Sphere har två sidor. En bugg kan vara instängd i en sfärisk form eller krypa fritt på sin synliga yta. Ett tunt pappersark som ligger på ett skrivbord har också två sidor. Sidor i en bok är vanligtvis numrerade två per ett pappersark. Den första ensidiga ytan upptäcktes av A. F. Möbius (1790-1868) och bär hans namn: Möbius strip. Ibland kallas det alternativt ett Möbiusband. (I själva verket beskrevs ytan självständigt och tidigare med två månader av en annan tysk matematiker J. B. Listing.) Remsan odödliggjordes av M. C., Escher (1898-1972).
för att få en Möbius-remsa, börja med en pappersremsa. Vrid ena änden 180o (halv tur) och limma ändarna ihop (avi-filen TAR 267264 byte). Som jämförelse, om du limma ändarna utan att vrida resultatet skulle se ut som en cylinder eller en ring beroende på bredden av remsan. Försök klippa remsan längs mittlinjen. Människor obefläckade med topologi sällan gissa korrekt vad som skulle vara resultatet. Det är också intressant att skära remsan 1/3 av vägen till en kant. Prova.,
Jag har satt ihop en kort (155648 bytes) avi-film av en vridande Möbius-remsa. (När du kommer till filmsidan klickar du på ramen för att starta filmen.)
nu när du vet tricket, säkert vill du hitta andra ensidiga ytor. Innan du klistrar ihop ändarna kan du vrida remsan två gånger eller till och med tre gånger. Får du ensidig eller dubbelsidig yta?,
 |
 |
 |
 |
 |
 |
P.S.
There is an additional page with an interactive Java illustration that lets one ”see through” the strip in more than one sense., Och det finns naturligtvis andra sidor som ägnas åt Möbius-remsan tillgänglig på Internet. Man förtjänar ett särskilt omnämnande. Richard Marsden (vars sida har försvunnit från webben) lyckades producera en VRML-version av remsan. Jag njöt av att rotera remsan på detta sätt och på det sättet. Vet inte varför men följande passage av Art Buchwald från baksidan av Ephraim Kishons den roligaste mannen i världen kom till mitt sinne:
Ephraim Kishon är den andra roligaste humoristen jag känner… Han är jätterolig och jag hatar honom.,
hur det görs
Jag ska bara diskutera här Matten som gick in i Möbius strip creation movie.
-
det hela börjar med en observation jag samlat surfing MathSoft sidor. För ett fast intervall av värden på t, överväga kurvorna
x (t) = Rsin(t/R), y(T) = R(1 – cos(t/R)),
parametriserad av R. var och en av dem är en del av cirkeln
x(T) 2 + (y(T) – R) 2 = R2.,
för stora R (och ett fast intervall av t) är en sådan bit liten i förhållande till cirklarnas storlek och ser därför nästan ut som ett rakt linjesegment. För små värden på R (nära 1) är stycket närmare en komplett cirkel.
-
när bitarna visas en åt gången för en minskande sekvens av R, skapar ramarna ett intryck av att ett segment viks i en cirkel. För att generera filmen använde jag 21 ramar numrerade 0 till 20, med radien ändras enligt formeln
R(k) = 21 / (k + 1),
där k är ett ramnummer.,
-
skapa en Möbius remsa är en 3-dimensionell affär. Därför behöver vi förutom X (horisontella) och y (vertikala) koordinater också en Z-koordinat. Tänk på den koordinaten som riktad vinkelrätt mot skärmen. För det ursprungliga segmentet, som är mer som en bit av en rak linje än en cirkulär båge, tog jag z = const för segmentets längd. Segmentet blir en rektangel – ett” band ” – som ska vikas i en Möbiusremsa., Rektangeln har två sidor: det ursprungliga segmentet, som nedan kallas ”(xy) segmentet ” och den vinkelräta sidan, kallad ”Z-segmentet.”
-
när segmentet (xy) viks in i en cirkel roterar Z-segmentet i (yz) – Planet. Jag har diskuterat rotation av ett plan på mina cycloids sidor. En varning är dock i ordning. För att skapa en Möbiusremsa måste vi vrida hela rektangeln, inte bara dess z-ändar., Emellertid bör olika delar av rektangeln rotera med olika hastigheter-änden roterar den snabbaste medan mitten av remsan skainte röra sig alls. Således använder jag kvantiteten
w = (t – tmiddle)2
som vinkelhastigheten för Z-segmentet vid olika punkter på det vikta (xy) segmentet. Mängden är mycket nära 0 för punkter nära mitten av remsan.
-
slutligen bör de två ändarna av remsan rotera i motsatta riktningar. Så att rotationsmatrisen dessutom måste multipliceras med
tecken(t – tmiddle).
det är det., En mycket praktisk tillämpning av lite trigonometri och analytisk geometri. Det finns en annanskapande film, 303104 byte. Det visar framsidan av vridningsremsan.
ett brev från Alexander Grässer beskriver ytterligare styckning (men nu även klistra) aktiviteter. Det är möjligt att limma ihop två pappersband, vare sig dessa cylindrar eller moebiusremsor. Även i fallet med två cylindrar kommer resultatet att överraska de flesta föräldrarna, för att inte tala om sina barn.
min logotyp är också en ensidig yta.,
referens
- S. Barr, experiment i topologi, Dover Publications, NY, 1989
- R. Courant och H. Robbins, Vad är matematik? Oxford University Press, 1996
- K. Devlin, Matematik: Vetenskapen om Mönster, Scientific American Library, 1997
- D. Hilbert och S. Cohn-Vossen, Geometri och Fantasi, Chelsea Publishing Co, NEW york 1990.
- C. A. Pickover, Den Mobius Strip: Dr, August Mobius fantastiska Band i matematik, spel, litteratur, konst, teknik och kosmologi, Thunder ’ S Mouth Press, 2006
|kontakt||framsidan||innehåll||visste du?/ / Geometri /
