Good Mood

AncientEdit

고대 기간의 일부를 소개했 아이디어를 주도하는 필수적인 수학, 하지만 보이지 않는 개발에 이러한 아이디어에서 엄밀하고 체계적인 방법입니다. 적분 미적분의 한 목표 인 부피와 면적의 계산은 이집트 모스크바 파피루스(c., 1820 년 BC)지만,공식만 주어진에 대한 구체적인 숫자로,몇몇은 약만,사실 그들은 파생되지 않으로 추론. 바빌로니아 사람들은 목성의 천문 관측을하면서 사다리꼴 규칙을 발견했을 수도 있습니다.

의 나이에서 그리스어 수학,Eudoxus(c. 408-355BC)방법을 사용의 피로는 예의 개념,제한 영역과 볼륨을 계산하는 동안,아르키메데스(c. 287-212BC)의 개발이는 아이디어를 더 발명,휴리스틱과 같은 방법의 필수적인 수학., 그리스 수학자들은 또한 무한대의 상당한 사용으로 신용된다. 데모크리토스가 첫 번째 사람을 기록 심각하게 고려하는 부문으로 객체의 무한한 크로스-부분이지만,자신의 무능력을 합리화하는 이산 단면을 가진 콘의 부드러운 슬로프에서 그를 방해 받아들이는 아이디어. 대략 동시에,엘레 아의 제노는 그들이 만드는 역설에 대한 그의 조음에 의해 무한히 불신했다.,

아르키메데스의 개발 이 방법을 추가하는 동안,또한 경험적 방법을 발명과 현대의 개념에 약간의 구적의 포물선,방법,그리고 구체 역학의 기본 원칙을 설정합니다. 그러나이시기에 인피니트가 엄격한 발판을 마련했다고 생각해서는 안됩니다. 그것이 적절한 기하학적 증거에 의해 보충되었을 때만 그리스 수학자들은 명제를 사실로 받아 들일 것입니다., 그것은 17 세기까지 하는 방법화되었는 카발리에리의 방법으로 Indivisibles 고 결국 통해 뉴턴으로 일반적인 프레임워크의 통합 미적분했다. 아르키메데스는 미분 미적분과 유사한 방법으로 원 이외의 곡선에 대한 접선을 처음으로 발견했습니다. 공부하는 동안,나선 그는 지점의 운동으로 두 개의 구성품,하나의 방사 motion 구성 요소 및 하나의 원 구성 요소,그 후 계속 추가 두 개의 구성 요소는 함께 움직임으로써 찾는 곡선에 접해 있습니다., 이삭 배 로우(Isaac Barrow)와 요한 베르누이(Johann Bernoulli)와 같은 미적분의 개척자들은 아르키메데스(Archimedes)의 부지런한 학생들이었다.

고갈의 방법은 원의 영역을 찾기 위해 4 세기 AD 에서 Liu Hui 에 의해 중국에서 재창조되었습니다. 5 세기에서 촉산 Chongzhi 는 방법을 설립하는 것이 나중에 불 카발리에리의 원칙을 찾아의 볼륨 구체입니다.

MedievalEdit

이슬람 Middle East,11 세기 아랍에 수학자 Ibn al-Haytham(Alhazen)파생에 대한 수식의 합의 네 번째다., 그는 결과를 사용하여 수행지라고 통합하는 공식 합의에 필수 사각형하고 네 번째 힘을 허용하는 그를 볼륨을 계산의 포물. 12 세기에 페르시아 수학자 Sharaf al-Dīn al-Tssī 는 입방 다항식의 파생어를 발견했습니다. 자신의 논문에서 방정식의 개발과 관련된 개념을 차등학,같은 파생상품이 기능과와 최대 및 최소의 곡선,를 해결하기 위해서 입방식지 않을 수 있는 긍정적인 솔루션입니다.,

미적분에 대한 몇 가지 아이디어는 나중에 케 랄라 천문학 및 수학 학교에서 인도 수학에 나타났습니다. Madhava 의 Sangamagrama14 세기에,그리고 나중에 수학자들의 Kerala,학교에 명시된 구성 요소의 미적분과 같은 테일러 시리즈 시리즈는 무한한 정확하지 않을 수 있습니다. 그러나,그들이 할 수 없었을 결합하는 많은 서로 다른 아이디어에서 두 개의 통합 테마의 미분과 적분,보여주 사이의 연결을 두고,미적분으로 강력한 문제 해결 도구를 우리가 오늘입니다.,

연속성에 대한 수학적 연구는 옥스포드 계산기와 Nicole Oresme 와 같은 프랑스 공동 작업자에 의해 14 세기에 부활했습니다. 그들이 입증했다”머 평균 속도 정리”:는 균일하게 가속화체 여행으로 같은 거리 몸과 균일한 속도로 그의 속도 반은 최종 속도 가속화체.

초기 ModernEdit

17 세기에 유럽의 수학자 Isaac Barrow,René Descartes,Pierre de Fermat,Blaise Pascal,John Wallis 등이 파생물에 대한 아이디어를 논의했습니다., 특히,Methodus 광고 disquirendam maximam et 최소값과 데 tangentibus linearum curvarum,Fermat 개발 adequality 방법을 결정하기 위한 최대,최소값,와 접선을 다양한 곡선을 밀접하게 관련이 있다고 차별화입니다. 아이작 뉴턴은 나중에 쓰는 자신의 이른 아이디어에 대한 미적분학에서 직접 왔”Fermat 의 방법 그리 tangents.,”

에 필수적인 측면,카발리에리에 개발 된 자신의 방법 indivisibles 에 1630 년대와 1640s 을 제공하는 더 현대적인 형태의 고대 그리스의 방법을 고갈,그리고 컴퓨팅 Cavalieri 의 직교 공식,아래의 영역 곡선 xn 의 높은 수준,이전에서만 계산에 대한 포물선에 의하여,Archimedes. Torricelli 이 작업을 확장하여 다른 곡선과 같은 사이클로이드한 다음,공식 위로 일반화하여,분수와 부정적인 힘에 의해스 1656., 1659 년 논문에서 Fermat 은 모든 전력 기능의 적분을 직접 평가하기위한 독창적 인 트릭으로 인정 받고 있습니다. Fermat 또한 취득하는 기법을 찾기위한 센터 중력의 다양한 비행기를 단단한 수치는 영향을 추가 작업에 quadrature. 제임스 그레고리에 의해 영향을 Fermat 의 기부금 모두를 접하고 quadrature,다음을 증명할 수 있는 제한된 버전의 기본적인 정리를 수학의 중반에는 17 세기. 미적분의 기본 정리에 대한 최초의 완전한 증거는 Isaac Barrow 에 의해 주어졌습니다.:피.,61 접선 f 의 시점에서 나~아크 NH 를 아크 할 때 그림.26

Rolle 의 정리에 대한 첫 번째 증거는 1691 년 네덜란드 수학자 Johann van Waveren Hudde 가 개발 한 방법을 사용하여 Michel Rolle 에 의해 주어졌습니다., 현대적인 형태의 평균값 정리는 Bernard Bolzano 와 Augustin-Louis Cauchy(1789-1857)에 의해 현대 미적분학의 창립 이후에도 언급되었습니다. 중요한 기여도에 의해 만든 무덤,호이,그리고 많은 다른 사람입니다.

뉴턴과 LeibnizEdit

전 Newton 고 라이프 단어는”미적분학”이 몸의 수학,하지만 다음 몇 년 동안,”미적분학”가되었다 인기있는 기간에 대한 수학의 분야에 따라 자신의 통찰력을 제공합니다., 이 작품을 바탕으로 뉴턴과 라이프니츠는 17 세기 후반에 무한 미적분의 주변 이론을 독자적으로 발전시켰다. 또한 라이프니츠는 일관되고 유용한 표기법과 개념을 개발하는 데 많은 노력을 기울였습니다. 뉴턴은 물리학에 가장 중요한 응용 분야,특히 적분 미적분의 일부를 제공했습니다. 이 섹션의 목적은 무한 미적분의 개발 분야에 대한 뉴턴과 라이프니츠의 조사를 조사하는 것입니다., 구체적인 중요성은 그들이 스스로 그것을 잉태로 미적분을 이해하기위한 시도에서 사용 정당화와 설명 용어에 넣어됩니다.

17 세기 중반까지 유럽 수학은 지식의 기본 저장소를 변경했습니다. 에 비해 지난 세기에는 헬레니즘으로 수학을 위한 시작점이 연구,뉴튼,라이프와 그들의 동시대에 점점 더 보였으로 작동하는 더 현대적인 생각을 가지고 있습니다., 유럽되었 급증하는 수학 지역 사회와의 출현으로 강화된 기관 및 조직의 기초에 새로운 수준의 조직과 학문의 통합되고 있었다. 중요한 것은,그러나 커뮤니티 부족한 형식주의 대신으로 구성 무질서 대량의 각종 방법,기술,표기,이론,그리고 역설.

뉴턴은 물리학 및 기하학에 대한 조사의 일환으로 미적분학에 왔습니다. 그는 미적분을 운동의 생성과 자아상에 대한 과학적 설명으로 보았습니다., 이에 비해 라이프니츠는 탄젠트 문제에 초점을 맞추고 미적분이 변화에 대한 형이상학 적 설명이라고 믿게되었습니다. 중요하게도,그들의 통찰력의 핵심은 적분과 함수의 미분 사이의 역 속성의 공식화였습니다. 이 통했에 의해 예상되는 그들의 선배,하지만 그들은 첫 번째 임신학으로 시스템에서는 새로운 수사하고 설명하는 용어를 만들었습니다., 그들의 독특한 발견을 놓지에서 자신의 상상이지만,또한 그들의 능력을 합성하는 통찰력을 주변으로 그들을 보편적인 알고리즘 프로세스함으로써를 형성하는 새로운 수학적 시스템입니다.

NewtonEdit

뉴턴이 완료된 결정적인 간행물 공식화의 fluxional 미적분,오히려 많은 자신의 수학적 발견을 전송한 대응을 통해,작문 또는 포함된 측면에서 그는 다른 확실한 컴파일과 같은 원리 및 opticks 는., 뉴턴은 케임브리지에서 이삭 배 로우의 선택된 상속인으로 수학 훈련을 시작할 것입니다. 그의 적성은 일찍 인식되었고 그는 현재의 이론을 빨리 배웠다. 1664 년까지 뉴턴은 분수 및 음의 지수를 포함하도록 확장 한 이항 정리를 발전시킴으로써 그의 첫 번째 중요한 기여를했다. 뉴턴은 무한 계열의 분석에서 유한 양의 대수를 적용하여 이항 정리의 적용 가능성을 확대하는 데 성공했다., 그는 무한한 시리즈를 대략적인 장치로서뿐만 아니라 용어를 표현하는 대안적인 형태로 보려는 의지를 보여주었습니다.

의 많은 뉴턴의 중요한 통찰력 중 발생한 전염병 년 1665-1666 는 그는 나중에 설명된 대로,”주는 나의 나이를 위해 본 발명과 생각을 가진 수학과 철학을 더 어느 때보다도 때문이다.”그는 동안 전염병을 유발 격리는 첫 번째 서면 개념의 fluxionary 미적분학에서 녹음되었다되지 않은 올린사람 분석 및 당 Aequationes Numero Terminorum Infinitas., 이 논문에서 뉴턴은 먼저 순간적인 변화율을 계산 한 다음 총 면적을 외삽하여 곡선 아래의 면적을 결정했습니다. 기 시작했으로 추론에 대한 무기한 작은 삼각형을 그 지역의 기능 x 및 y. 그 다음 권유는 무한 증가를 가로축을 만들 것입 새로운 공식 x=x+o(중요한 것은,오는 편지,숫자 0)입니다. 그 다음 다시 계산 지역의 도움으로 이항 정리,모든 수량을 포함하는 문구를 다시 구성된 대수현에 대한 영역입니다., 게,뉴턴은 다음”지워버리는”양을 포함하는 오기 때문에 본 약관”곱하여 그것은 아무것도 없을 것에 대하여 나머지”.

이 시점에서 뉴턴은 반전의 중심 속성을 실현하기 시작했다. 그는 한 지점에서 순간적인 증가를 고려하여 곡선 아래 영역에 대한 표현을 만들었습니다. 사실상 미적분의 근본적인 정리가 그의 계산에 세워졌습니다. 그의 새로운 배합은 놀라운 잠재력을 제공했지만,뉴턴은 당시의 논리적 한계를 잘 알고있었습니다., 그는”오류가 아무리 작아도 수학에서 무시할 수 없다”고 인정하고 그가 달성 한 것은”정확하게 증명하기보다는 곧 설명했다.”

미적분학에보다 엄격한 설명과 틀을 제공하기위한 노력의 일환으로 Newton 은 1671 년에 Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum 을 집계했습니다. 이 책에서 뉴턴의 엄격한 경험주의는 그의 플루 오날 미적분을 형성하고 정의했다. 그는 순간적인 움직임과 무한 함을 비공식적으로 이용했습니다. 그는 물리적 세계를 설명하는 방법 론적 도구로 수학을 사용했습니다., 뉴턴의 개정 된 미적분의 기본은 연속성이되었다;같은 그는 지속적인 흐르는 운동의 관점에서 자신의 계산을 재정의. 을 위해 뉴턴,변수 크기는하지 않은 집계의 무한 요소이지만,생성된 명백한 사실이다. 그의 작품 중 많은 작품과 마찬가지로 뉴턴은 출판을 지연 시켰습니다. Methodus Fluxionum 은 1736 년까지 출판되지 않았습니다.

Newton 은 변화의 비율에 기초한 계산을 형성함으로써 무한대의 사용을 피하려고 시도했다., Methodus Fluxionum 에서 그는 생성 된 변화율을 점선으로 표시된 fluxion 으로 정의하고 생성 된 양은 유창한 것으로 정의했습니다. 는 경우,예를 들어,x{\displaystyle{x}}y{\displaystyle{y}}는 fluents,다음 x{\displaystyle{\점{x}}}y{\displaystyle{\점{y}}}은 해당 fluxions., 이에 합치되게 채택되거나 유지 되는 미적분의 비율을 계속 개발되고 성숙한에 명시된 1676 텍스트 데 거 Curvarum 는 뉴왔을 정의 현재 하루에 파생으로 궁극적인 비율의 변경,그가 정의된 사이의 비율으로 사라져 단위(의 비율 fluxions)순수한 순간에 질문입니다. 본질적으로,궁극적 인 비율은 증분이 무력으로 사라짐에 따라 비율입니다., 중요한 것은,뉴턴 설명의 존재는 궁극적인 비율을 호소하여 motion;

“에 대한 의 궁극적인 속도가 의미하는 것과,몸이 이동하고,나도 그것이 도착하기 전에 그는 마지막 때,이동 중단이나 후에는 그러나에서 매우 즉시 도착했을 때… 궁극적 비율의 사라져가는 수량을 이해의 비율을 양지하기 전에 그들은 사라지지 않은 후에는,그러나 그들은 사라지”

뉴턴이 그의 fluxional 미적분학 시도해를 회피하기식의 사용 infinitesimals 주에서 자신의 계산합니다.,

LeibnizEdit

는 뉴톤의 개발을 시작 그 fluxional 미적분학에서 1665-1666 그의 발견되지 않았을 널리이기도 한다. 개입 한 해에 Leibniz 는 또한 그의 미적분을 만들기 위해 노력했습니다., 어린 나이에 수학에 온 뉴턴과 비교하여 라이프니츠는 성숙한 지성으로 엄격한 수학 공부를 시작했습니다. 그는 polymath 였고 그의 지적 관심과 업적은 형이상학,법학,경제학,정치학,논리학 및 수학과 관련이있었습니다. 미적분학에서 라이프니츠의 추론을 이해하기 위해서는 그의 배경을 염두에 두어야한다. 특히,자신의 형이상학에서 설명한 우주적으로 Monadology,그리고 그의 계획을 만드는 정확한 공식적인 논리는 그것에 의하여”일반적인 방법에는 모든 진리의 이유는 것을 감소하는 종류의 계산이 됩니다.,”

1672 년 Leibniz 는 Leibniz 가 수학 연구에 상당한 시간을 할애하도록 설득 한 수학자 Huygens 를 만났습니다. 여 1673 그가 진행을 읽는 파스칼의 Traité des 동 뒤 커머셜 빌딩의 근처레이고 그것은 그 동안 주로 autodidactic 연구 Leibniz 말했다”가벼운 설정에”. Newton 과 마찬가지로 Leibniz 는 탄젠트를 비율로 보았지만 단순히 ordinates 와 abscissas 사이의 비율로 선언했습니다., 그는 계속해서 이론을 주장하는 필수적인 사실의 합 좌표에 대한 간격으로 무한에서 가로축에 효과의 합의 무한한 사각형입니다. 에서 이러한 정의에 반비례 관계나 차별이 분명되었을하고 라이프니츠 신속하게 잠재력을 실현하는 전체를 형성하는 새로운 시스템을 수 있습니다. 는 뉴톤의 과정을 통해 자신의 경력 사용되는 여러 가지 방법 외에는 접근 방식을 사용하여 infinitesimals 주,Leibniz 이의 초석이 그의 표기는 과학.,

1675 년 10 월 25 일부터 11 월 11 일까지의 원고에서 라이프니츠는 다양한 형태의 표기법으로 그의 발견과 실험을 기록했다. 그는 사용 된 표기법을 날카롭게 알고 있었고 정확한 논리적 상징을 형성하려는 그의 이전 계획이 분명 해졌다. 결국,Leibniz 표시된 무한 단위로 abscissas 과 좌표 dx,dy,그리고 합의 무한히 많은 미소하게 얇은 사각형으로 긴 s(∫),이 된 현재의 필수적인 기호∫{\displaystyle\scriptstyle\int}.,

Leibniz 의 표기법은 현대 수학에서 사용되는 반면,그의 논리적 기반은 우리의 현재와는 달랐습니다. 라이프니츠는 infinitesimals 을 받아 광범위하게 썼다 그래서,”무한히 작은 신비의 만들 수 없습니다,파스칼했다으로.”에 따라 질 들뢰즈,니츠의 제로”는 속삭임,그러나 그들은 절대적이 속삭임,그들은 아무것도 각각”(인용 Leibniz’텍스트”를 정의의 미적분 infinitesimals 주에 의해 수학의 일반 대수”). 대안으로,그는 그것들을”주어진 양보다 적다.,”라이프니츠에게 세계는 무한 점의 집합체 였고 그들의 존재에 대한 과학적 증거의 부족은 그를 괴롭히지 않았다. Leibniz 에 대한 Infinitesimals 는 평가 가능한 숫자와 다른 유형의 이상적인 양이었습니다. 연속성의 진실은 존재 자체에 의해 입증되었습니다. 라이프니츠에게는 연속성의 원리와 따라서 그의 미적분의 타당성이 보장되었다. 삼백 년 후에는 라이프니츠의 작품,아브라함 로빈슨 보여 사용하는 극소량에서 수학할 수 있어야합니다.,

LegacyEdit

미적분의 상승은 수학에서 독특한 순간으로 두드러집니다. 미적분은 운동과 변화의 수학이며,이와 같이,그 발명은 새로운 수학 시스템의 생성을 요구했다. 중요한 것은 뉴턴과 라이프니츠는 같은 미적분을 만들지 않았고 현대의 미적분을 생각하지 않았다는 것입니다. 둘 다 가변 양을 다루는 수학적 시스템을 만드는 과정에 참여했지만 그들의 기본 기반은 달랐습니다., 을 위해 뉴턴,변경 변수의 수량을 통해 시간 및 Leibniz 그의 차이에 이르기까지의 시퀀스는 무한히 가까운 값입니다. 주목할 만하게,변화를 설명하기 위해 만들어진 각 시스템의 설명 용어는 달랐습니다.

역사적으로,미적분을 처음으로”발명 한”뉴턴이나 라이프니츠인지에 대한 많은 논쟁이있었습니다. 이 인수,라이프니츠 및 뉴턴 미적분학 논란을 포함하 Leibniz 었던 독일,그리고 영국인 뉴튼,led 하는 균열이 유럽에서 수학 지속적인 커뮤니티 있습니다., 라이프니츠가 첫 번째 게시 그의 연구는 그러나,그것은,잘 설립 뉴턴을 시작했다는 그의 작품은 몇 년 전에 라이프니츠 그리고 이미 개발된 이론의 측면 시간으로 라이프니츠에 관심이되었다.그것은 알려지지 않은 얼마나 이에 영향을 수 있습니다 Leibniz. 초기 비난에 의해 만들어졌는 학생들의 지지자 두 훌륭한 과학자들의 세기의 전환기에,하지만 후 1711 그들 모두가되었다 개인적으로 관여하는,비난의 표절이다.,

우선권 분쟁은 수년 동안 유럽 대륙의 수학자들과 영어를 사용하는 수학자들을 분리시키는 효과가있었습니다. 1820 년대에만 분석 사회의 노력으로 인해 Leibnizian 분석 미적분이 영국에서 받아 들여졌습니다. 오늘날 뉴턴과 라이프니츠 모두 미적분의 기초를 독립적으로 개발할 수있는 크레딧을 받았습니다. 그것은 라이프니츠,그러나,아카데미 시상식을 주는 새로운 분야의 이름으로 알려져 있다 오늘:”미적분학”. 뉴턴의 이름은”플루 언트와 플럭 시온의 과학”이었습니다.,

뉴턴과 라이프니츠 모두의 작업은 오늘날 사용되는 표기법에 반영됩니다. 뉴턴을 소개했 표 f{\displaystyle{\점{f}}}를 위한 함수의 미분 f. Leibniz 기호를 도입∫{\displaystyle\int}에 대한 완전하고 썼는 파생 상품의 기능 y 의 변 x d y d x{\displaystyle{\frac{dy}{dx}}},모두의는 여전히 사용합니다.

Leibniz 와 Newton 시대 이후로 많은 수학자들이 미적분의 지속적인 발전에 기여했습니다., Infinitesimal 및 integral calculus 모두에 대한 최초이자 가장 완벽한 작품 중 하나는 maria Gaetana Agnesi 가 1748 년에 작성했습니다.

운영 methodsEdit

앙 Arbogast(1800 년)하는 첫번째이었다 별도의 상징이에서 작동하는 것의 수량에 미분 방정식이다. Francois-Joseph Servois(1814)는 주제에 대한 올바른 규칙을 처음으로 제시 한 것으로 보인다. Charles James Hargreave(1848)는 미분 방정식에 대한 회고록에서 이러한 방법을 적용했으며 George Boole 은 자유롭게 사용했습니다., Hermann Grassmann 과 Hermann Hankel 은 이론을 크게 사용했으며,전자는 방정식을 연구하는 데,후자는 복소수 이론에 사용되었습니다.

variationsEdit 의 미적분

변화의 미적분은 요한 베르누이(Johann Bernoulli)(1696)의 문제로 시작한다고 할 수 있습니다. 그것은 즉시 야콥 베르누이(Jakob Bernoulli)의 관심을 차지했지만 Leonhard Euler 는 먼저 주제를 정교하게 만들었습니다. 그의 공헌은 1733 년에 시작되었고,그의 Elementa Calculi Variationum 은 과학에 그 이름을 부여했습니다., Joseph Louis Lagrange 는 이론에 광범위하게 기여했으며 Adrien-Marie Legendre(1786)는 maxima 와 minima 의 차별에 대해 완전히 만족스럽지 않은 방법을 제시했습니다. 이 차별 Brunacci(1810),칼 프리드리히 가우스(1829),Siméon Denis Poisson(1831),Mikhail Vasilievich Ostrogradsky(1834)및 Carl Gustav Jakob Jacobi(1837)가 참여자 중 하나였습니다. 중요한 일반적인 작업은 augustin Louis Cauchy(1844)에 의해 응축되고 개선 된 Sarrus(1842)의 작업입니다., 다른 귀중한 논문 및 회고록에 의해 작성되었습니다 Strauch(1849),Jellett(1850),오토세(1857 년),알프레드 Clebsch(1858),그리고 Carll(1885)지만,아마도 가장 중요한 작업의 세기는 칼 Weierstrass. 이론에 대한 그의 과정은 확고하고 엄격한 기초에 미적분을 가장 먼저 두는 것으로 주장 될 수 있습니다.피>