Good Mood

AncientEdit

den gamla perioden introducerade några av de idéer som ledde till integrerad kalkyl, men verkar inte ha utvecklat dessa idéer på ett rigoröst och systematiskt sätt. Beräkningar av volymer och områden, ett mål med integrerad kalkyl, finns i den egyptiska Moskva papyrus (C., 1820 f. Kr.), men formlerna ges endast för konkreta tal, vissa är bara ungefär sanna, och de härleds inte av deduktiva resonemang. Babylonierna kan ha upptäckt den trapezformiga regeln medan de gör astronomiska observationer av Jupiter.

från den grekiska matematikens ålder använde Eudoxus (C. 408-355 f. Kr.) metoden för utmattning, som förskuggar begreppet gräns, för att beräkna områden och volymer, medan Archimedes (C. 287-212 f.Kr.) utvecklade denna idé vidare och uppfann heuristik som liknar metoderna för integrerad kalkyl., Grekiska matematiker krediteras också med en betydande användning av infinitesimaler. Democritus är den första personen som spelats in för att allvarligt överväga uppdelningen av objekt i ett oändligt antal tvärsnitt, men hans oförmåga att rationalisera diskreta tvärsnitt med en kons släta sluttning hindrade honom från att acceptera idén. Vid ungefär samma tid misskrediterade Zeno av Elea infinitesimals ytterligare genom hans artikulering av de paradoxer som de skapar.,

Archimedes utvecklade denna metod vidare, samtidigt som han uppfann heuristiska metoder som liknar moderna begrepp något i hans kvadratur av parabolen, metoden och på sfären och cylindern. Man bör dock inte tro att infinitesimals sattes på en rigorös fot under denna tid. Först när det kompletterades med ett korrekt geometriskt bevis skulle grekiska matematiker acceptera ett förslag som sant., Det var inte förrän på 1700-talet att metoden formaliserades av Cavalieri som Indivisibles-metoden och så småningom införlivades av Newton i en allmän ram för integrerad kalkyl. Archimedes var den första att hitta tangenten till en annan kurva än en cirkel, i en metod som liknar differentialkalkyl. Medan han studerade spiralen separerade han en punkts rörelse i två komponenter, en radiell rörelsekomponent och en cirkulär rörelsekomponent, och fortsatte sedan att lägga till de två komponentrörelserna tillsammans och därigenom hitta tangenten till kurvan., Pionjärerna i kalkylen som Isaac Barrow och Johann Bernoulli var flitiga studenter i Archimedes; se till exempel C. S. Roero (1983).

metoden för utmattning återuppfunnits i Kina av Liu Hui i 4: e århundradet e.Kr. för att hitta området i en cirkel. På 5: e århundradet etablerade Zu Chongzhi en metod som senare skulle kallas cavalieris princip för att hitta volymen av en sfär.

MedievalEdit

i Islamiska Mellanöstern, den 11: e-talet arabiska matematiker Ibn al-Haytham (Alhazen) härledde en formel för summan av fjärde befogenheter., Han använde resultaten för att utföra vad som nu skulle kallas en integration, där formlerna för summan av integrerade kvadrater och fjärde befogenheter gjorde det möjligt för honom att beräkna volymen av en paraboloid. På 1100-talet upptäckte den persiska matematikern Sharaf al-Dīn al-Tūsī derivatet av kubiska polynom. Hans avhandling om ekvationer utvecklade begrepp relaterade till differentialkalkyl, såsom derivatfunktionen och kurvornas maxima och minima, för att lösa kubikekvationer som kanske inte har positiva lösningar.,

några idéer om kalkyl uppträdde senare i Indisk matematik, vid Kerala School of astronomy and mathematics. Madhava av Sangamagrama i den 14: e århundradet, och senare matematiker Kerala skolan, konstaterade komponenter av tandsten som Taylor-serien och oändlig serie approximationer. Men de kunde inte kombinera många olika idéer under de två förenande teman av derivatet och integralet, visa sambandet mellan de två och förvandla kalkyl till det kraftfulla problemlösningsverktyget vi har idag.,

den matematiska studien av kontinuitet återupplivades på 1300-talet av Oxford räknare och franska medarbetare som Nicole Oresme. De visade ”Merton mean speed theorem”: att en likformigt accelererad kropp färdas på samma avstånd som en kropp med likformig hastighet vars hastighet är hälften av den accelererade kroppens slutliga hastighet.

tidig ModernEdit

På 1700-talet diskuterade Europeiska matematiker Isaac Barrow, René Descartes, Pierre de Fermat, Blaise Pascal, John Wallis och andra idén om ett derivat., I synnerhet i Methodus annons disquirendam maximam et minima och i De tangentibus linearum curvarum, Fermat utvecklat en adequality metod för att bestämma maxima, minima och tangenter till olika kurvor som var nära relaterade till differentiering. Isaac Newton skulle senare skriva att hans egna tidiga idéer om kalkyl kom direkt från ” Fermats sätt att rita tangenter.,”

på den integrerade sidan utvecklade Cavalieri sin metod för indivisibles på 1630-talet och 1640-talet, vilket gav en modernare form av den antika grekiska metoden för utmattning och beräkning av Cavalieris kvadraturformel, området under kurvorna xn av högre grad, som tidigare endast hade beräknats för parabolen, av Archimedes. Torricelli utvidgade detta arbete till andra kurvor som cykloiden, och sedan generaliserades formeln till fraktionella och negativa krafter av Wallis 1656., I en 1659 avhandling krediteras Fermat med ett genialt trick för att utvärdera integralet av någon Effektfunktion direkt. Fermat erhöll också en teknik för att hitta tyngdpunkterna hos olika plan och fasta figurer, vilket påverkade ytterligare arbete i kvadratur. James Gregory, influerad av Fermats bidrag både till tangens och till kvadratur, kunde sedan bevisa en begränsad version av den andra grundläggande satsen av kalkyl i mitten av 1700-talet. Det första fullständiga beviset på den grundläggande satsen av kalkyl gavs av Isaac Barrow.:p.,61 när arc ME ~ arc NH vid tangens f fig.26

det första beviset på Rolles teorem gavs av Michel Rolle år 1691 med hjälp av metoder som utvecklats av den nederländska matematikern Johann van Waveren Hudde., Medelvärdessatsen i sin moderna form angavs av Bernard Bolzano och Augustin Louis Cauchy (1789-1857) även efter grundandet av den moderna kalkyl. Viktiga bidrag gjordes också av Barrow, Huygens och många andra.

Newton och LeibnizEdit

före Newton och Leibniz hänvisade ordet ”calculus” till någon matematikkropp, men under de följande åren blev ”calculus” en populär term för ett matematikfält baserat på deras insikter., Newton och Leibniz, som bygger på detta arbete, utvecklade självständigt den omgivande teorin om infinitesimal kalkyl i slutet av 1700-talet. Leibniz gjorde också mycket arbete med att utveckla konsekvent och användbar notation och begrepp. Newton gav några av de viktigaste applikationerna till fysik, särskilt av integrerad kalkyl. Syftet med detta avsnitt är att undersöka Newton och Leibniz undersökningar av utvecklingsområdet för infinitesimal kalkyl., Särskild vikt kommer att läggas på motiveringen och beskrivande termer som de använde i ett försök att förstå kalkyl som de själva tänkte på det.

i mitten av 1700-talet hade den europeiska matematiken ändrat sitt primära förråd av kunskap. I jämförelse med det senaste århundradet som upprätthöll hellenistisk matematik som utgångspunkt för forskning såg Newton, Leibniz och deras samtidiga alltmer mot verk av modernare tänkare., Europa hade blivit hem för en spirande matematisk gemenskap och med tillkomsten av förbättrade institutionella och organisatoriska baser uppnåddes en ny nivå av organisation och akademisk integration. Det viktigaste är dock att samhället saknade formalism; istället bestod det av en oordnad massa av olika metoder, tekniker, noteringar, teorier och paradoxer.

Newton kom till kalkyl som en del av sina undersökningar inom fysik och geometri. Han såg kalkyl som den vetenskapliga beskrivningen av generering av rörelse och magnituder., I jämförelse fokuserade Leibniz på tangent problemet och kom att tro att kalkyl var en metafysisk förklaring av förändring. Viktigt var kärnan i deras insikt formaliseringen av de inversa egenskaperna mellan integralen och differentialen av en funktion. Denna insikt hade förutsetts av sina föregångare, men de var de första som uppfattade kalkyl som ett system där nya retorik och beskrivande termer skapades., Deras unika upptäckter låg inte bara i deras fantasi utan också i deras förmåga att syntetisera insikterna kring dem i en universell algoritmisk process och därigenom bilda ett nytt matematiskt system.

NewtonEdit

Newton slutförde ingen definitiv publikation som formaliserar hans fluxalkalkyl; snarare överfördes många av hans matematiska upptäckter genom korrespondens, mindre papper eller som inbäddade aspekter i hans andra definitiva sammanställningar, såsom Principien och optikerna., Newton skulle börja sin matematiska träning som Isaac Barrows utvalda arvtagare i Cambridge. Hans förmåga erkändes tidigt och han lärde sig snabbt de nuvarande teorierna. Av 1664 Newton hade gjort sitt första viktiga bidrag genom att avancera binomial teorem, som han hade utvidgats till att omfatta fraktionella och negativa exponenter. Newton lyckades utöka tillämpligheten av binomialteoremen genom att applicera algebra av ändliga kvantiteter i en analys av oändlig serie., Han visade en vilja att se oändlig serie inte bara som ungefärliga enheter, men också som alternativa former för att uttrycka en term.

många av Newtons kritiska insikter inträffade under peståren 1665-1666 som han senare beskrev som ” mitt livs främsta uppfinning och sinnade matematik och filosofi mer än någon gång sedan.”Det var under hans plåga-inducerad isolering att den första skriftliga utformningen av fluxionary kalkyl spelades in i opublicerade De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas., I detta papper bestämde Newton området under en kurva genom att först beräkna en kortvarig förändringshastighet och sedan extrapolera den totala ytan. Han började med resonemang om en obestämd liten triangel vars område är en funktion av x och y. han motiverade sedan att den infinitesimala ökningen i abscissen kommer att skapa en ny formel där x = X + o (viktigare, o är bokstaven, inte siffran 0). Han räknade sedan om området med hjälp av binomialteoremen, tog bort alla kvantiteter som innehåller bokstaven o och bildade om ett algebraiskt uttryck för området., Betydligt, Newton skulle då ” blot ut ”de kvantiteter som innehåller o eftersom termer”multiplicerat med det kommer att vara ingenting i förhållande till resten”.

Vid denna tidpunkt hade Newton börjat inse den centrala egenskapen för inversion. Han hade skapat ett uttryck för området under en kurva genom att överväga en tillfällig ökning vid en tidpunkt. I själva verket byggdes den grundläggande satsen av kalkyl i hans beräkningar. Medan hans nya formulering erbjöd otrolig potential var Newton väl medveten om sina logiska begränsningar vid den tiden., Han medger att ” fel inte ska ignoreras i matematik, oavsett hur liten ”och att det han hade uppnått var” kort förklarat snarare än korrekt demonstrerat.”

I ett försök att ge kalkyl en mer noggrann förklaring och ram, Newton sammanställts i år 1671 Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum. I den här boken formade Newtons strikta empirism och definierade sin fluxionala kalkyl. Han utnyttjade ögonblicklig rörelse och infinitesimals informellt. Han använde matematik som ett metodologiskt verktyg för att förklara den fysiska världen., Basen av Newtons reviderade kalkyl blev kontinuitet; som sådan omdefinierade han sina beräkningar när det gäller kontinuerlig flytande rörelse. För Newton är variabla magnituder inte aggregat av infinitesimala element, men genereras av det obestridliga rörelsefaktan. Som med många av hans verk försenade Newton publicering. Methodus Fluxionum publicerades inte förrän 1736.

Newton försökte undvika användning av infinitesimal genom att bilda beräkningar baserade på förändringar., I Methodus Fluxionum definierade han graden av genererad förändring som en fluxion, som han representerade med en prickad bokstav och den mängd som genererades definierade han som flytande. Till exempel, om x {\displaystyle {X}} och y {\displaystyle {y}} är flytande, är x {\displaystyle {\dot {X}}} och y {\displaystyle {\dot {y}}} deras respektive flöden., Denna reviderade beräkning av nyckeltal fortsatte att utvecklas och anges i 1676 text de Quadratura Curvarum där Newton kom för att definiera dagens derivat som det ultimata förhållandet mellan förändring, vilket han definierade som förhållandet mellan evanscentstegringar (förhållandet mellan fluxioner) rent för tillfället i fråga. I huvudsak är det ultimata förhållandet förhållandet att inkrementen försvinner till ingenting., Viktigt är att Newton förklarade existensen av det ultimata förhållandet genom att vädja till rörelse;

”För med den ultimata hastigheten menas att, med vilken kroppen flyttas, varken innan den anländer till sin sista plats, när rörelsen upphör eller efter men i det ögonblick när den anländer… det ultimata förhållandet mellan oändliga kvantiteter är att förstå, förhållandet mellan kvantiteter inte innan de försvinner, inte efter, men med vilka de försvinner”

Newton utvecklade sin fluxalkalkyl i ett försök att undvika den informella användningen av infinitesimaler i sina beräkningar.,

LeibnizEdit

medan Newton började utveckla sin fluxalkalkyl i 1665-1666 blev hans fynd inte allmänt cirkulerade förrän senare. Under de mellanliggande åren strävade Leibniz också för att skapa sin kalkyl., I jämförelse med Newton som kom till matematik i en tidig ålder började Leibniz sina rigorösa matematiska studier med ett moget intellekt. Han var en polymath, och hans intellektuella intressen och prestationer involverade metafysik, lag, ekonomi, politik, logik och matematik. För att förstå Leibniz resonemang i kalkyl bör hans bakgrund hållas i åtanke. Särskilt hans metafysik som beskrev universum som en Monadologi och hans planer på att skapa en exakt formell logik där ”en allmän metod där alla sanningar av orsaken skulle reduceras till en slags beräkning.,”

år 1672 träffade Leibniz matematikern Huygens som övertygade Leibniz att ägna betydande tid åt studier av matematik. Av 1673 hade han utvecklats till att läsa Pascals dragé des Sinus du Quarte Cercle och det var under hans till stor del autodidaktiska forskning som Leibniz sa ”ett ljus påslagen”. Liksom Newton såg Leibniz tangenten som ett förhållande men förklarade det som helt enkelt förhållandet mellan ordinater och abscissas., Han fortsatte detta resonemang för att hävda att integralet faktiskt var summan av ordinaterna för infinitesimala intervall i abscissen; i själva verket summan av ett oändligt antal rektanglar. Från dessa definitioner blev det omvända förhållandet eller differentialen klart och Leibniz insåg snabbt potentialen att bilda ett helt nytt matematiksystem. Där Newton under sin karriär använde flera tillvägagångssätt förutom ett tillvägagångssätt med infinitesimaler, gjorde Leibniz detta till hörnstenen i hans notation och kalkyl.,

i manuskripten av 25 oktober till 11 November 1675 registrerade Leibniz sina upptäckter och experiment med olika former av notation. Han var mycket medveten om de notationsmässiga termer som användes och hans tidigare planer på att bilda en exakt logisk symbolik blev uppenbara. Så småningom betecknade Leibniz de infinitesimala inkrementen av abscissas och ordinerar DX och dy, och summeringen av oändligt många oändligt tunna rektanglar som en lång s (), som blev den nuvarande integralsymbolen {\displaystyle \scriptstyle \int } .,

medan Leibniz notation används av modern matematik, var hans logiska bas annorlunda än vår nuvarande. Leibniz omfamnade infinitesimaler och skrev i stor utsträckning så som, ”inte för att göra det oändligt lilla ett mysterium, som hade Pascal.”Enligt Gilles Deleuze är Leibniz nollor” ingentingar, men de är inte absoluta ingentingar, de är ingentingar respektive” (citerar Leibniz’ text ”motivering av beräkningen av infinitesimaler genom beräkningen av vanlig algebra”). Alternativt definierar han dem som ” mindre än någon given kvantitet.,”För Leibniz var världen ett aggregat av infinitesimala punkter och bristen på vetenskapliga bevis för deras existens störde inte honom. Infinitesimals till Leibniz var idealiska mängder av en annan typ från märkbara tal. Kontinuitetens sanning bevisades av själva existensen. För Leibniz säkerställdes principen om kontinuitet och därmed giltigheten av hans kalkyl. Trehundra år efter Leibniz arbete visade Abraham Robinson att användning av oändliga kvantiteter i kalkyl kunde ges en solid grund.,

LegacyEdit

ökningen av kalkyl sticker ut som ett unikt ögonblick i matematik. Kalkyl är matematiken i rörelse och förändring, och som sådan krävde uppfinningen skapandet av ett nytt matematiskt system. Viktigt är att Newton och Leibniz inte skapade samma kalkyl och de tänkte inte på modern kalkyl. Medan de båda var involverade i processen att skapa ett matematiskt system för att hantera variabla kvantiteter var deras elementära bas annorlunda., För Newton var förändring en variabel kvantitet över tiden och för Leibniz var det skillnaden som varierade över en sekvens av oändligt nära värden. I synnerhet var de beskrivande termerna varje system som skapades för att beskriva förändringen annorlunda.

historiskt var det mycket debatt om huruvida det var Newton eller Leibniz som först ”uppfann” kalkyl. Detta argument, Leibniz och Newton calculus kontrovers, involverar Leibniz, som var tyska, och engelsmannen Newton, ledde till en spricka i den europeiska matematiska gemenskapen som varade över ett sekel., Leibniz var den första som publicerade sina undersökningar; det är dock väl etablerat att Newton hade börjat sitt arbete flera år före Leibniz och hade redan utvecklat en teori om tangenter när Leibniz blev intresserad av question.It det är inte känt hur mycket detta kan ha påverkat Leibniz. De första anklagelserna gjordes av studenter och anhängare av de två stora forskarna vid sekelskiftet, men efter 1711 blev båda personligen involverade och anklagade varandra för plagiering.,

den prioriterade tvisten hade en effekt av att skilja engelsktalande matematiker från dem i kontinentala Europa i många år. Endast på 1820-talet, på grund av analytiska samhällets ansträngningar, blev Leibnizian analytisk kalkyl accepterad i England. Idag ges både Newton och Leibniz kredit för att självständigt utveckla grunderna för kalkyl. Det är Leibniz, men som krediteras med att ge den nya disciplinen namnet det är känt av idag:”calculus”. Newtons namn för det var ”vetenskapen om flytande och fluxioner”.,

arbetet med både Newton och Leibniz återspeglas i notationen som används idag. Newton introducerade notationen f {\displaystyle {\dot {f}}} för derivatet av en funktion f. Leibniz introducerade symbolen {\displaystyle \ int } för integralet och skrev derivatet av en funktion y av variabeln x som d y d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}} , som båda fortfarande används.

sedan tiden för Leibniz och Newton har många matematiker bidragit till den fortsatta utvecklingen av kalkyl., Ett av de första och mest kompletta verken på både infinitesimal och integrerad kalkyl skrevs 1748 av Maria Gaetana Agnesi.

Operativ metodsedit

Antoine Arbogast (1800) var den första som separerade symbolen för operationen från kvantiteten i en differentialekvation. Francois-Joseph Servois (1814) verkar ha varit den första som ger korrekta regler i ämnet. Charles James Hargreave (1848) tillämpade dessa metoder i sin memoar på differentialekvationer, och George Boole anställde dem fritt., Hermann Grassmann och Hermann Hankel gjorde stor nytta av teorin, den förra i att studera ekvationer, den senare i sin teori om komplexa tal.

beräkning av variationsEdit

beräkningen av variationer kan sägas börja med ett problem med Johann Bernoulli (1696). Det ockuperade omedelbart Jakob Bernoullis uppmärksamhet, men Leonhard Euler utarbetade först ämnet. Hans bidrag började 1733, och hans Elementa Calculi Variationum gav vetenskapen sitt namn., Joseph Louis Lagrange bidrog i stor utsträckning till teorin, och Adrien-Marie Legendre (1786) anges en metod, inte helt tillfredsställande, för diskriminering av maxima och minima. Till denna diskriminering Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Denis Poisson (1831), Michail Vasilievich Ostrogradsky (1834), och Carl Gustav Jakob Jacobi (1837) har varit bland bidragsgivarna. Ett viktigt allmänt arbete är Sarrus (1842) som kondenserades och förbättrades av Augustin Louis Cauchy (1844)., Andra värdefulla avhandlingar och memoarer har skrivits av Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) och Carll (1885), men kanske det viktigaste arbetet av århundradet är Karl Weierstrass. Hans kurs om teorin kan hävdas vara den första som placerar kalkyl på en fast och rigorös grund.