AncientEdit
Arhimede a folosit metoda epuizării pentru a calcula aria în interiorul unui cerc
perioada antică a introdus unele dintre ideile care au condus la calculul integral, dar nu pare să fi dezvoltat aceste idei într-un mod riguros si sistematic. Calculele volumelor și zonelor, un obiectiv al calculului integral, pot fi găsite în papirusul egiptean din Moscova (c., 1820 Î. HR.), dar formulele sunt date doar pentru numere concrete, unele sunt doar aproximativ adevărate și nu sunt derivate prin raționament deductiv. Este posibil ca babilonienii să fi descoperit regula trapezoidală în timp ce făceau observații astronomice ale lui Jupiter.
de La vârsta de matematica greacă, Eudoxus (c. 408-355 Î. hr.) a utilizat metoda de epuizare, care prefigurează conceptul de limită, pentru a calcula arii și volume, în timp ce Arhimede (c. 287-212 Î. hr.) a dezvoltat această idee mai departe, inventând euristici care se aseamănă cu metodele de calcul integral., Matematicienii greci sunt, de asemenea, creditați cu o utilizare semnificativă a infinitezimalelor. Democritus este prima persoană înregistrată care ia în considerare în mod serios împărțirea obiectelor într-un număr infinit de secțiuni transversale, dar incapacitatea sa de a raționaliza secțiunile transversale discrete cu panta netedă a unui con l-a împiedicat să accepte ideea. Aproximativ în același timp, Zeno din Elea a discreditat infinitezimalele în continuare prin articularea paradoxurilor pe care le creează.,Arhimede a dezvoltat această metodă în continuare, inventând, de asemenea, metode euristice care seamănă oarecum cu conceptele moderne din Cuadratura parabolei, metodei și sferei și cilindrului. Nu ar trebui să se creadă că infinitezimalele au fost puse pe o bază riguroasă în această perioadă. Numai atunci când a fost completat de o dovadă geometrică adecvată, matematicienii greci ar accepta o propunere ca fiind adevărată., Nu a fost până în secolul al 17-lea că metoda a fost formalizat de Cavalieri ca metoda Indivizibles și în cele din urmă încorporate de Newton într-un cadru general de calcul integral. Arhimede a fost primul care a găsit tangenta la o curbă, alta decât un cerc, într-o metodă asemănătoare calculului diferențial. În timp ce studia spirala, el a separat mișcarea unui punct în două componente, o componentă de mișcare radială și o componentă de mișcare circulară, apoi a continuat să adauge cele două mișcări componente împreună, găsind astfel tangenta la curbă., Pionierii calculului, cum ar fi Isaac Barrow și Johann Bernoulli au fost studenți sârguincioși ai lui Arhimede; a se vedea, de exemplu, CS Roero (1983).metoda epuizării a fost reinventată în China de Liu Hui în secolul al IV-lea d.HR. pentru a găsi zona unui cerc. În secolul al V-lea, Zu Chongzhi a stabilit o metodă care mai târziu va fi numită principiul lui Cavalieri pentru a găsi volumul unei sfere.în Orientul Mijlociu Islamic, matematicianul Arab din secolul al XI-lea Ibn al-Haytham (Alhazen) a derivat o formulă pentru suma puterilor a patra., El a folosit Rezultatele pentru a realiza ceea ce s-ar numi acum o integrare, unde formulele pentru sumele pătratelor integrale și a patra putere i-au permis să calculeze volumul unui paraboloid. În al 12-lea, matematician persan Sharaf al-Dīn al-Tūsī descoperit derivat al cubi polinoame. Tratatul său despre ecuații a dezvoltat concepte legate de calculul diferențial, cum ar fi funcția derivată și maximele și minimele curbelor, pentru a rezolva ecuațiile cubice care nu pot avea soluții pozitive.,câteva idei despre calcul au apărut mai târziu în matematica indiană, la școala de astronomie și Matematică din Kerala. Madhava Sangamagrama în secolul al 14-lea, și mai târziu matematicieni ai școlii Kerala, a declarat componente ale calculului, cum ar fi seria Taylor și aproximări serie infinită. Cu toate acestea, ei nu au reușit să combine multe idei diferite sub cele două teme unificatoare ale derivatului și integralei, să arate legătura dintre cele două și să transforme Calculul în instrumentul puternic de rezolvare a problemelor pe care îl avem astăzi.,studiul matematic al continuității a fost reînviat în secolul al XIV-lea de către calculatoarele Oxford și colaboratorii francezi precum Nicole Oresme. Ei au dovedit „Teorema vitezei medii Merton”: că un corp accelerat uniform parcurge aceeași distanță ca un corp cu viteză uniformă a cărei viteză este jumătate din viteza finală a corpului accelerat.în secolul al XVII-lea, matematicienii europeni Isaac Barrow, René Descartes, Pierre de Fermat, Blaise Pascal, John Wallis și alții au discutat ideea unui derivat., În special, în Methodus ad disquirendam maximam et minime și în De tangentibus linearum curvarum, Fermat dezvoltat o adequality metodă de determinare maxima, minima, și tangente la diverse curbe care a fost strâns legat de diferențiere. Isaac Newton va scrie mai târziu că propriile sale idei timpurii despre calcul au venit direct din „modul lui Fermat de a desena tangente.,”
Pe integrantă parte, Cavalieri dezvoltat metoda sa de indivisibles în 1630 și 1640, oferind o formă mai modernă din greaca veche metodă de epuizare, și de calcul Cavalieri este formula de cuadratură, aria de sub curbele xn de grad mai mare, care a avut anterior a fost calculat pentru parabolă, de Arhimede. Torricelli a extins această lucrare la alte curbe, cum ar fi cicloida, iar apoi formula A fost generalizată la puteri fracționare și negative de către Wallis în 1656., Într-un tratat din 1659, Fermat este creditat cu un truc ingenios pentru evaluarea integrală a oricărei funcții de putere direct. Fermat a obținut, de asemenea, o tehnică pentru găsirea centrelor de greutate ale diferitelor figuri plane și solide, care au influențat lucrările ulterioare în cuadratură. James Gregory, influențat de contribuțiile lui Fermat atât la tangență, cât și la cuadratură, a fost apoi capabil să dovedească o versiune restrânsă a celei de-a doua teoreme fundamentale a calculului la mijlocul secolului al XVII-lea. Prima dovadă completă a teoremei fundamentale a calculului a fost dată de Isaac Barrow.: p.,61 când arc ME ~ arc NH la punctul de tangență F fig.26
zona umbrită a unei unități de măsură pătrată când x = 2.71828… Descoperirea numărului e al lui Euler și exploatarea acestuia cu funcțiile ex și logaritmul natural, au completat teoria integrării pentru calculul funcțiilor raționale.prima dovadă a teoremei lui Rolle a fost dată de Michel Rolle în 1691 folosind metode dezvoltate de matematicianul olandez Johann van Waveren Hudde., Teorema valorii medii în forma sa modernă a fost declarată de Bernard Bolzano și Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) și după fondarea calculului modern. Contribuții importante au fost aduse și de Barrow, Huygens și mulți alții.
Newton și LeibnizEdit
Înainte de Newton și Leibniz, cuvântul „calcul” face referire la orice corp de matematică, dar în următorii ani, „calcul” a devenit un termen popular pentru un domeniu al matematicii pe baza lor perspective., Newton și Leibniz, bazându-se pe această lucrare, au dezvoltat independent teoria înconjurătoare a calculului infinitezimal la sfârșitul secolului al XVII-lea. De asemenea, Leibniz a lucrat foarte mult cu dezvoltarea notațiilor și conceptelor consecvente și utile. Newton a oferit unele dintre cele mai importante aplicații ale fizicii, în special ale calculului integral. Scopul acestei secțiuni este de a examina investigațiile lui Newton și Leibniz în domeniul dezvoltării calculului infinitezimal., O importanță specifică va fi pusă pe justificarea și termenii descriptivi pe care i-au folosit în încercarea de a înțelege calculul așa cum l-au conceput ei înșiși.
până la mijlocul secolului al XVII-lea, matematica Europeană și-a schimbat depozitul principal de cunoștințe. În comparație cu secolul trecut, care a menținut matematica elenistică ca punct de plecare pentru cercetare, Newton, Leibniz și contemporanii lor au privit din ce în ce mai mult spre lucrările gânditorilor mai moderni., Europa devenise casa unei comunități matematice înfloritoare și odată cu apariția unor baze instituționale și organizaționale îmbunătățite, se atingea un nou nivel de organizare și integrare academică. Cu toate acestea, este important ca comunitatea să nu aibă formalism; în schimb, ea a constat dintr-o masă dezordonată de diferite metode, tehnici, notații, teorii și paradoxuri.
Newton a venit la calcul ca parte a investigațiilor sale în fizică și geometrie. El a privit calculul ca descrierea științifică a generării mișcării și a magnitudinilor., În comparație, Leibniz sa concentrat pe problema tangentă și a ajuns să creadă că calculul era o explicație metafizică a schimbării. Foarte important, nucleul înțelegerii lor a fost formalizarea proprietăților inverse dintre integrala și diferențialul unei funcții. Această înțelegere a fost anticipată de predecesorii lor, dar ei au fost primii care au conceput calculul ca un sistem în care au fost create noi retorici și termeni descriptivi., Descoperirile lor unice se află nu numai în imaginația lor, ci și în capacitatea lor de a sintetiza perspectivele din jurul lor într-un proces algoritmic universal, formând astfel un nou sistem matematic.
NewtonEdit
Newton a finalizat nici definitivă publicarea formalizarea lui fluxional calcul; mai degrabă, multe dintre descoperiri matematice au fost transmise prin corespondență, lucrări mai mici sau încorporate aspecte în alte definitivă compilatii, precum Principia și Opticks., Newton își va începe pregătirea matematică ca moștenitor ales al lui Isaac Barrow în Cambridge. Aptitudinea sa a fost recunoscută devreme și a învățat rapid teoriile actuale. Până în 1664 Newton și-a adus prima contribuție importantă prin avansarea teoremei binomiale, pe care a extins-o pentru a include exponenți fracționari și negativi. Newton a reușit să extindă aplicabilitatea teoremei binomiale prin aplicarea algebrei cantităților finite într-o analiză a seriilor infinite., El a arătat dorința de a vedea serii infinite nu numai ca dispozitive aproximative, ci și ca forme alternative de exprimare a unui termen.multe dintre ideile critice ale lui Newton au avut loc în anii de ciumă din 1665-1666, pe care el le-a descris mai târziu ca fiind „floarea vârstei mele pentru invenție și matematică și filozofie mai mult decât în orice moment de atunci.”Acesta a fost în timpul lui ciuma induse de izolare care a scris prima concepție de fluxionary calcul a fost înregistrat în nepublicate De Analiză pe Aequationes Numero Terminorum Infinitas., În această lucrare, Newton a determinat aria de sub o curbă calculând mai întâi o rată momentană de schimbare și apoi extrapolând suprafața totală. El a început prin raționament despre un infinit mic triunghi a cărui suprafață este o funcție de x și y. El și-a motivat atunci că infinitezimal crește în abscisă se va crea o nouă formulă în care x = x + o (important, este o scrisoare, nu cifra 0). Apoi a recalculat zona cu ajutorul teoremei binomiale, a eliminat toate cantitățile care conțin litera o și a re-format o expresie algebrică pentru zonă., În mod semnificativ, Newton ar „șterge” cantitățile care conțin o, deoarece termenii „înmulțiți cu acesta nu vor fi nimic în ceea ce privește restul”.în acest moment, Newton începuse să realizeze proprietatea centrală a inversiunii. El a creat o expresie pentru zona de sub o curbă prin luarea în considerare o creștere de moment la un punct. De fapt, Teorema fundamentală a calculului a fost încorporată în calculele sale. În timp ce noua sa formulare oferea un potențial incredibil, Newton era conștient de limitările sale logice la acea vreme., El recunoaște că „erorile nu trebuie ignorate în matematică, indiferent cât de mici” și că ceea ce a obținut a fost „explicat pe scurt, mai degrabă decât demonstrat cu exactitate.”
Într-un efort de a da un calcul mai riguros explicația și cadru, Newton compilat în 1671 la Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum. În această carte, empirismul strict al lui Newton a modelat și definit calculul său fluxional. El a exploatat mișcarea instantanee și infinitezimalele informal. El a folosit matematica ca instrument metodologic pentru a explica lumea fizică., Baza calculului revizuit al lui Newton a devenit continuitate; ca atare, el și-a redefinit calculele în ceea ce privește mișcarea continuă. Pentru Newton, mărimile variabile nu sunt agregate de elemente infinitezimale, ci sunt generate de faptul incontestabil al mișcării. Ca și în multe dintre lucrările sale, Newton a întârziat publicarea. Methodus Fluxionum nu a fost publicat până în 1736.Newton a încercat să evite utilizarea infinitezimalului prin formarea de calcule bazate pe rapoarte de modificări., În Methodus Fluxionum el a definit rata de schimbare generată ca un fluxion, pe care el a reprezentat printr-o literă punctată, și cantitatea generată el a definit ca un fluent. De exemplu, dacă x {\displaystyle {x}} și y {\displaystyle {y}} sunt fluents, atunci x {\displaystyle {\dot {x}}} și y {\displaystyle {\dot {y}}} sunt lor nobil., Acest revizuite de calcul de rate a continuat să fie dezvoltat și a fost maturitate a declarat în 1676 text De Quadratura Curvarum unde Newton a venit pentru a defini prezent derivate ca ultim raport al schimbării, care a definit ca raport între efemer trepte (raportul dintre nobil) pur la momentul în cauză. În esență, raportul final este raportul pe măsură ce creșterile dispar în nimic., Important, Newton a explicat existența raportului final prin apelarea la mișcare;
„căci prin viteza finală se înțelege că, cu care corpul este mișcat, nici înainte de a ajunge la ultimul său loc, când mișcarea încetează, nici după, ci chiar în momentul în care ajunge… final raport de efemer cantități este de a fi înțeles, raportul dintre cantitățile nu înainte de a dispărea, nu după, dar cu care dispar”
Newton a dezvoltat fluxional de calcul într-o încercare de a se sustrage informale utilizarea infinitesimals în calculele sale.,
LeibnizEdit
Leibniz: Nova methodus pro maximis et minimis, Acta Eruditorum, Leipzig, octombrie 1684. Prima pagină a publicației lui Leibniz a calculului diferențial.
Grafice se face referire în Leibniz’ art de 1684
în Timp ce Newton a început dezvoltarea lui fluxional calcul în 1665-1666 constatările sale nu a devenit pe scară largă a circulat până mai târziu. În anii care au urmat, Leibniz sa străduit, de asemenea, să-și creeze calculul., În comparație cu Newton care a venit la matematică la o vârstă fragedă, Leibniz și-a început studiile riguroase de matematică cu un intelect Matur. A fost un polimat, iar interesele și realizările sale intelectuale au implicat metafizică, Drept, Economie, Politică, logică și matematică. Pentru a înțelege raționamentul lui Leibniz în calcul, ar trebui să se țină cont de trecutul său. În special, Metafizica sa care a descris universul ca o Monadologie și planurile sale de a crea o logică formală precisă prin care, „o metodă generală în care toate adevărurile rațiunii ar fi reduse la un fel de calcul.,în 1672, Leibniz l-a întâlnit pe matematicianul Huygens care l-a convins pe Leibniz să dedice timp semnificativ studiului matematicii. Până în 1673 a progresat la citirea Traité des Sinus du Quarte Cercle a lui Pascal și în timpul cercetărilor sale în mare parte autodidactice Leibniz a spus „o lumină aprinsă”. Ca și Newton, Leibniz a văzut tangenta ca un raport, dar a declarat-o ca fiind pur și simplu raportul dintre ordonate și abscise., El a continuat acest raționament pentru a susține că integrala era de fapt suma ordinelor pentru intervale infinitezimale în abscisă; de fapt, suma unui număr infinit de dreptunghiuri. Din aceste definiții relația inversă sau diferențială a devenit clară și Leibniz a realizat rapid potențialul de a forma un sistem complet nou de matematică. În cazul în care Newton de-a lungul carierei sale a folosit mai multe abordări în plus față de o abordare folosind infinitezimale, Leibniz a făcut acest lucru piatra de temelie a notației și calculului său.,în manuscrisele din 25 octombrie-11 noiembrie 1675, Leibniz a înregistrat descoperirile și experimentele sale cu diferite forme de notație. El era pe deplin conștient de termenii notaționali folosiți și planurile sale anterioare de a forma un simbolism logic precis au devenit evidente. În cele din urmă, Leibniz notate infinitezimal trepte de abscise și ordonate dx și dy, și însumarea infinit de infinit de multe dreptunghiuri subtiri ca un timp s (∫ ), care a devenit în prezent integrantă simbolul ∫ {\displaystyle \scriptstyle \int } .,în timp ce notația lui Leibniz este folosită de matematica modernă, baza sa logică era diferită de cea actuală. Leibniz a îmbrățișat infinitezimalele și a scris pe larg, astfel încât, ” să nu facă din infinit de mic un mister, așa cum a avut Pascal.”Potrivit lui Gilles Deleuze, zerourile lui Leibniz” nu sunt nimicuri, dar nu sunt nimicuri absolute, ci, respectiv, nimicuri” (citând textul lui Leibniz „justificarea calculului infinitezimalelor prin calculul algebrei obișnuite”). Alternativ, el le definește ca ” mai puțin decât orice cantitate dată.,”Pentru Leibniz, lumea era un agregat de puncte infinitezimale, iar lipsa dovezilor științifice pentru existența lor nu-l deranja. Infinitezimalele la Leibniz erau cantități ideale de un tip diferit de numerele apreciabile. Adevărul continuității a fost dovedit de existența însăși. Pentru Leibniz a fost asigurat principiul continuității și, astfel, validitatea calculului său. La trei sute de ani după lucrarea lui Leibniz, Abraham Robinson a arătat că utilizarea cantităților infinitezimale în calcul ar putea avea o bază solidă.,
LegacyEdit
creșterea calculului iese în evidență ca un moment unic în matematică. Calculul este matematica mișcării și a schimbării și, ca atare, invenția sa a necesitat crearea unui nou sistem matematic. Foarte important, Newton și Leibniz nu au creat același calcul și nu au conceput calculul modern. În timp ce ambii au fost implicați în procesul de creare a unui sistem matematic pentru a face față cantităților variabile, baza lor elementară a fost diferită., Pentru Newton, schimbarea a fost o cantitate variabilă în timp, iar pentru Leibniz a fost diferența variind într-o secvență de valori infinit de apropiate. În special, termenii descriptivi fiecare sistem creat pentru a descrie schimbarea a fost diferit.din punct de vedere istoric, au existat multe dezbateri asupra faptului dacă Newton sau Leibniz au fost primii care au „inventat” calculul. Acest argument, controversa calculului Leibniz și Newton, implicând Leibniz, care era German, și englezul Newton, a dus la o ruptură în comunitatea matematică Europeană care a durat peste un secol., Leibniz a fost primul care a publicat studiile sale; cu toate acestea, este bine stabilit faptul că Newton a început munca sa de mai mulți ani înainte de Leibniz și-au dezvoltat o teorie a tangentele de timp Leibniz a devenit interesat în cauză.Nu se știe cât de mult poate fi influențat Leibniz. Acuzațiile inițiale au fost făcute de studenți și susținători ai celor doi mari oameni de știință de la începutul secolului, dar după 1711 ambii s-au implicat personal, acuzându-se reciproc de plagiat.,disputa prioritară a avut ca efect separarea matematicienilor de limbă engleză de cei din Europa continentală timp de mulți ani. Numai în anii 1820, datorită eforturilor societății analitice, calculul analitic Leibnizian a devenit acceptat în Anglia. Astăzi, atât Newton, cât și Leibniz primesc credit pentru dezvoltarea independentă a elementelor de bază ale calculului. Totuși, Leibniz este cel care este creditat să dea noii discipline numele pe care îl cunoaște astăzi: „calcul”. Numele lui Newton pentru aceasta a fost”știința fluentelor și a fluxurilor”.,lucrarea lui Newton și a lui Leibniz se reflectă în notația folosită astăzi. Newton a introdus notația f {\displaystyle {\dot {f}}} pentru derivata functiei f. Leibniz a introdus simbolul ∫ {\displaystyle \int } pentru integrantă și a scris derivat de o funcție y de variabila x d y d x {\displaystyle {\frac {u}{dx}}} , ambele din care sunt încă în uz.din vremea lui Leibniz și Newton, mulți matematicieni au contribuit la dezvoltarea continuă a calculului., Una dintre primele și cele mai complete lucrări privind calculul infinitezimal și integral a fost scrisă în 1748 de Maria Gaetana Agnesi.
metode Operaționaleedit
Antoine Arbogast (1800) a fost primul care a separat simbolul de funcționare de cel al cantității într-o ecuație diferențială. Francois-Joseph Servois (1814) pare să fi fost primul care a dat reguli corecte pe această temă. Charles James Hargreave (1848) a aplicat aceste metode în memoriile sale despre ecuațiile diferențiale, iar George Boole le-a angajat liber., Hermann Grassmann și Hermann Hankel au folosit foarte mult teoria, prima în studierea ecuațiilor, cea din urmă în teoria numerelor complexe.calculul variațiilor se poate spune că calculul variațiilor începe cu o problemă a lui Johann Bernoulli (1696). Acesta a ocupat imediat atenția lui Jakob Bernoulli, dar Leonhard Euler a elaborat mai întâi subiectul. Contribuțiile sale au început în 1733, iar Elementa Calculi Variationum a dat științei numele său., Joseph Louis Lagrange a contribuit mult la teorie, iar Adrien-Marie Legendre (1786) a stabilit o metodă, deloc satisfăcătoare, pentru discriminarea maximelor și minimelor. La această discriminare Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Denis Poisson (1831), Mihail Vasilievici Ostrogradsky (1834), și Carl Gustav Jacob Jacobi (1837) au fost printre contribuabili. O lucrare generală importantă este cea a lui Sarrus (1842) care a fost condensată și îmbunătățită de Augustin Louis Cauchy (1844)., Alte valoroase tratate și memoriile au fost scrise de Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858), Carll (1885), dar poate cel mai important lucru de secol este faptul că de Karl Weierstrass. Cursul său asupra teoriei poate fi afirmat a fi primul care plasează calculul pe o bază fermă și riguroasă.
