Biografia – Que foi Pascal
Blaise Pascal (1623-1662)
O Francês Blaise Pascal foi um proeminente do Século 17, cientista, filósofo e matemático. Como tantos grandes matemáticos, ele era uma criança prodígio e perseguia muitas vias diferentes de empreendimento intelectual ao longo de sua vida., Muito de seus primeiros trabalhos foi na área de ciências naturais e aplicadas, e ele tem uma lei batizada com seu nome (que “a pressão exercida em qualquer lugar em um líquido confinado é transmitida igualmente e indiscriminadamente em todas as direções durante todo o líquido”), bem como a unidade internacional para o meaurement de pressão. Em Filosofia, A aposta de Pascals é a sua abordagem pragmática de acreditar em Deus com o argumento de que é uma melhor “aposta” do que não acreditar.
mas Pascal também foi um matemático da primeira ordem., Aos dezesseis anos de idade, ele escreveu um tratado significativo sobre o tema da geometria projetiva, conhecido como Teorema de Pascal, que afirma que, se um hexágono é inscrito em um círculo, então os três pontos de interseção de lados opostos estão em uma única linha, chamada de linha Pascal. Quando jovem, ele construiu uma máquina de cálculo funcional, capaz de realizar adições e subtrações, para ajudar seu pai com seus cálculos de impostos.,
Triângulo de Pascal
A tabela de coeficientes binários conhecido como Triângulo de Pascal
Ele é mais conhecido, no entanto, para o Triângulo de Pascal, uma conveniente apresentação tabular dos coeficientes binários, onde cada número é a soma dos dois números acima. Um binomial é um tipo simples de expressão algébrica que tem apenas dois termos operados apenas por adição, subtração, multiplicação e expoentes positivos de números inteiros, tais como (x + y)2., Os co-efficients produzidos quando um binomial é expandido formam um triângulo simétrico (ver imagem à direita).
Pascal estava longe de ser o primeiro a estudar este triângulo. O matemático persa Al-Karaji produziu algo muito semelhante já no século X, e o triângulo é chamado Triângulo De Yang Hui na China após o matemático chinês do século XIII, e Triângulo de Tartaglia na Itália após o italiano do século XVI epônimo., Mas Pascal contribuiu com uma prova elegante ao definir os números por recursão, e ele também descobriu muitos padrões úteis e interessantes entre as linhas, colunas e diagonais da matriz de números. Por exemplo, olhando para as diagonais sozinho, após a “pele” exterior de 1’s, a próxima diagonal (1, 2, 3, 4, 5,…) são os números naturais em ordem. A próxima diagonal dentro dela (1, 3, 6, 10, 15,…) são os números triangulares em ordem. O próximo (1, 4, 10, 20, 35,…) é o número piramidal triangular, etc, etc., Também é possível encontrar números primos, números Fibonacci, números catalães e muitas outras séries, e até mesmo encontrar padrões fractais dentro dele.
Pascal também deu o salto conceptual para usar o triângulo para ajudar a resolver problemas na teoria das probabilidades. De fato, foi através de sua colaboração e correspondência com seu contemporâneo francês Pierre de Fermat e o holandês Christiaan Huygens sobre o assunto que a teoria matemática da probabilidade nasceu., Antes de Pascal, não havia nenhuma teoria real de probabilidade – apesar da exposição inicial de Gerolamo Cardano no século XVI – meramente uma compreensão (de tipos) de como calcular “chances” em jogos de dados e cartas, contando resultados igualmente prováveis. Alguns problemas aparentemente bastante elementares em probabilidade tinham escapado a alguns dos melhores matemáticos, ou dado origem a soluções incorretas.,
cabe a Pascal (com a ajuda de Fermat) reunir as linhas separadas do conhecimento prévio (incluindo o trabalho inicial de Cardano) e introduzir técnicas matemáticas inteiramente novas para a solução de problemas que até então tinham resistido à solução., Dois desses problemas intransigentes que Pascal e Fermat se aplicaram foram a ruína do Jogador (determinando as chances de ganhar para cada um dos dois homens jogando um determinado jogo de dados com regras muito específicas) e o problema dos pontos (determinando como os ganhos de um jogo devem ser divididos entre dois jogadores igualmente qualificados se o jogo foi terminado prematuramente). Seu trabalho sobre o problema dos pontos em particular, embora não publicado na época, foi altamente influente no desenvolvimento de um novo campo.,
O Problema de Pontos
Fermat e Pascal solução para o Problema de Pontos
O Problema de Pontos na sua forma mais simples pode ser ilustrado por um simples jogo de “o vencedor leva tudo”, envolvendo o agitar-se de uma moeda. O primeiro dos dois jogadores (digamos, Fermat e Pascal) a conseguir dez pontos ou vitórias é receber um pote de 100 francos. Mas, se o jogo é interrompido no ponto em que Fermat, digamos, está ganhando 8 pontos para 7, Como é que o pote de 100 francos é dividido?, Fermat afirmou que, como ele precisava de apenas mais dois pontos para ganhar o jogo, e Pascal precisava de três, o jogo teria sido mais depois de mais quatro jogadas de moeda (porque, se Pascal não obter os 3 pontos para a vitória sobre os quatro jogadas, em seguida, Fermat deve ter obtido a necessária 2 pontos por vitória, e vice-versa. Fermat, em seguida, exaustivamente listados os possíveis resultados das quatro jogadas, e concluiu que ele iria ganhar em 11 das 16 possíveis resultados, por isso, ele sugeriu que os 100 francos ser dividida 11⁄16 (0.6875) para ele e 5⁄16 (0.3125) para Pascal.,
Pascal então procurou uma maneira de generalizar o problema que evitaria a tediosa listagem de possibilidades, e percebeu que ele poderia usar linhas de seu triângulo de coeficientes para gerar os números, não importa quantas jogadas da moeda permaneceram. Como Fermat precisava de mais 2 pontos para ganhar o jogo e Pascal precisava de 3, Ele foi para a quinta linha (2 + 3) do triângulo, i.e. 1, 4, 6, 4, 1., Os três primeiros termos adicionados (1 + 4 + 6 = 11) representou os resultados em que Fermat venceria, e os dois últimos Termos (4 + 1 = 5) os resultados em que Pascal venceria, fora do número total de resultados representados pela soma de toda a linha (1 + 4 + 6 +4 +1 = 16).
Pascal e Fermat tinham compreendido através de sua correspondência um conceito muito importante que, embora talvez intuitivo para nós hoje, era tudo menos revolucionário em 1654., Esta era a idéia de resultados igualmente prováveis, que a probabilidade de algo ocorrendo poderia ser computada enumerando o número de formas igualmente prováveis que poderia ocorrer, e dividindo isso pelo número total de possíveis resultados da situação dada. This allowed the use of fractions and ratios in the calculation of the likelhood of events, and the operation of multiplication and addition on these fractional probabilities., Por exemplo, a probabilidade de lançar uma 6 em um dado duas vezes é de 1⁄6 x 1⁄6 = 1⁄36 (“e” funciona como multiplicação); a probabilidade de lançar uma 3 ou 6 é 1⁄6 + 1⁄6 = 1⁄3 (“ou” funciona como complemento).mais tarde na vida, Pascal e sua irmã Jacqueline se identificaram fortemente com o movimento religioso católico extremo do jansenismo. Após a morte de seu pai e uma “experiência mística” no final de 1654, ele teve a sua “segunda conversão” e abandonou seu trabalho científico, completamente, dedicando-se à filosofia e teologia., Suas duas obras mais famosas, as” Lettres provinciales “e as” Pensées”, datam deste período, O último ficou incompleto com sua morte em 1662. Eles permanecem o legado mais conhecido de Pascal, e ele é geralmente lembrado hoje como um dos autores mais importantes do período clássico francês e um dos maiores mestres da prosa Francesa, muito mais do que por suas contribuições para a matemática.,
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