Nachdem wir uns die Funktionen von Optionskontrakten angesehen haben, können wir nun mit der Berechnung des Werts von Anrufoptionen fortfahren.
In den frühen 1970er Jahren erzielten Myron Scholes, Robert Merton und Fisher Black einen wichtigen Durchbruch bei der Preisgestaltung komplexer Finanzinstrumente, indem sie das sogenannte Black-Scholes-Modell entwickelten. Dieses Modell wird verwendet, um den Wert einer Anrufoption zu bestimmen.,
Das Modell macht einige Annahmen bezüglich der Call-Option, dass:
- Die zugrunde liegende Aktie zahlt keine Dividenden während der Laufzeit der Option;
- Der zu testende Optionskontrakt ist eine Call-Option im europäischen Stil;
- Märkte sind effizient;
- Es gibt keine Provisionen in der Transaktion;
- Die Zinssätze werden als konstant angenommen;
- Die Renditen der zugrunde liegenden Vermögenswerte sind folgen Sie einer lognormalen Verteilung.,omp(Zinssatz für einen bestimmten Zeitraum)
\(t\) ist die Zeit in Jahren bis zum Ablauf der Option
\(\sigma\) ist ein Maß für die jährliche Volatilität der zugrunde liegenden Aktie, die häufig anhand der Standardabweichung der Aktienrenditen gemessen wird(in der Gleichung erscheint die Volatilität im Quadrat)
\(N(d)\) bezieht sich auf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert kleiner als „\(d\)“ in einer Standardnormalverteilung auftritt
\(e^{rt}\) ist der Rabattfaktor (\(e\) = die Basis natürlicher Logarithmen, dh 2.,7183)
\(ln\) = natürlicher Logarithmus
Mit dem Modell wird der aktuelle Wert einer Call-Option ermittelt, deren Endwert vom Kurs der Aktie am Ablaufdatum abhängt. Da sich der Aktienkurs ständig ändert, ändert sich auch der Wert dieser Call-Option. Wenn wir diesen Optionskontrakt handeln möchten, müssen wir daher einige Wahrscheinlichkeiten verwenden, um abzuschätzen, welche erwarteten Werte heute an der Call-Option beteiligt sind., Wir müssen über den Wert nachdenken, den wir durch den Kauf dieser Option erwarten können, und darüber, was wir zahlen werden, wenn wir die Option ausüben.
Da das Black-Scholes-Optionspreismodell davon ausgeht, dass die Renditen des Basiswerts normalerweise verteilt sind, können wir die statistische Standardnormalverteilung verwenden Tabelle um die Wahrscheinlichkeit herauszufinden, dass ein Ereignis eintritt, und in diesem Fall besteht das Ereignis darin, dass wir die Option ausüben.,
Schauen wir uns das Black-Scholes-Modell genauer an:
\
\(N(d_2)\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Aufruf ausgeführt wird, also \(\left(\frac{E}{e^{rt}}\right)\)\)\ (N(d_2)\) ist das, was Sie erwarten zu zahlen, wenn Sie die Option ausüben, bis heute diskontiert.
Und was erhalten Sie, wenn Sie die Option ausüben?, Dies hängt vom Aktienkurs am Ablaufdatum (von dem wir wissen, dass er über dem Ausübungspreis liegt, wenn Sie die Option ausüben) und von dem ab, was wir über die Verteilung der Aktienkurse angenommen haben. In der Gleichung \(SN (d_1)\) ist das, was Sie vom Verkauf der Aktie erwarten können, wenn die Option ausgeübt wurde, auch auf heute abgezinst.,
\(d_1\) und \(d_2\) hängt von den Annahmen, die wir gemacht haben, darüber, wie sich der Aktienkurs entwickelt sich im Laufe der Zeit, die Elemente, die in der option-Vertrag (Aktienkurs, Ausübungspreis und Restlaufzeit) und der anderen Eingänge den risikolosen Zinssatz und die Volatilität der Renditen (siehe die Definitionen von \(d_1\) und \(d_2\), beziehungsweise). Die Wahrscheinlichkeiten im Black-Scholes-Modell sind Funktionen von \(d_1\) und \(d_2\).,
Wenn Sie \(d_1\) und \(d_2\) kennen, können Sie herausfinden, was \(N(d_1)\) und \(N(d_2)\) aus der Standard-Normalverteilungstabelle sind (dies sind die Wahrscheinlichkeiten, die Beobachtungswerten kleiner als \(d_1\) bzw. \(d_2\) entsprechen). Mit diesen Wahrscheinlichkeiten können Sie dann das Black-Scholes-Modell verwenden, um den Optionswert \(C\) zu erhalten.
