sfera are două laturi. Un bug poate fi prins în interiorul unei forme sferice sau se poate târî liber pe suprafața sa vizibilă. O foaie subțire de hârtie situată pe un birou are, de asemenea, două laturi. Paginile dintr-o carte sunt de obicei numerotate două pe o foaie de hârtie. Prima suprafață unilaterală a fost descoperită de A. F. Möbius (1790-1868) și îi poartă numele: banda Möbius. Uneori se numește alternativ o bandă Möbius. (Într-adevăr, suprafața a fost descrisă independent și mai devreme cu două luni de un alt matematician German J. B. Listing.) Banda a fost imortalizată de M. C., Escher (1898-1972).pentru a obține o bandă Möbius, începeți cu o bandă de hârtie. Răsuciți un capăt 180o (jumătate de viraj) și lipiți capetele împreună (fișierul avi durează 267264 octeți). Pentru comparație, dacă lipiți capetele fără a răsuci rezultatul ar arăta ca un cilindru sau un inel în funcție de lățimea benzii. Încercați să tăiați banda de-a lungul liniei de mijloc. Oamenii care nu cunosc topologia rareori ghicesc corect care ar fi rezultatul. De asemenea, este interesant să tăiați banda 1/3 din drum la o margine. Încearcă.,
am pus împreună un scurt (155648 bytes) film avi de o bandă răsucire Möbius. (Când ajungeți la pagina filmului, faceți clic pe cadru pentru a începe filmul.acum, odată ce știți trucul, cu siguranță doriți să găsiți alte suprafețe unilaterale. Înainte de a lipi capetele împreună, puteți răsuci banda de două ori sau chiar de trei ori. Aveți o suprafață unilaterală sau bidirecțională?,
 |
 |
 |
 |
 |
 |
P.S.
There is an additional page with an interactive Java illustration that lets one „see through” the strip in more than one sense., Și, desigur, există și alte pagini dedicate benzii Möbius disponibile pe Internet. Unul merită o mențiune specială. Richard Marsden (a cărui pagină a dispărut de pe Web) a reușit să producă o versiune VRML a benzii. Mi-a plăcut să rotesc banda în acest fel și în acest fel. Nu stiu de ce dar următorul pasaj de Art Buchwald de pe coperta din spate a lui Efraim Chison e Cel mai Amuzant Om din Lume a venit în minte:
Efraim Chison este al doilea cel mai amuzant a fost umorist știu… El este hilar și îl urăsc.,
Cum se face
nu se discuta doar aici Matematica care a intrat în bandă Möbius crearea de film.totul începe cu o observație am spicuite navigarea pagini MathSoft. Pentru un interval fix de valori ale t, ia în considerare curbe
x(t) = Rsin(t/R), y(t) = R(1 – cos(t/R)),
parametrizate de R. Fiecare dintre ele este o bucată de cerc
x(t)2 + (y(t) – R)2 = R2.,
pentru R mare (și un interval fix de t), o astfel de piesă este mică în raport cu dimensiunea cercurilor și, prin urmare, arată aproape ca un segment de linie dreaptă. Pentru valori mici de R (aproape 1), piesa este mai aproape de un cerc complet.
când piesele sunt afișate pe rând pentru o secvență descrescătoare de R, cadrele creează impresia unui segment pliat într-un cerc. Pentru a genera filmul, Am folosit 21 de cadre numerotate de la 0 la 20, cu raza schimbându-se conform formulei
R(k) = 21 / (k + 1),
unde k este un număr de cadru.,crearea unei benzi Möbius este o aventură tridimensională. Prin urmare, pe lângă coordonatele x (orizontale) și y (verticale), avem nevoie și de o coordonată Z. Gândește-te la acea coordonată ca fiind direcționată perpendicular pe ecran. Pentru segmentul inițial, care este mai mult ca o bucată de linie dreaptă decât un arc circular, am luat z = const pentru lungimea segmentului. Segmentul devine un dreptunghi – o „bandă” – care trebuie pliată într-o bandă Möbius., Dreptunghiul are două laturi: segmentul original, care mai jos este denumit „segmentul (xy)”, și partea perpendiculară, denumită „segmentul Z.”
pe măsură ce segmentul (xy) se pliază într-un cerc, segmentul z se rotește în planul (yz). Am discutat despre rotația unui avion pe paginile mele cicloide. Un avertisment este totuși în ordine. Pentru a crea o bandă Möbius, trebuie să răsucim întregul dreptunghi, nu doar capetele sale Z., Cu toate acestea, diferite porțiuni ale dreptunghiului ar trebui să se rotească la viteze diferite – capătul care se rotește cel mai rapid, în timp ce mijlocul benzii ar trebuinu se mișcă deloc. Astfel, folosesc cantitatea
w = (t-tmiddle)2
ca viteză unghiulară pentru segmentul z în diferite puncte ale segmentului pliat (xy). Cantitatea este foarte aproape 0 pentru punctele apropiate de mijlocul benzii.în cele din urmă, cele două capete ale benzii trebuie să se rotească în direcții opuse. Deci, în plus, matricea de rotație a trebuit să fie înmulțită cu semnul
(t-tmiddle).
asta este., O aplicație foarte practică a unei mici Trigonometrii și a geometriei analitice. Există un alt film de creație, 303104 octeți. Acesta arată vederea din față a benzii de răsucire.
O scrisoare de la Alexandru Grässer descrie în continuare de tăiere (dar acum, de asemenea, lipire) activități. Este posibil să lipiți împreună două benzi de hârtie, fie aceste cilindri sau benzi moebius. Chiar și în cazul a doi cilindri, rezultatul va surprinde majoritatea părinților, ca să nu mai vorbim de copiii lor.
logo-ul meu este, de asemenea, o suprafață unilaterală.,
de Referință
- S. Barr, Experimente În Topologie, Dover Publications, new YORK, 1989
- R. Courant și H. Robbins, Ce este Matematica?, Oxford University Press, 1996
- K. Devlin, Mathematics: The Science of Patterns, Scientific American Library, 1997
- D. Hilbert și S. Cohn-Vossen, Geometry and Imagination, Chelsea Publishing Co, NY 1990.
- C. A. Pickover, banda Mobius: Dr., August Mobius e Minunat Trupa în Matematică, Jocuri, Literatură, Artă, Tehnologie și Cosmologie, Thunder Gura Presei, 2006
|Contact||prima pagină||Cuprins||ai știut?/ / Geometrie /
