Good Mood

AncientEdit

O período antigo, introduzido algumas das idéias que levaram ao cálculo integral, mas não parece ter desenvolvido estas idéias em um rigoroso e sistemático. Cálculos de volumes e áreas, um objetivo do cálculo integral, pode ser encontrado no papiro egípcio de Moscou (C., 1820 A. C.), Mas as fórmulas são dadas apenas para números concretos, alguns são apenas aproximadamente verdadeiros, e eles não são derivados pelo raciocínio dedutivo. Os babilônios podem ter descoberto a regra trapezoidal enquanto faziam observações astronômicas de Júpiter.

a Partir da idade de grego matemática, Eudoxus (c. 408-355 A.C.) usou o método da exaustão, que é precursora do conceito de limite, para calcular áreas e volumes, enquanto Arquimedes (c. 287-212 A.C.) desenvolveu esta idéia, inventando uma heurística que se assemelham os métodos de cálculo integral., Matemáticos gregos também são creditados com um uso significativo de infinitesimais. Demócrito é a primeira pessoa registrada a considerar seriamente a divisão de objetos em um número infinito de seções transversais, mas sua incapacidade de racionalizar seções transversais discretas com a inclinação suave de um cone o impediu de aceitar a ideia. Ao mesmo tempo, Zenão de Elea desacreditou infinitesimais ainda mais por sua articulação dos paradoxos que eles criam.,Arquimedes desenvolveu este método ainda mais, enquanto também inventava métodos heurísticos que se assemelham aos conceitos modernos um pouco em sua quadratura da parábola, O Método, e na esfera e cilindro. No entanto, não se deve pensar que os infinitesimais foram colocados numa base rigorosa durante este período. Só quando foi complementada por uma prova geométrica adequada é que os matemáticos gregos aceitariam uma proposição como verdadeira., Não foi até o século XVII que o método foi formalizado por Cavalieri como o método de indivisibilidade e eventualmente incorporado por Newton em uma estrutura geral de cálculo integral. Arquimedes foi o primeiro a encontrar a tangente a uma curva diferente de um círculo, em um método semelhante ao cálculo diferencial. Enquanto estudava a espiral, ele separou o movimento de um ponto em dois componentes, Um componente de movimento radial e um componente de movimento circular, e então continuou a adicionar os dois movimentos componentes juntos, encontrando assim a tangente à curva., Os pioneiros do cálculo, como Isaac Barrow e Johann Bernoulli foram estudantes diligentes de Arquimedes; ver por exemplo C. S. Roero (1983).o método de exaustão foi reinventado na China por Liu Hui no século IV d. C., A fim de encontrar a área de um círculo. No século V, Zu Chongzhi estabeleceu um método que mais tarde seria chamado de princípio de Cavalieri para encontrar o volume de uma esfera.

MedievalEdit

no Oriente Médio islâmico, o matemático Árabe do século XI Ibn al-Haytham (Alhazen) derivou uma fórmula para a soma das quatro potências., Ele usou os resultados para realizar o que agora seria chamado de integração, onde as fórmulas para as somas dos quadrados integrais e das quatro potências lhe permitiram calcular o volume de um parabolóide. No século XII, o matemático Persa Sharaf al-Dīn al-Tūsī descobriu a derivada dos polinômios cúbicos. His Treatise on Equations developed concepts related to differential calculus, such as the derivative function and the maxima and minima of curves, in order to solve cubic equations which may not have positive solutions.,

algumas ideias sobre cálculo apareceram mais tarde na matemática Indiana, na Escola de astronomia e matemática de Kerala. Madhava de Sangamagrama no século XIV, e mais tarde matemáticos da escola Kerala, afirmaram componentes do cálculo como a série Taylor e aproximações infinitas séries. No entanto, eles não foram capazes de combinar muitas ideias diferentes sob os dois temas unificadores da derivada e da integral, mostrar a conexão entre os dois, e transformar o cálculo na poderosa ferramenta de resolução de problemas que temos hoje.,o estudo matemático da continuidade foi revivido no século XIV pelas calculadoras de Oxford e colaboradores franceses como Nicole Oresme. Eles provaram o “teorema da velocidade média de Merton”: que um corpo uniformemente acelerado viaja a mesma distância que um corpo com velocidade uniforme cuja velocidade é metade da velocidade final do corpo acelerado.no século XVII, os matemáticos europeus Isaac Barrow, René Descartes, Pierre de Fermat, Blaise Pascal, John Wallis e outros discutiram a ideia de um derivado., Em particular, na Methodus ad disquirendam maximam et mínimos e De tangentibus linearum curvarum, Fermat desenvolveu um adequality método para determinação de máximos, mínimos e tangentes a várias curvas que estava intimamente relacionada com a diferenciação. Isaac Newton escreveria mais tarde que suas próprias ideias iniciais sobre cálculo vieram diretamente de “Fermat’s way of drawing tangents”.,”

Sobre o integral lado, Cavalieri desenvolveu seu método de indivisibles na década de 1630 e 1640, fornecendo uma forma moderna de grego antigo método de exaustão e de computação Cavalieri fórmula de quadratura, a área sob as curvas xn de grau superior, que anteriormente tinha sido calculado para a parábola, por Arquimedes. Torricelli estendeu este trabalho a outras curvas, como a ciclóide, e então a fórmula foi generalizada para poderes fraccionais e negativos por Wallis em 1656., Em um tratado de 1659, Fermat é creditado com um truque engenhoso para avaliar a integral de qualquer função de poder diretamente. Fermat também obteve uma técnica para encontrar os centros de gravidade de vários planos e figuras sólidas, que influenciaram o trabalho adicional em quadratura. James Gregory, influenciado pelas contribuições de Fermat tanto para a tangência quanto para a quadratura, foi então capaz de provar uma versão restrita do segundo teorema fundamental do cálculo em meados do século XVII. A primeira prova completa do teorema fundamental do cálculo foi dada por Isaac Barrow.:p.,61 quando me arco NH no ponto de tangência f Fig.26

A primeira prova do teorema de Rolle foi dada por Michel Rolle, em 1691, através de métodos desenvolvidos pelo matemático holandês Johann van Waveren Hudde., O teorema do valor médio em sua forma moderna foi declarado por Bernard Bolzano e Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) também após a fundação do cálculo moderno. Contribuições importantes também foram feitas por Barrow, Huygens e muitos outros.

Newton e LeibnizEdit

Antes de Newton e Leibniz, a palavra “cálculo” se refere a qualquer corpo de matemática, mas nos anos seguintes, “cálculo” tornou-se um termo popular para um campo da matemática com base em suas percepções., Newton e Leibniz, baseando-se neste trabalho, desenvolveram independentemente a teoria envolvente do cálculo infinitesimal no final do século XVII. Além disso, Leibniz fez um grande trabalho com o desenvolvimento de notação e conceitos consistentes e úteis. Newton forneceu algumas das aplicações mais importantes para a física, especialmente do cálculo integral. O objetivo desta seção é examinar as investigações de Newton e Leibniz sobre o campo em desenvolvimento do cálculo infinitesimal., Será dada uma importância específica à justificação e aos termos descritivos que utilizaram numa tentativa de compreender o cálculo tal como o conceberam.em meados do século XVII, a matemática Europeia tinha mudado o seu principal repositório de conhecimento. Em comparação com o século passado, que manteve a matemática helenística como ponto de partida para a pesquisa, Newton, Leibniz e seus contemporâneos cada vez mais olharam para as obras de pensadores mais modernos., A Europa tinha-se tornado o lar de uma comunidade matemática em expansão e, com o advento de bases institucionais e organizacionais reforçadas, estava a ser alcançado um novo nível de organização e integração académica. Importante, no entanto, a comunidade não tinha formalismo; em vez disso, consistia de uma massa desordenada de vários métodos, técnicas, anotações, teorias e paradoxos.

Newton veio ao cálculo como parte de suas investigações em física e geometria. Ele via o cálculo como a descrição científica da geração de movimento e magnitudes., Em comparação, Leibniz focou – se no problema tangente e chegou a acreditar que o cálculo era uma explicação metafísica da mudança. Importante, o núcleo de sua percepção foi a formalização das propriedades inversas entre a integral e o diferencial de uma função. Esta visão tinha sido antecipada por seus antecessores, mas eles foram os primeiros a conceber o cálculo como um sistema em que novos termos retóricos e descritivos foram criados., Suas descobertas únicas estavam não apenas em sua imaginação, mas também em sua capacidade de sintetizar os insights ao seu redor em um processo algorítmico universal, formando assim um novo sistema matemático.

NewtonEdit

Newton não completou nenhuma publicação definitiva formalizando seu cálculo fluxional; ao invés disso, muitas de suas descobertas matemáticas foram transmitidas através de correspondência, artigos menores ou como aspectos incorporados em suas outras compilações definitivas, como o Principia e Optiques., Newton começaria seu treinamento matemático como o herdeiro escolhido de Isaac Barrow em Cambridge. Sua aptidão foi reconhecida cedo e ele rapidamente aprendeu as teorias atuais. Em 1664 Newton tinha feito sua primeira contribuição importante avançando o teorema binomial, que ele estendeu para incluir expoentes fraccionais e negativos. Newton conseguiu expandir a aplicabilidade do teorema binomial aplicando a álgebra de quantidades finitas em uma análise de séries infinitas., Ele mostrou vontade de ver séries infinitas não apenas como dispositivos aproximados, mas também como formas alternativas de expressar um termo.muitos dos insights críticos de Newton ocorreram durante os anos da peste de 1665-1666, que ele mais tarde descreveu como, “o auge da minha idade para a invenção e a matemática e filosofia mental mais do que em qualquer momento desde então.”Foi durante o seu isolamento induzido pela peste que a primeira concepção escrita do cálculo fluxionário foi gravada no não publicado de Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas., Neste artigo, Newton determinou a área sob uma curva calculando primeiro uma taxa de variação momentânea e depois extrapolando a área total. Ele começou por raciocinar sobre um triângulo indefinidamente pequeno cuja área é uma função de x e Y. ele então argumentou que o aumento infinitesimal na abcissa irá criar uma nova fórmula onde x = x + o (importante, o é a letra, não o dígito 0). He then recalculated the area with the aid of the binomial theorem, removed all quantities containing the letter o and re-formed an algebraic expression for the area., Significativamente, Newton então “apagaria” as quantidades contendo o porque os Termos “multiplicados por ele não serão nada em relação ao resto”.

neste ponto Newton tinha começado a perceber a propriedade central da inversão. Ele tinha criado uma expressão para a área sob uma curva, considerando um aumento momentâneo em um ponto. Com efeito, o teorema fundamental do cálculo foi construído em seus cálculos. Enquanto sua nova formulação oferecia um potencial incrível, Newton estava bem ciente de suas limitações lógicas na época., Ele admite que “erros não são para ser desconsiderada em matemática, não importa quão pequena” e que o que ele alcançou foi “pouco explicado, em vez de com precisão demonstrada.”

In an effort to give calculus a more rigorous explication and framework, Newton compiled in 1671 the Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum. Neste livro, o empirismo estrito de Newton moldou e definiu seu cálculo fluxional. Explorou o movimento instantâneo e infinitesimais informalmente. Ele usou matemática como uma ferramenta metodológica para explicar o mundo físico., A base do cálculo revisto de Newton tornou-se continuidade; como tal, ele redefiniu seus cálculos em termos de movimento contínuo. Para Newton, as magnitudes variáveis não são agregados de elementos infinitesimais, mas são geradas pelo fato indiscutível do movimento. Como em muitas de suas obras, Newton adiou a publicação. Methodus Fluxionum não foi publicado até 1736.

Newton tentou evitar o uso do infinitesimal, formando cálculos baseados em razões de alterações., In the Methodus Fluxionum he defined the rate of generated change as a fluxion, which he represented by a tracked letter, and the quantity generated he defined as a fluent. Por exemplo, se x {\displaystyle {x}} e y {\displaystyle {y}} são fluents, então x {\displaystyle {\dot {x}}} e y {\displaystyle {\dot {y}}} são suas respectivas fluxões., Este cálculo revisto de rácios continuou a ser desenvolvido e foi declarado de forma madura no texto de 1676 de Quadratura Curvarum, onde Newton chegou a definir a derivada atual como a razão final de mudança, que ele definiu como a razão entre incrementos evanescentes (a razão de fluxiões) puramente no momento em questão. Essencialmente, a razão final é a razão à medida que os incrementos desaparecem no nada., Mais importante, Newton explicou a existência da razão final apelando ao movimento;

” pois pela velocidade máxima significa que, com a qual o corpo é movido, nem antes de chegar ao seu último lugar, quando o movimento cessa, nem depois, mas no próprio instante em que chega… a razão final das quantidades evanescentes deve ser entendida, a razão das quantidades não antes de desaparecerem, não depois, mas com as quais elas desaparecem”

Newton desenvolveu seu cálculo fluxional em uma tentativa de evitar o uso informal de infinitesimais em seus cálculos.,

LeibnizEdit

Enquanto Newton iniciou o desenvolvimento de sua fluxional cálculo em 1665-1666 suas descobertas não se tornou amplamente divulgado até mais tarde. Nos anos seguintes Leibniz também se esforçou para criar seu cálculo., Em comparação com Newton, que chegou à matemática em uma idade precoce, Leibniz começou seus rigorosos estudos de matemática com um intelecto Maduro. Ele era um Polimata, e seus interesses intelectuais e realizações envolveram metafísica, direito, economia, política, lógica e matemática. A fim de entender o raciocínio de Leibniz em cálculo seu fundo deve ser mantido em mente. Particularmente, sua metafísica que descreveu o universo como uma Monadologia, e seus planos de criar uma lógica formal precisa em que, “um método geral em que todas as verdades da razão seriam reduzidas a uma espécie de cálculo.,em 1672, Leibniz conheceu o matemático Huygens que convenceu Leibniz a dedicar tempo significativo ao estudo da matemática. Em 1673, ele tinha progredido para ler Traité des Sinus du Quarte Cercle de Pascal e foi durante sua pesquisa em grande parte autodidática que Leibniz disse que “uma luz se acendeu”. Como Newton, Leibniz viu a tangente como uma razão, mas declarou-a simplesmente como a razão entre ordinais e abcisas., He continued this reasoning to argue that the integral was in fact the sum of the ordinates for infinitesimal intervalos in the abcissa; in effect, the sum of an infinite number of rectangles. A partir destas definições, a relação inversa ou diferencial tornou-se clara e Leibniz rapidamente percebeu o potencial para formar um novo sistema de matemática. Onde Newton, ao longo de sua carreira, usou várias abordagens, além de uma abordagem usando infinitesimais, Leibniz fez disso a pedra angular de sua notação e cálculo.,nos manuscritos de 25 de outubro a 11 de novembro de 1675, Leibniz registrou suas descobertas e experimentos com várias formas de notação. Ele estava extremamente consciente dos Termos notacionais usados e seus planos anteriores para formar um simbolismo lógico preciso tornaram-se evidentes. Eventualmente, Leibniz denotou os incrementos infinitesimais de abscissas e ordina dx e dy, e a soma de infinitamente muitos retângulos infinitesimalmente finos como um s longo (∫ ), que se tornou o atual símbolo integral ∫ {\displaystyle \scriptstyle \int } .,embora a notação de Leibniz seja usada pela matemática moderna, sua base lógica era diferente da atual. Leibniz abraçou infinitesimais e escreveu extensivamente como: “não fazer do infinitamente pequeno Um mistério, como fez Pascal.”De acordo com Gilles Deleuze, os zeros de Leibniz “são nothings, mas não são nothings absolutos, eles são nothings respectivamente” (citando o texto de Leibniz “justificação do cálculo dos infinitesimais pelo cálculo da álgebra Ordinária”). Alternativamente, ele os define como “menor que qualquer quantidade dada”.,”Para Leibniz, o mundo era um conjunto de pontos infinitesimais e a falta de provas científicas para a sua existência não o incomodou. Infinitesimals to Leibniz were ideal quantities of a different type from apreciable numbers. A verdade da continuidade foi provada pela própria existência. Para Leibniz o princípio da continuidade e, portanto, a validade de seu cálculo foi assegurada. Trezentos anos após o trabalho de Leibniz, Abraham Robinson mostrou que usando quantidades infinitesimais em cálculo poderia ser dada uma base sólida.,

Legaciedit

A ascensão do cálculo destaca-se como um momento único na matemática. O cálculo é a matemática do movimento e da mudança, e como tal, sua invenção exigiu a criação de um novo sistema matemático. Mais importante, Newton e Leibniz não criaram o mesmo cálculo e eles não conceberam o cálculo moderno. Enquanto ambos estavam envolvidos no processo de criação de um sistema matemático para lidar com quantidades variáveis sua base elementar era diferente., Para Newton, a mudança era uma quantidade variável ao longo do tempo e para Leibniz era a diferença variando ao longo de uma sequência de valores infinitamente próximos. Notavelmente, os termos descritivos que cada sistema criado para descrever a mudança era diferente.historicamente, houve muito debate sobre se foi Newton ou Leibniz que primeiro inventou o cálculo. Este argumento, a controvérsia Leibniz e Newton calculus, envolvendo Leibniz, que era alemão, e o Inglês Newton, levou a uma ruptura na comunidade matemática Europeia que durou mais de um século., Leibniz foi o primeiro a publicar as suas investigações; no entanto, é bem estabelecido que Newton tinha iniciado o seu trabalho de vários anos antes de Leibniz e já tinha desenvolvido uma teoria de tangentes pelo tempo de Leibniz tornou-se interessado na questão.Não se sabe o quanto isso pode ter influenciado Leibniz. As acusações iniciais foram feitas por estudantes e apoiadores dos dois grandes cientistas na virada do século, mas depois de 1711 ambos se envolveram pessoalmente, acusando um ao outro de plágio.,

A Disputa prioritária teve um efeito de separar matemáticos de língua inglesa dos da Europa continental por muitos anos. Apenas na década de 1820, devido aos esforços da sociedade analítica, Leibnizian analytical calculus tornou-se aceito na Inglaterra. Hoje, tanto Newton quanto Leibniz são creditados pelo desenvolvimento independente dos conceitos básicos do cálculo. É Leibniz, no entanto, quem é creditado por dar à nova disciplina o nome que é conhecido por hoje: “cálculo”. O nome de Newton era “the science of fluents and fluxions”.,

O trabalho de Newton e Leibniz é refletido na notação usada hoje. Newton introduziu a notação f {\displaystyle {\dot {f}}} para a derivada de uma função f. Leibniz introduziu o símbolo ∫ {\displaystyle \int } para o integral e escreveu a derivada de uma função y da variável x d y d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}} , ambos os quais ainda estão em uso.

desde o tempo de Leibniz e Newton, muitos matemáticos têm contribuído para o desenvolvimento contínuo do cálculo., Uma das primeiras e mais completas obras sobre o cálculo infinitesimal e integral foi escrita em 1748 por Maria Gaetana Agnesi.

Método Operacional edit

Antoine Arbogast (1800) foi o primeiro a separar o símbolo da operação da quantidade em uma equação diferencial. François-Joseph Servois (1814) parece ter sido o primeiro a dar regras corretas sobre o assunto. Charles James Hargreave (1848) applied these methods in his memoir on differential equations, and George Boole freely employed them., Hermann Grassmann and Hermann Hankel made great use of the theory, the first in studying equations, the latter in his theory of complex numbers.o cálculo das variações pode ser dito para começar com um problema de Johann Bernoulli (1696). Imediatamente ocupou a atenção de Jakob Bernoulli, mas Leonhard Euler primeiro elaborou o assunto. Suas contribuições começaram em 1733, e seu cálculo elementar Variationum deu à ciência seu nome., Joseph Louis Lagrange contribuiu extensivamente para a teoria, e Adrien-Marie Legendre (1786) estabeleceu um método, não inteiramente satisfatório, para a discriminação de maxima e mínimos. Para esta discriminação Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Denis Poisson (1831), Mikhail Vasilievich Ostrogradsky (1834), e Carl Gustav Jakob Jacobi (1837) foram entre os colaboradores. Um importante trabalho geral é o de Sarrus (1842), que foi condensado e melhorado por Augustin Louis Cauchy (1844)., Outros valiosos tratados e memórias de ter sido escrito por Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), de Alfred Clebsch (1858), e Carll (1885), mas, talvez, a obra mais importante do século é a que Karl Weierstrass. His course on the theory may be asserted to be the first to place calculus on a firm and rigorous foundation.