ett kaotiskt system är ett där utomordentligt små förändringar i initiala förhållanden (blått och gult)… leda till liknande beteende ett tag, men det beteendet avviker sedan efter en relativt kort tid.
Hellisp av Wikimedia Commons / Skapad av XaosBits med hjälp av Mathematica och POV-Ray
att Som Bob Dylan bekant sjöng, ”Du behöver inte en meteorolog för att veta åt vilket håll vinden blåser.,”Men om du har tillräckligt med vindhastighetsinformation, i kombination med en rad avläsningar från barometrar, termometrar och så kan du fråga en väderman, särskilt en utbildad meteorolog med tillgång till toppmoderna datorer och programvara, för att göra en ljudprognos. Vi planerar ofta våra utomhusaktiviteter dessa dagar med hjälp av newscasts, webbplatser, appar och röstassistenter som ger rimliga prognoser timmar eller dagar i förväg. Det är ganska fantastiskt att meteorologi kan utföra en sådan prestation.,
å andra sidan, om vi råkar förlita oss på en solig prognos för att schemalägga en picknick, och det regnar istället, fördömer vi inte hela meteorologins område, eller avfärdar det som värdelös gissning. Vi inser att det är en ofullkomlig vetenskap. Dessutom inser vi att det bara kan ge oss sannolikheter för ett visst resultat, inte en definitiv förutsägelse för vad som måste ske. Även jämfört med årtionden sedan, prognoser är så mycket bättre, de är långt ifrån felfri. Och även med tekniska framsteg visar teorin om deterministiskt kaos att de aldrig kommer att vara perfekta.,
även med alla framsteg vi har gjort i prediktiv modellering, ett komplext system som jordens… atmosfären tillåter oss bara att välja en massa probabilistiska resultat, inte något särskilt resultat med någon säkerhet.
alla vet att kvantteori förkroppsligar slumpmässighet—eller, som Einstein berömda uttryckte det, ”dice-rolling.”Men vädret är en storskalig effekt, vilken newtonska fysik ska kunna hantera. Ja, det gör det, och ganska bra., Kaosteorin pekar dock på begränsningarna av förutsägelse för jämn deterministisk, newtonisk fysik.
Newtons andra rörelselag, nettokraften på ett objekt är lika med dess massa gånger dess acceleration, förkroppsligar typen av matematiskt förhållande som kallas en differentialekvation. Den ekvationen fungerar som en typ av maskin för bearbetning av rådata för initiala förhållanden för ett partikelsystem—dess exakta uppsättning positioner och hastigheter vid varje given tidpunkt, tillsammans med interaktionskrafterna—och spottar ut plats-och hastighetskoordinater på obestämd tid in i framtiden.,
i hans 1814 avhandling, ”en filosofisk uppsats om sannolikheter,” franska matematikern Pierre Laplace spekulerade att newtonska mekanik förebådade en stel determinism som skulle teoretiskt möjliggöra en framgångsrik förutsägelse av hela framtiden i universum, givet absolut kunskap om dess fullständiga tillstånd vid varje given tidpunkt. Den enda fångsten är att prognostikatorn på något sätt skulle behöva gå utanför universum och få en fullständig ögonblicksbild på en gång av alla partiklar i den och deras momentana banor., I filosofiska diskussioner har ett sådant hypotetiskt väsen kallats Laplaces Demon. Som Laplace skrev:
”Vi kan betrakta universums nuvarande tillstånd som effekten av dess förflutna och orsaken till dess framtid., Ett intellekt som vid ett visst tillfälle skulle känna till alla krafter som sätter naturen i rörelse och alla positioner i alla föremål av vilka naturen är sammansatt, om detta intellekt också var tillräckligt stort för att lämna in dessa data till analys, skulle det i en enda formel omfamna rörelserna i universums största kroppar och de av den minsta atomen; för ett sådant intellekt skulle ingenting vara osäkert och framtiden precis som det förflutna skulle vara närvarande framför ögonen.”
artistens logaritmiska skala uppfattning om det observerbara universum., Enligt Laplace, om du visste… alla positioner och momenta av alla partiklar i universum på en gång, skulle du kunna bestämma allt, långt in i framtiden, med godtycklig precision.
Wikipedia-användare Pablo Carlos Budassi
i samma uppsats hävdade Laplace att något behov av att åberopa Sannolikhet i naturen härrörde från okunnighet, inklusive osäkerhet i väderprognoser. En dag föreslog han att väderprognoser skulle vara helt korrekta – så förutsägbara som planetens banor-med ingenting kvar till chans., Men även om det inte var för kvantfenomen som Heisenbergs osäkerhetsprincip, skulle det inte vara fallet. Oavsett hur väl du känner till de ursprungliga förhållandena, determinism styr inte universum.
i början av 1960-talet var mit meteorologi professor Edward Lorenz övertygad om att huvuddatorerna som används för stor effekt vid planering av vapentester och lansering av satelliter i omloppsbana skulle bidra till att ge exakta väderprognoser., Med tanke på att vädret bestäms av en uppsättning mätbara faktorer, såsom temperatur, tryck och Vindhastighet, var konventionell visdom vid den tiden att en solid modell, komplett uppsättning data och en kraftfull antal-crunching enhet, i princip kunde förutsäga väderförhållandena väl in i framtiden. Med det målet i åtanke konstruerade Lorenz en enkel uppsättning ekvationer för luftkonvektion och programmerade dem i sin skåpstorlek, vakuumrörsbaserade Royal-McBee-dator.,
två system som börjar från en identisk konfiguration, men med omärkligt små skillnader i… initiala förhållanden (mindre än en enda atom), kommer att hålla sig till samma beteende ett tag, men med tiden kommer kaos att få dem att avvika. Efter tillräckligt med tid har gått, kommer deras beteende att vara helt orelaterat med varandra.
Larry Bradley
han matar in en initial uppsättning data, slår på datorn och väntade på utskriften., Placera utmatningen bredvid maskinen bestämde han sig för att skriva in några av data och köra programmet längre. Skriva det minutiöst, var han förvånad över att finna att programmet gav en radikalt annorlunda prognos. Slutligen insåg han att datorns utskrift hade avrundat data, och vad han hade inmatning var något annorlunda andra gången än den första. På något sätt, även för en enkel, deterministisk uppsättning ekvationer, gav en minutförändring i initiala förhållanden radikalt annorlunda beteende.,
som han senare skulle notera, i vad som kallades ”fjärilseffekten”, innebar den extrema känsligheten för initiala förhållanden att flapping av en fjärils vingar över Amazonas kunde påverka vädret i Kina. Detta fenomen, pionjär av Lorenz och andra, har funnit utbredd tillämpning som deterministisk kaos.
fjärilseffekten, även känd som deterministisk kaos, är ett fenomen där ekvationer utan… osäkerhet kommer fortfarande att ge osäkra resultat, oavsett hur exakt beräkningarna utförs.,
public domain
Lorenz upptäckte inte bara kaos, han identifierade också sin nyckelmekanism. När han graferade sina data längs flera axlar noterade han den märkliga egenskapen som itererar (plottar banan över tiden) några två närliggande punkter resulterade i deras separation. Klyftan skulle växa större och större med varje iteration tills den matematiska ”avkomman” av de två punkterna skulle vara så brett åtskilda att de befinner sig i helt olika regioner i informationsmolnet. Å andra sidan, pekar av molnet, om itererade, skulle snabbt närma sig det., Således tjänade dynamiken i Lorenz ekvationer två motsägelsefulla syften: avstängning av banor inom datauppsättningen och attraktion bortom den. Ett sådant komplext system kallas en ”konstig attraktor”, med den specifika dynamiken som upptäcktes av Lorenz kallad ”Lorenz attractor.”
flera kaotiska vägar innebär att partikelns läge och bana vid något tillfälle är… helt obestämd, oavsett hur exakt alla tidigare villkor var kända.,
Wikimol / Wikimedia Commons
andra konstiga attraktorer upptäcktes strax därefter, särskilt Hénon attractor, identifierad 1976 av fransk matematiker Michel Hénon. Konstiga attraktorer har en märklig självliknande struktur, kallad ”fraktaler” av fransk-polska matematikern Benoit Mandelbrot. Om du kartlägger en konstig attraktor och” spränga ” en viss region, verkar den mindre regionen likartad i struktur till hela saken. På samma sätt visar utvidgningen av någon liten del av regionen ett liknande mönster för regionen själv och så vidare., Matematiskt innebär det en fraktionerad dimensionalitet, därav termen ” fractal.”
Mandelbrotsatsen är ett exempel på en fraktal, där samma struktur och beteende visas på en… olika skalor. I många kaotiska system framträder samma beteende.
Wolfgangbeyer/Wikimedia Commons
Vi är skyldiga Lorenz en skuld för att hitta en nyckelfel i Laplacean determinism. Även i newtonska klassisk mekanik, med sin urverk regelbundenhet, är vissa system så känsliga för initiala förhållanden att de effektivt är omöjliga att förutsäga., Om du inte känner till varje datapunkt med perfekt precision-nästan omöjligt med realistiska mätinstrument-fungerar sådana kaotiska system som slumpmässigt som en serie mynt. Således tillsammans med slumpmässighet i kvantsystem verkar effektiv slumpmässighet i vissa klassiska system, som vädret, en viktig egenskap hos naturen. Gud spelar tärningar på fler sätt än en.
