Leibniza była różnicą w ciągu nieskończenie bliskich wartości. W szczególności, określenia opisowe, które każdy system stworzył w celu opisania zmian, były różne.
historycznie było wiele dyskusji na temat tego, czy to Newton czy Leibniz jako pierwszy „wynalazł” rachunek. Ten argument, kontrowersje Leibniza i Newtona, z udziałem Leibniza, który był Niemcem, i Anglika Newtona, doprowadziły do rozłamu w europejskiej społeczności matematycznej trwającego ponad sto lat., Leibniz był pierwszym, który opublikował swoje badania; jednak dobrze wiadomo, że Newton rozpoczął pracę kilka lat przed Leibnizem i opracował już teorię tangentów, zanim Leibniz zainteresował się question.It nie wiadomo, jaki wpływ miało to na Leibniza. Początkowe oskarżenia zostały wysuwane przez studentów i zwolenników dwóch wielkich naukowców na przełomie wieków, ale po 1711 obaj zostali osobiście zaangażowani, oskarżając się nawzajem o plagiat.,
spór o pierwszeństwo miał skutek oddzielenia anglojęzycznych matematyków od tych w Europie kontynentalnej na wiele lat. Dopiero w 1820 roku, dzięki staraniom Towarzystwa analitycznego, leibnizian analytical calculus został zaakceptowany w Anglii. Obecnie zarówno Newton, jak i Leibniz są przypisywani do samodzielnego opracowania podstaw rachunku różniczkowego. To Leibniz przypisuje się jednak nadanie nowej dyscyplinie znanej do dziś nazwy: „rachunek różniczkowy”. Nazwa Newtona brzmiała „The science of fluents and fluxions”.,
praca zarówno Newtona, jak i Leibniza znajduje odzwierciedlenie w używanej dziś notacji. Newton wprowadził notację f {\displaystyle {\dot {f}}} dla pochodnej funkcji f. Leibniz wprowadził symbol ∫ {\displaystyle \ int } dla całki i zapisał pochodną funkcji y zmiennej X jako d y D x {\displaystyle {\frac {dy} {dx}} , z których oba są nadal używane.
od czasów Leibniza i Newtona wielu matematyków przyczyniło się do dalszego rozwoju rachunku różniczkowego., Jedna z pierwszych i najbardziej kompletnych prac na temat rachunku całkowego i infinitezymalnego została napisana w 1748 roku przez Marię Gaetanę Agnesi.
metody Operacyjneedytuj
Antoine Arbogast (1800) jako pierwszy oddzielił symbol operacji od symbolu ilości w równaniu różniczkowym. Francois-Joseph Servois (1814) wydaje się być pierwszym, który podał poprawne zasady na ten temat. Charles James Hargreave (1848) zastosował te metody w swoim pamiętniku o równaniach różniczkowych, a George Boole swobodnie je stosował., Hermann Grassmann i Hermann Hankel wykorzystali tę teorię, pierwszą w badaniu równań, drugą w swojej teorii liczb zespolonych.
rachunek różniczkowyedytuj
rachunek różniczkowyedytuj Od razu zainteresował się nim Jakob Bernoulli, ale Leonhard Euler jako pierwszy rozwinął ten temat. Jego prace rozpoczęły się w 1733 roku, a jego Elementa Calculi Variationum nadało nauce swoją nazwę., Joseph Louis Lagrange wniósł duży wkład do tej teorii, a Adrien-Marie Legendre (1786) przedstawił metodę, nie do końca zadowalającą, do rozróżniania maksimów i minimów. Do tej dyskryminacji należeli Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Denis Poisson (1831), Michaił Wasiljewicz Ostrogradski (1834) i Carl Gustav Jakob Jacobi (1837). Ważnym dziełem ogólnym jest dzieło Sarrusa (1842), które zostało skondensowane i ulepszone przez Augustina Louisa Cauchy 'ego (1844)., Inne cenne traktaty i wspomnienia napisali Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) i Carll (1885), ale być może najważniejszym dziełem stulecia jest dzieło Karla Weierstrassa. Jego kurs teorii można uznać za pierwszy, który stawia rachunek na solidnym i rygorystycznym fundamencie.
