Sfera ma dwie strony. Pluskwa może być uwięziona wewnątrz kulistego kształtu lub swobodnie czołgać się po jego widocznej powierzchni. Cienki arkusz papieru leżący na biurku ma również dwie strony. Strony w książce są zwykle ponumerowane po dwie na arkusz papieru. Pierwsza jednostronna powierzchnia została odkryta przez A. F. Möbiusa (1790-1868) i nosi jego nazwę: Pasek Möbiusa. Czasami jest alternatywnie nazywany zespołem Möbiusa. (Prawdę mówiąc, powierzchnia została opisana niezależnie i wcześniej o dwa miesiące przez innego niemieckiego matematyka J. B. Listinga.) Pasek został uwieczniony przez M. C., Escher (1898-1972).
aby uzyskać Pasek Möbius, zacznij od paska papieru. Przekręć jeden koniec o 180o (pół obrotu) i przyklej końce razem (plik avi zajmuje 267264 bajtów). Dla porównania, jeśli przyklejasz końce bez skręcania, wynik będzie wyglądał jak cylinder lub pierścień w zależności od szerokości paska. Spróbuj przeciąć pasek wzdłuż linii środkowej. Ludzie nie znający topologii rzadko zgadują poprawnie, jaki byłby wynik. Interesujące jest również cięcie paska 1/3 drogi do jednej krawędzi. Spróbuj.,
zebrałem krótki (155648 bajtów) film avi z kręcącym się paskiem Möbiusa. (Po przejściu na stronę film kliknij na ramkę, aby rozpocząć film.)
teraz, gdy już znasz sztuczkę, z pewnością chciałbyś znaleźć inne powierzchnie jednostronne. Przed sklejeniem końców ze sobą można skręcić pasek dwa lub nawet trzy razy. Czy otrzymujesz powierzchnię jednostronną czy dwustronną?,
 |
 |
 |
 |
 |
 |
P.S.
There is an additional page with an interactive Java illustration that lets one „see through” the strip in more than one sense., I, oczywiście, są inne strony poświęcone paskowi Möbiusa dostępne w Internecie. Jeden zasługuje na szczególną uwagę. Richard Marsden (którego strona zniknęła z sieci) zdołał wyprodukować wersję VRML The strip. Podobało mi się obracanie paska w ten i w ten sposób. Nie wiem dlaczego, ale przyszedł mi do głowy następujący fragment Arta Buchwalda z tylnej okładki „Najśmieszniejszego człowieka na świecie” Ephraima Kishona:
Ephraim Kishon jest drugim najśmieszniejszym humorystą, jakiego znam… Jest przezabawny i nienawidzę go.,
Jak to się robi
omówię tutaj tylko matematykę, która trafiła do filmu tworzenia paska Möbius.
-
wszystko zaczyna się od obserwacji, którą zebrałem na stronach MathSoft. Dla ustalonego zakresu wartości t rozważmy krzywe
x(t) = Rsin(t/R), y(T) = R(1 – cos(T/R)),
parametryzowane przez R. każda z nich jest kawałkiem okręgu
x(T)2 + (y(T) – R)2 = R2.,
dla dużych R (i ustalonego zakresu t) taki kawałek jest mały w stosunku do wielkości okręgów i dlatego wygląda prawie jak odcinek linii prostej. Dla małych wartości R (blisko 1), kawałek jest bliżej do pełnego okręgu.
-
gdy elementy są wyświetlane pojedynczo dla malejącej sekwencji R, ramki tworzą wrażenie segmentu składanego w okrąg. Do wygenerowania filmu użyłem 21 klatek o numerach od 0 do 20, których promień zmienia się zgodnie ze wzorem
R (k) = 21 / (k + 1),
gdzie k jest numerem klatki.,
-
Tworzenie paska Möbiusa jest sprawą trójwymiarową. Dlatego oprócz współrzędnych x (poziomych) i y (pionowych) potrzebujemy również współrzędnej Z. Pomyśl o tej współrzędnej jako skierowanej prostopadle do ekranu. Dla segmentu początkowego, który jest bardziej jak kawałek linii prostej niż łuku kołowego, wziąłem z = const dla długości segmentu. Segment staje się prostokątem – „pasem” – składanym w pas Möbiusa., Prostokąt ma dwa boki: pierwotny segment, który Poniżej jest określany jako” segment (XY)”, oraz prostopadły bok, zwany „segmentem z”.”
-
gdy segment (xy) składa się w okrąg, segment z obraca się w płaszczyźnie (yz). Omówiłem rotację samolotu na moich stronach cykloidów. Jedno zastrzeżenie jest jednak w porządku. Aby utworzyć pasek Möbiusa, musimy skręcić cały prostokąt, a nie tylko jego końce Z., Jednak różne części prostokąta powinny obracać się z różnymi prędkościami – koniec obraca się NAJSZYBCIEJ, podczas gdy środek paska nie powinien się w ogóle poruszać. Dlatego używam ilości
w = (t – tmiddle)2
jako prędkości kątowej dla segmentu z w różnych punktach na segmencie złożonym (XY). Ilość jest bardzo blisko 0 dla punktów blisko środka paska.
-
wreszcie, dwa końce paska powinny obracać się w przeciwnych kierunkach. Tak, że dodatkowo macierz obrotu musiała zostać pomnożona przez znak
(t – tmiddle).
to wszystko., Bardzo praktyczne zastosowanie trochę trygonometrii i geometrii analitycznej. Jest jeszcze jeden film kreacyjny, 303104 bajty. Pokazuje widok z przodu skręcającego się paska.
list od Alexandra Grässera opisuje dalsze wycinanie (ale teraz także wklejanie) czynności. Możliwe jest sklejenie dwóch pasków papieru, takich jak cylindry lub paski Moebiusa. Nawet w przypadku dwóch cylindrów wynik zaskoczy większość rodziców, nie wspominając już o ich dzieciach.
moje logo jest również jednostronną powierzchnią.,
Reference
- S. Barr, Experiments In Topology, Dover Publications, NY, 1989
- R. Courant and H. Robbins, What is matematyka?, Oxford University Press, 1996
- K. Devlin, Mathematics: the Science of Patterns, Scientific American Library, 1997
- D. Hilbert and S. Cohn-Vossen, Geometry and Imagination, Chelsea Publishing Co, NY 1990.
- C. A. Pickover, The Mobius Strip: Dr., August Mobius 's Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology, Thunder' s Mouth Press, 2006
|Contact||Front page||Contents||Did you know?/ / Geometria /
