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AncientEdit

古代の時代は積分計算につながったアイデアのいくつかを導入しましたが、厳密かつ体系的な方法でこれらのアイデアを開発していないようです。 積分計算の目的の一つである体積と面積の計算は、エジプトのモスクワ-パピルス（c., 紀元前1820年）、しかし、公式は具体的な数に対してのみ与えられ、いくつかはほぼ真であり、演繹的推論によって導かれるものではありません。 バビロニア人は木星の天体観測を行っている間に台形の規則を発見したかもしれない。

ギリシャ数学の時代から、Eudoxus（c.408-355BC）は限界の概念を予示する枯渇の方法を使用して面積と体積を計算し、Archimedes（c.287-212BC）はこの考えをさらに発展させ、積分微積分の方法に似たヒューリスティックを発明した。, ギリシャの数学者はまた、無限小の重要な使用と信じられています。 デモクリトスは、物体を無限の断面に分割することを真剣に検討した最初の人物であるが、円錐の滑らかな斜面で離散的な断面を合理化することができなかったため、アイデアを受け入れることができなかった。 ほぼ同時に、エレアのゼノは、彼らが作成するパラドックスの彼の明確な表現によってさらに無限小を信用しませんでした。,

アルキメデスはこの方法をさらに発展させ、放物線の求積法、方法、球と円柱において現代の概念に多少似ている発見的な方法を発明した。 しかし、この間に無限小が厳しい立場に置かれたとは考えられない。 る場合のみでの取り組みは継続され適切な幾何学的な証拠がギリシャ数学者受け入れ提案しています。, この方法がカヴァリエリによって不可分の方法として形式化され、最終的にニュートンによって積分微積分の一般的な枠組みに組み込まれたのは17世紀までではなかった。 アルキメデスは、微分積分学に似た方法で、円以外の曲線への接線を最初に見つけた。 スパイラルを研究している間、彼は点の動きを二つの成分、一つの半径方向運動成分と一つの円運動成分に分離し、その後、二つの成分の動きを一緒に加え続け、それによって曲線の接線を見つけました。, アイザック-バローやヨハン-ベルヌーイのような微積分学の先駆者は、アルキメデスの勤勉な学生であった;例えばC.S.Roero(1983)を参照してください。

疲労の方法は、円の面積を見つけるために、4世紀に劉ホイによって中国で再発明されました。 5世紀、左崇智は後にカヴァリエーリの原理と呼ばれる方法を確立し、球の体積を求めた。

MedievalEdit

イスラム中東では、11世紀のアラブの数学者イブン-アル＝ハイサム（Alhazen）が四乗の和の公式を導いた。, 彼は今積分と呼ばれるものを実行するために結果を使用しました,積分の平方と四乗の和の公式は、彼が放物面の体積を計算することができました. 12世紀、ペルシャの数学者Sharaf al-Dīn al-Tīsīが三次多項式の導関数を発見した。 方程式に関する彼の論文は、正の解を持たないかもしれない三次方程式を解くために、微分関数や曲線の最大値と最小値などの微分積分に関連する概念を開発した。,

微積分に関するいくつかのアイデアは、後に天文学と数学のケララ学校で、インドの数学に登場しました。 14世紀のSangamagramaのMadhava、そして後のKerala schoolの数学者たちは、テイラー級数や無限級数近似などの微積分学の構成要素を述べました。 しかし、彼らは微分と積分の二つの統一テーマの下で多くの異なるアイデアを組み合わせることができず、両者の間の接続を示し、微積分を今日の強力な問題解決ツールに変えることができませんでした。,

連続性の数学的研究は、オックスフォードの電卓とNicole Oresmeのようなフランスの協力者によって14世紀に復活しました。 彼らは”マートン平均速度定理”を証明しました：均一に加速された物体は、加速された物体の最終速度の半分の速度である均一な速度を持つ物体と同じ距離を移動することを証明しました。

Early ModernEdit

17世紀、ヨーロッパの数学者アイザック-バロー、ルネ-デカルト、ピエール-ド-フェルマー、ブレーズ-パスカル、ジョン-ウォリスらが導関数の考え方について議論した。, 特に、Methodus ad disquirendam maximam et minimaとDe tangentibus linearum curvarumでは、fermatは微分と密接に関連した様々な曲線に対する最大値、最小値、および接線を決定するための適切性法を開発しました。 アイザック-ニュートンは後に、微積分学に関する彼自身の初期のアイデアは、”フェルマーの接線を描く方法”から直接来たと書いている。,”

積分面では、カバリエリは1630年代から1640年代にかけて、古代ギリシャの枯渇の方法のより現代的な形を提供し、カバリエリの求積式、以前は放物線のためにしか計算されていなかったより高い次数の曲線xnの下の面積をアルキメデスによって計算することによって、彼のindivisiblesの方法を開発した。 トリチェリはこの作業をサイクロイドのような他の曲線に拡張し、1656年にウォリスによって分数と負のべき乗に一般化された。, 1659年の論文では、フェルマーは、任意のべき関数の積分を直接評価するための独創的なトリックと信じられている。 フェルマーはまた、求積法のさらなる研究に影響を与えた様々な平面および立体図形の重心を見つけるための技術を得た。 ジェームズ-グレゴリーは、フェルマーの接線と求積法の両方への貢献の影響を受け、17世紀半ばに微積分学の第二基本定理の制限されたバージョンを証明することができた。 微積分学の基本定理の最初の完全な証明はIsaac Barrowによって与えられました。：p.,61接線Fの点における弧ME-弧NHのとき図。26

Rolleの定理の最初の証明は、オランダの数学者Johann van Waveren Huddeによって開発された方法を使用して、1691年にMichel Rolleによって与えられました。, その現代的な形での平均値定理は、現代の微積分学の創設後にもBernard BolzanoとAugustin-Louis Cauchy（1789-1857）によって述べられました。 重要な貢献はまた、バロー、ホイヘンス、および他の多くによって行われました。

Newton and LeibnizEdit

NewtonとLeibnizの前に、”微積分”という言葉は数学のあらゆる体を指していましたが、その後の年には、”微積分”は彼らの洞察に基づいて数学の分野の一般的な用語となりました。, ニュートンとライプニッツは、この研究に基づいて、17世紀後半に無限小微積分の周囲の理論を独立して開発しました。 また、ライプニッツは、一貫性のある有用な表記法と概念の開発に多くの仕事をしました。 ニュートンは物理学、特に積分積分学における最も重要な応用のいくつかを提供した。 このセクションの目的は、無限小微積分学の発展分野にニュートンとライプニッツの調査を調べることです。, 具体的な重要性は、彼ら自身がそれを想像したように微積分を理解しようとする試みで使用された正当化と説明的な用語に置かれます。

17世紀半ばまでに、ヨーロッパの数学は知識の主要なリポジトリを変えました。 研究の出発点としてヘレニズム数学を維持した最後の世紀と比較して、ニュートン、ライプニッツとその同時代は、より現代的な思想家の作品にますます目を向けました。, ヨーロッパは急成長する数学のコミュニティに家になっていたし、強化された制度的および組織基盤の出現と組織と学術統合の新しいレベルが達成されていた。 しかし重要なことに、コミュニティには形式主義が欠けており、その代わりに、さまざまな方法、技術、表記法、理論、パラドックスの無秩序な塊で構成されていました。

ニュートンは物理学と幾何学の彼の研究の一環として微積分に来た。 彼は微積分を運動と大きさの生成の科学的記述と見なした。, 比較すると、ライプニッツは接線問題に焦点を当て、微積分学は変化の形而上学的説明であると信じるようになった。 重要なことに、彼らの洞察の中核は、関数の積分と微分の間の逆特性の形式化でした。 この洞察は彼らの前任者によって予想されていたが、彼らは新しいレトリックと記述的な用語が作成されたシステムとして微積分を想像した最初のものであった。, 彼らのユニークな発見は、彼らの想像力だけでなく、それによって新しい数学システムを形成し、普遍的なアルゴリズムプロセスにそれらの周りの洞察

NewtonEdit

ニュートンは、彼のフルクシオナル微積分を形式化する決定的な出版物を完了しませんでした;むしろ、彼の数学的発見の多くは、対応、小さな論文を通じて、またはそのようなプリンキピアやオプティックスなどの彼の他の決定的なコンパイルに埋め込まれた側面として送信されました。, ニュートンは、ケンブリッジのアイザックバローの選ばれた相続人として彼の数学的な訓練を開始する。 彼の適性は早く認められ、彼はすぐに現在の理論を学んだ。 1664年までにニュートンは二項定理を進めることによって彼の最初の重要な貢献をしたが、これは彼が分数と負の指数を含むように拡張していた。 ニュートンは、無限級数の解析に有限量の代数を適用することによって、二項定理の適用可能性を拡大することに成功した。, 彼は無限級数を近似的なデバイスとしてだけでなく、用語を表現する代替形式としても見る意欲を示しました。

ニュートンの重要な洞察の多くは、1665年から1666年の疫病の年の間に起こり、彼は後に”発明と志向の数学と哲学のための私の年齢のプライムは、以来、いつでもよりも多くの時間を過ごしました。”それはfluxionary微積分の最初に書かれた概念が未発表のDe Analyti per Aequationes Numero Terminorum Infinitasに記録されたことを彼の疫病によって引き起こされた分離の間にあった。, ここでは，Ｎｅｗｔｏｎはまず瞬間的な変化率を計算し，次に総面積を外挿することによって曲線下の面積を決定した。 彼はその後、横軸の無限小の増加は、x=x+o（重要なのは、oは数字0ではなく文字です）という新しい公式を作成すると推論しました。 彼はその後、二項定理の助けを借りて領域を再計算し、文字oを含むすべての量を削除し、領域の代数式を再形成しました。, 重要なことに、ニュートンはoを含む量を”消し去る”ことになります”それを掛けた項は残りの部分に関しては何もない”ためです。

この時点で、ニュートンは反転の中心的性質を実現し始めました。 彼は、ある点での瞬間的な増加を考慮することによって、曲線下の領域の表現を作成しました。 実際には、微積分学の基本定理は、彼の計算に組み込まれました。 彼の新しい定式化は信じられないほどの可能性を提供したが、ニュートンは当時の論理的な限界をよく知っていた。, 彼は、”どんなに小さくても、誤りは数学で無視されるべきではない”と認めており、彼が達成したことは”正確に実証されるのではなく、すぐに説明された”と認めている。”

微積分により厳密な説明と枠組みを与えるために、ニュートンは1671年にMethodus Fluxionum et Serierum Infinitarをまとめました。 この本の中で、ニュートンの厳格な経験主義は、彼のフラクショナルな微積分を形作り、定義しました。 彼は瞬間的な動きと無限小を非公式に利用しました。 彼は物理的な世界を説明するための方法論的ツールとして数学を使用しました。, ニュートンの改訂微積分のベースは、連続性となった;そのように彼は継続的な流れる動きの面で彼の計算を再定義した。 ニュートンにとって、変数の大きさは無限小の要素の集合体ではなく、運動の議論の余地のない事実によって生成されます。 彼の作品の多くと同様に、ニュートンは出版を遅らせた。 Methodus Fluxionumは1736年まで出版されなかった。

ニュートンは、変化の比率に基づいて計算を形成することによって、無限小の使用を避けようとしました。, Methodus Fluxionumでは、彼は点線の文字で表されるフラクシオンとして生成された変化の速度を定義し、生成された量は流暢として定義しました。 例えば、x{\displaystyle{x}}とy{\displaystyle{y}}がフルエントであれば、x{\displaystyle{\dot{x}}}とy{\displaystyle{\dot{y}}}はそれぞれのフルエントである。, この改訂された比の微積分は引き続き開発され、1676年のテキストDe Quadratura Curvarumで成熟して述べられ、ニュートンは現在の微分を究極の変化比として定義するようになり、これは純粋に問題の瞬間におけるエバネッセント増分の比（フラクシオンの比）として定義された。 本質的に、最終的な比率は増分が無に消えると同時に比率である。, 重要なのは、ニュートンは動きに訴えることによって究極の比率の存在を説明した。

“究極の速度によって、体が動くことを意味し、それが最後の場所に到着する前でも、動きが止まった後でも、到着した瞬間でもないからである。.. エバネッセント量の究極の比は理解されるべきであり、それらが消える前ではなく、消えた後ではなく、消えた量の比”

ニュートンは、彼の計算における無限小の非公式な使用を避けるために、彼の流体微積分を開発した。,

LeibnizEdit

ニュートンが1665年から1666年にかけてフラクシオナル微積分の開発を開始したが、彼の発見は後になるまで広く流通するようにならなかった。 介在年間でライプニッツはまた、彼の微積分を作成するために努力した。, 幼い頃に数学に来たニュートンと比較して、ライプニッツは成熟した知性を持つ彼の厳格な数学の研究を始めた。 彼は博識であり、彼の知的興味と業績は形而上学、法律、経済学、政治、論理、数学に関わっていました。 微積分学におけるライプニッツの推論を理解するためには、彼の背景に留意する必要があります。 特に、宇宙をモナドロジーとして記述した彼の形而上学、およびそれによって正確な形式論理を作成する彼の計画は、”理由のすべての真実が一種の計算に還元される一般的な方法である。,”

1672年に、ライプニッツは数学の研究にかなりの時間を捧げるためにライプニッツを説得した数学者ホイヘンスに会いました。 1673年までに彼はパスカルのTraité des Sinus du Quarte Cercleを読むことに進んでいたし、それはライプニッツが”ライトがオンになって”と言った彼の主に自動学的研究中だった。 ニュートンのように、ライプニッツは接線を比と見なしましたが、それを単に縦座標と横座標の比として宣言しました。, 彼はこの推論を続けて、積分は実際には横座標の無限小区間の縦座標の合計であり、実際には無限の数の長方形の合計であると主張した。 これらの定義から逆の関係または微分が明らかになり、ライプニッツはすぐに数学の全く新しいシステムを形成する可能性を実現しました。 彼のキャリアの過程でニュートンは無限小を使用してアプローチに加えて、いくつかのアプローチを使用した場合、ライプニッツは、この彼の表記法と微積分,

25Octoberから11November1675の写本では、ライプニッツは様々な形の表記法で彼の発見と実験を記録しました。 彼は使用される表記用語を鋭く認識していたし、正確な論理的象徴を形成するために彼の以前の計画が明らかになった。 最終的にライプニッツは、横座標dxと縦座標dyの無限小増分と、無限に多くの無限に細い長方形の合計を長いs(θ)として示し、これが現在の積分記号π{\displaystyle\scriptstyle\int}となった。,

ライプニッツの記法は現代数学で使用されていますが、彼の論理的基盤は現在のものとは異なっていました。 ライプニッツは無限小を受け入れ、”パスカルが持っていたように、無限小の謎を作らないように広く書いた。”Gilles Deleuzeによれば、ライプニッツのゼロは”何もないが、それらは絶対的な何もなく、それぞれ何もない”（ライプニッツのテキスト”通常の代数の微積分による無限小の微積分の正当化”を引用する）。 あるいは、彼はそれらを”与えられた量よりも少ない”と定義します。,”ライプニッツにとって、世界は無限小の点の集合体であり、その存在に対する科学的証拠の欠如は彼を悩ませませんでした。 ライプニッツへの無限小は、かなりの数とは異なるタイプの理想的な量でした。 連続性の真実は、存在そのものによって証明されました。 ライプニッツのための連続性の原則としたがって、彼の微積分の妥当性が保証されました。 ライプニッツの研究から三百年後、アブラハム-ロビンソンは微積分学において無限小量を使用することが強固な基盤を与えることができることを示した。,

LegacyEdit

微積分学の台頭は、数学におけるユニークな瞬間として際立っています。 微積分学は運動と変化の数学であり、その発明は新しい数学システムの創造を必要としました。 重要なことに、ニュートンとライプニッツは同じ微積分を作成しなかったし、彼らは現代の微積分を想像していませんでした。 彼らは両方の変数の量に対処するための数学的システムを作成するプロセスに関与していたが、その基本ベースは異なっていた。, ニュートンにとって、変化は時間の経過とともに変化する量であり、ライプニッツにとっては無限に近い値のシーケンスにわたる差であった。 特に、記述規約の各システムの記述の変更は異なります。

歴史的には、微積分学を最初に”発明”したのはニュートンかライプニッツかについて多くの議論がありました。 この議論、ライプニッツとニュートン微積分論争は、ドイツ人であったライプニッツとイギリス人ニュートンを巻き込んで、世紀にわたって続くヨーロッパの数学界の亀裂につながった。, ライプニッツは、彼の調査を公開する最初だったが、それはよくニュートンは数年前にライプニッツに彼の仕事を開始していたし、すでにライプニッツに興味を持つようになった時間までに接線の理論を開発していたことが確立されているquestion.It これがライプニッツにどれほど影響を与えたかは分かっていない。 最初の告発は、世紀の変わり目に二人の偉大な科学者の学生や支持者によって行われましたが、1711年以降、両者は個人的に関与し、互いに盗作を非難し,

優先論争は、長年にわたってヨーロッパ大陸の数学者から英語を話す数学者を分離する効果がありました。 1820年代にのみ、分析協会の努力のために、ライプニッツ分析微積分は、イングランドで受け入れられるようになった。 今日では、ニュートンとライプニッツの両方が独立して微積分の基礎を開発するための信用を与えられています。 しかし、ライプニッツは、新しい規律に今日で知られている名前を与えたと信じています：”微積分”。 それのためのニュートンの名前は”fluentsおよびfluxionsの科学”だった。,

ニュートンとライプニッツの両方の仕事は、今日使用されている表記に反映されています。 ライプニッツは積分に記号σ{\displaystyle\int}を導入し、変数xの関数yの導関数をd y d x{\displaystyle{\frac{dy}{dx}}}として書いたが、どちらもまだ使われていない。

ライプニッツとニュートンの時代から、多くの数学者が微積分学の継続的な発展に貢献してきました。, 無限小と積分微積分の両方に関する最初の、そして最も完全な作品の一つは、1748年にMaria Gaetana Agnesiによって書かれました。

Operational methodsEdit

Antoine Arbogast(1800)は、微分方程式における量の記号から操作の記号を分離した最初のものでした。 フランソワ＝ジョゼフ-サーボワ（1814年）は、この主題に関する正しい規則を最初に与えたようである。 チャールズジェームズ-Hargreave(1848)さらに、これまで法人の軌跡微分方程式で、ジョージBooleを自由に採用します。, ヘルマン-グラスマンとヘルマン-ハンケルはこの理論を大いに利用し、前者は方程式を研究し、後者は複素数の理論を研究した。

変分の微積分編集

変分の微積分は、Johann Bernoulli(1696)の問題から始まると言えるかもしれません。 それはすぐにヤコブ-ベルヌーイの注目を占めていたが、レオンハルト-オイラーは最初に主題を詳述した。 彼の貢献は1733年に始まり、彼のElementa Calculi Variationumは科学にその名前を与えました。, ジョゼフ-ルイ-ラグランジュはこの理論に大きく貢献し、アドリアン＝マリー-ルジャンドル（Adrien-Marie Legendre、1786年）は最大値と最小値の区別のための完全に満足できる方法を打ち立てた。 この差別に対して、Brunacci（1810年）、Carl Friedrich Gauss（1829年）、Siméon Denis Poisson（1831年）、Mikhail Vasilievich Ostrogradsky（1834年）、Carl Gustav Jakob Jacobi（1837年）が貢献している。 重要な一般的な作品は、オーギュスタン-ルイ-コーシー（Augustin Louis Cauchy、1844年）によって凝縮され改良されたSarrus（1842年）のものである。, 他の貴重な論文や回顧録は、シュトラウフ（1849年）、ゼレット（1850年）、オットー-ヘッセ（1857年）、アルフレッド-クレープシュ（1858年）、カール（1885年）によって書かれているが、おそらく世紀の最も重要な作品はカール-ワイエルシュトラスのものである。 理論に関する彼のコースは、しっかりと厳格な基盤の上に微積分を配置する最初のものであると主張することができます。