biografi – Vem var Pascal
Blaise Pascal (1623-1662)
fransmannen Blaise Pascal var en framstående 17th Century forskare, filosof och matematiker. Liksom så många stora matematiker var han ett underbarn och förföljde många olika vägar för intellektuell strävan under hela sitt liv., Mycket av hans tidiga arbete var inom naturvetenskap och tillämpad vetenskap, och han har en fysisk lag uppkallad efter honom (att” tryck som utövas någonstans i en begränsad vätska överförs lika och oavslutad i alla riktningar i hela vätskan”), liksom den internationella enheten för mätning av tryck. I filosofin är Pascals satsning hans pragmatiska inställning till att tro på Gud på grund av att det är en bättre ”satsning” än att inte.
men Pascal var också en matematiker av den första ordern., Vid sexton års ålder skrev han en betydande avhandling om ämnet projektiv geometri, känd som Pascals teorem, som säger att om en hexagon är inskriven i en cirkel, ligger de tre skärningspunkterna på motsatta sidor på en enda linje, kallad Pascal-linjen. Som ung byggde han en funktionell beräkningsmaskin som kunde utföra tillägg och subtraktioner för att hjälpa sin far med sina skatteberäkningar.,
Pascals triangel
tabellen över binomiala koefficienter som kallas Pascals triangel
Han är mest känd, men för Pascals triangel, en bekväm tabellformulering av binomiala kooperativa, där varje nummer är summan av de två siffrorna direkt ovanför den. En binomial är en enkel typ av algebraiska uttryck som har bara två termer som drivs på endast genom addition, subtraktion, multiplikation och positiva heltal exponenter, såsom (x + y)2., De samverkningar som produceras när en binomial expanderas bildar en symmetrisk triangel (se bild till höger).
Pascal var långt ifrån den första som studerade denna triangel. Den persiska matematikern Al-Karaji hade producerat något mycket liknande så tidigt som 10-talet, och triangeln kallas yang Huis triangel i Kina efter 1200-talet kinesiska matematiker, och Tartaglias triangel i Italien efter den självbetitlade 16-talet italienska., Men Pascal bidrog med ett elegant bevis genom att definiera siffrorna genom rekursion, och han upptäckte också många användbara och intressanta mönster bland raderna, kolumnerna och diagonalerna i uppsättningen siffror. Till exempel, titta på diagonalerna ensam, efter utsidan ” hud ” av 1-talet, nästa diagonal (1, 2, 3, 4, 5,…) är de naturliga siffrorna i ordning. Nästa diagonal inom det (1, 3, 6, 10, 15,…) är de triangulära siffrorna i ordning. Nästa (1, 4, 10, 20, 35,…) är pyramidala triangulära tal etc., Det är också möjligt att hitta primtal, Fibonacci-nummer, katalanska tal och många andra serier, och till och med att hitta fraktala mönster inom den.
Pascal gjorde också det konceptuella språnget för att använda triangeln för att lösa problem i sannolikhetsteori. Det var faktiskt genom hans samarbete och korrespondens med hans franska samtida Pierre de Fermat och Holländaren Christiaan Huygens om ämnet att den matematiska sannolikhetsteorin föddes., Innan Pascal fanns det ingen verklig sannolikhetsteori-trots Gerolamo Cardanos tidiga utställning på 1500 – talet-bara en förståelse (av olika slag) om hur man beräknar ”chanser” i tärningar och kortspel genom att räkna lika sannolika resultat. Några tydligen ganska elementära problem med Sannolikhet hade undgått några av de bästa matematikerna, eller gett upphov till felaktiga lösningar.,
det föll till Pascal (med Fermats hjälp) för att sammanföra de separata trådarna av förkunskaper (inklusive Cardanos tidiga arbete) och att införa helt nya matematiska tekniker för lösningen av problem som hittills hade motstått lösning., Två sådana oförsonliga problem som Pascal och Fermat tillämpade sig på var spelarens Ruin (bestämma chanserna att vinna för var och en av två män som spelar ett visst tärningsspel med mycket specifika regler) och problemet med poäng (bestämma hur ett spelets vinster ska delas mellan två lika skickliga spelare om spelet avslutades i förtid). Hans arbete på problemet med punkter i synnerhet, även om opublicerade vid den tiden, var mycket inflytelserik i det utvecklande nya fältet.,
problemet med punkter
Fermat och Pascals lösning på problemet med punkter
problemet med punkter som är enklaste kan illustreras av ett enkelt spel av ”winner take all” som involverar kasta av ett mynt. Den första av de två spelarna (säg Fermat och Pascal) för att uppnå tio poäng eller vinster är att få en pott på 100 Franc. Men om spelet avbryts vid den punkt där Fermat, säg, vinner 8 poäng till 7, Hur är 100 franc potten delas?, Fermat hävdade att, eftersom han bara behövde två poäng för att vinna spelet, och Pascal behövde tre, skulle spelet ha varit över efter fyra fler kasta av myntet (för om Pascal inte fick de nödvändiga 3-poängen för din seger över de fyra kasta, måste Fermat ha fått de nödvändiga 2-poängen för sin seger och vice versa. Fermat listade sedan uttömmande de möjliga resultaten av de fyra kasta och drog slutsatsen att han skulle vinna i 11 av de 16 möjliga resultaten, så han föreslog att 100 francs be split 11 (0.6875) till honom och 5 16 (0.3125) till Pascal.,
Pascal letade sedan efter ett sätt att generalisera problemet som skulle undvika den tråkiga noteringen av möjligheter och insåg att han kunde använda rader från sin triangel av koefficienter för att generera siffrorna, oavsett hur många mynt som återstod. Eftersom Fermat behövde ytterligare 2 poäng för att vinna spelet och Pascal behövde 3, gick han till den femte (2 + 3) raden i triangeln, dvs 1, 4, 6, 4, 1., De första 3 termer som läggs ihop (1 + 4 + 6 = 11) representerade resultaten där Fermat skulle vinna, och de två sista termerna (4 + 1 = 5) resultaten där Pascal skulle vinna, av det totala antalet resultat som representeras av summan av hela raden (1 + 4 + 6 +4 +1 = 16).
Pascal och Fermat hade förstått genom sin korrespondens ett mycket viktigt koncept som, även om det kanske var intuitivt för oss idag, var allt utom revolutionärt år 1654., Detta var tanken på lika sannolika resultat, att sannolikheten för att något inträffar kan beräknas genom att räkna upp antalet lika sannolika sätt som det kan uppstå och dela detta med det totala antalet möjliga resultat av den givna situationen. Detta möjliggjorde användningen av fraktioner och förhållanden vid beräkningen av händelsens likhet och driften av multiplikation och tillägg på dessa fraktionella sannolikheter., Till exempel är sannolikheten att kasta en 6 på en dö två gånger 1 trip 6 x 1 6 = 1 trip 36 (”och” fungerar som multiplikation); sannolikheten att kasta antingen en 3 eller en 6 är 1⁄6 + 1⁄6 = 1⁄3 (”eller” fungerar som tillägg).
senare i livet identifierade Pascal och hans syster Jacqueline starkt med Jansenismens extrema katolska religiösa rörelse. Efter faderns död och en ”mystisk upplevelse” i slutet av 1654 hade han sin ”andra omvandling” och övergav sitt vetenskapliga arbete helt och ägnade sig åt filosofi och teologi., Hans två mest kända verk, ”Lettres provinciales” och ”Pensées”, från denna period, lämnade den senare ofullständig vid sin död 1662. De är fortfarande Pascals mest kända arv, och han brukar komma ihåg idag som en av de viktigaste författarna till den franska klassiska perioden och en av de största mästarna i fransk prosa, mycket mer än för hans bidrag till matematik.,
| << Back to Fermat | Forward to Newton >> |
